左(右)强拓扑回转群及其性质

施婷婷，鲍 猛，林福财，2

（1.闽南师范大学数学与统计学院，福建漳州363000；2.闽南师范大学粒计算及其应用重点实验室，福建漳州363000；3.四川大学数学学院，四川成都610064）

拓扑群作为数学中一个研究领域一直被广泛研究，比如Arhangel’skii等[1]的专著.拓扑回转群作为拓扑群的推广，它是比群具有更弱的代数结构.2008年，Ungar[2]引入了回转群的定义，而拓扑回转群的定义在2017年被Atiponrat[3]首次提出，此后许多学者对其进行了深入研究.2017年，Atiponrat[3]研究了拓扑回转群的一些性质，证明了拓扑回转群的直积还是拓扑回转群等结果.此外，Cai[4]证明了每一个第一可数拓扑回转群是可度量化的.2019年，鲍猛等[5-7]在提出了强拓扑回转群的定义之后也证明了一些相关结论，比如：1)每一个T0强拓扑回转群是完全正则的;2)每一个具有可数伪特征的T0强拓扑回转群是子可度量化的，等等.但是目前，对左强拓扑回转群的研究相对来说较少，仍然有许多需要解决的问题.

本文主要定义了左(右)拓扑回转群和左(右)强拓扑回转群，研究左(右)拓扑回转群的基本性质并证明左(右)强拓扑回转群的相关结论，将每一个可数Hausdorff左拓扑群是由闭离散子集生成的结论推广到左(右)强拓扑回转群上，证明了每一个可数Hausdorff左(右)强拓扑回转群G是由闭离散子集生成的.

1 拓扑回转群的相关定义

定义1[2]设(G，⊕)是广群，(G，⊕)称为回转群，如果它的二元运算满足条件：

1)任取a∈G，存在单位元0 ∈G使得0⊕a=a=a⊕0；

2)任取x∈G，存在逆元素ϴx∈G，使得ϴx⊕x=0 =x⊕(ϴx)；

3)任取x，y∈G，存在gyr[x，y]∈Aut(G，⊕)，对所有z∈G，x⊕(y⊕z)=(x⊕y)⊕gyr[x，y](z)；

4)任取x，y∈G，gyr[x⊕y，y]=gyr[x，y].

注群是回转群(G，⊕)，使得gyr[x，y]是恒等映射，对所有x，y∈G.

定义2[9]设(G，⊕)是回转群，G的一个非空子集H被称为回转子群，表示为H≤G，如果下面的条件成立：

1)限制⊕|H×H是H上的二元运算，即(H，⊕|H×H)是一个广群；

2)对任意x，y∈H，H到gyr[x，y]的限制，gyr[x，y]|H：H→gyr[x，y](H)，是双射同态的；

3)(H，⊕|H×H)是一个回转群.

定义3(G，τ，⊕)称为左拓扑回转群(右拓扑回转群)，若满足以下条件：

1)(G，τ)是拓扑空间；

2)(G，⊕)是回转群；

3)对任意x∈G，G上的左转换Lx：G→G：Lx(y)=x⊕y(右转换ρx：G→G：ρx(y)=y⊕x)，其中y∈G，是连续映射.

定义4G称为左强拓扑回转群(右强拓扑回转群)，若G是左拓扑回转群(右拓扑回转群)且存在单位元的邻域基γ，使得对任意x，y∈G和U∈γ有gyr[x，y](U)⊆U(gyr[x，y](U)⊇U).

定义5[1]群G上拓扑τ称为G上的左(右)拓扑群，若对任意a∈G，G上的左转换La(右转换ρa)是G→G的连续映射.

定义6若(G，τ，⊕)是半拓扑回转群，则满足以下条件：

1)(G，τ)是拓扑空间；

2)(G，⊕)是回转群.

3)对任意x∈G，G上的左转换Lx：G→G：Lx(y)=x⊕y和右转换ρx：G→G：ρx(y)=y⊕x，其中y∈G，都是连续映射.

显然半拓扑回转群既是左拓扑回转群又是右拓扑回转群.

2 左(右)拓扑回转群的基本性质

本节研究左拓扑回转群与右拓扑回转群的基本性质，主要证明了任意的左拓扑回转群和右拓扑回转群都是齐性空间，从而任意的半拓扑回转群是齐性空间.首先，回顾回转群的一些运算性质.

引理1[4]设(G，⊕)是回转群，则对任意x，y，z∈G，有下列结论：

1)(ϴx)⊕(x⊕y)=y；

2)(x⊕(ϴy))⊕gyr[x，ϴy](y)=x；

3)(x⊕gyr[x，y](ϴy))⊕y=x；

4)gyr[x，y](z)=ϴ(x⊕y)⊕(x⊕(y⊕z)).

其中，1）为左消去律；2)为右消去律.

命题1设G是左拓扑回转群，任取x∈G，则G的左转换Lx：G→G是同胚映射.

证明由定义2和引理7可得Lx是连续的双射.对任意y∈G，Lx(y)=x⊕y，则

所以Lϴx∘Lx是恒等映射，可得Lx的逆也是连续的.因此Lx：G→G是同胚映射.

命题2设G是右拓扑回转群，任取x∈G，则G的右转换ρx：G→G是同胚映射.

证明根据命题1的证明过程，只需证ρx的逆是连续的.对任意y∈G，ρx(y)=y⊕x.由引理1，

因为在G中对回转群运算和逆运算都封闭，gyr[y，x](ϴx)=ϴ(y⊕x)⊕y∈G.因此，

所以ρgyr[y，x](ϴx)是ρx的逆并且也是连续的，从而ρx：G→G是同胚映射.

命题3若G是一个半拓扑回转群，那么G中所有的左转换与右转换都是同胚映射.

由命题1和命题2，推论1是显然的.

推论1如果左(右)拓扑回转群G的回转子群H包含G的一个非空开子集，则H在G中是开的.

命题4设G是左(右)拓扑回转群，U是G的开子集且A是G的任意子集，则A⊕U(U⊕A)在G中是开的.

证明我们只证明左拓扑回转群的情形，右拓扑回转群类似可证.因为G的每一个左转换都是同胚的，且所以A⊕U在G中是开的.

推论2如果G是半拓扑群，则对G的任意开子集U和G的任意子集A，U⊕A和A⊕U都是开的.

命题5设G是右拓扑回转群，且A是G的回转子群.如果A是开的，则A也是闭的.

证明假设A在G中是开的.对任意z∈，A⊕z是包含z的开集，则(A⊕z)⋂A≠φ.那么存在a1，a2∈A使得a1⊕z=a2.所以z=(ϴa1)⊕a2∈A，因此A是闭的.

定理1如果G是右拓扑回转群且逆连续，则对G的每一个子集A和单位元0 处的每一个开邻域U，

证明因为逆是连续的，则存在单位元0处的开邻域V，使得ϴV⊂U.

任取x∈，V⊕x是x的开邻域.所以(V⊕x)⋂A≠φ.那么存在a∈A和ν∈V使得a=ν⊕x，则x=(ϴv)⊕a∈(ϴV)⊕A⊂U⊕A.

定理2每一个左(右)拓扑回转群都是齐性空间.

证明设G是左拓扑回转群，任取x，y∈G，令z=y⊕gyr[y，x](ϴx).则由 引理1 可得Lz(x)=z⊕x=(y⊕gyr[y，x](ϴx))⊕x=y，而且Lz是同胚映射，所以G是齐性空间.

设G是右拓扑回转群.对任意x，y∈G，令z=ϴx⊕y.则ρz(x)=x⊕z=x⊕(ϴx⊕y)=y.又因为右变换ρz：G→G是同胚映射，所以G是齐性空间.

命题6任意的半拓扑回转群都是齐性空间.

推论3设f：G→H是左(右)拓扑回转群的同态.如果f在G的单位元0处的是连续的，则f是连续的.

推论4设G是左(右)拓扑回转群且令g∈G.对G在单位元0处的任意基β，集族是G在g点的一组基.

3 左(右)强拓扑回转群的相关结论

本节证明每一个可数Hausdorff左强拓扑回转群G是由闭离散子集生成的，推广了文献[8]中的一个重要结果.先证明引理2.

令G是回转群，取n∈N.对任意x1，…，xn∈G和ε1，…，εn∈{- 1，1}，R[ε1x1，…，εnxn]表 示 直 积ε1x1⊕…⊕εnxn中加括号后的所有元素的集合，使得ε1x1⊕…⊕εnxn∈G，其中

显然，R[ε1x1，…，εnxn]是可数集，将R[ε1x1，…，εnxn]记为{fm(ε1x1，…，εnxn)：m∈N}.如果A1，…，An⊂G，则我们定义：

引理2设V是左拓扑回转群G中的非空开集，则是G中开的左拓扑回转群.

证明因为V是左拓扑回转群G中的非空开集，即V⊆G且V≠φ.设V0=ϴV⊕V，则V0显然是开集且只需要证中任意点ν都存在非空开集W使得事实上，对任意则存在ν1，…,νn∈V和ε1，…，εn∈{-1，1}使得v=f(ε1ν1，…，εnνn).又因为ν⊕V0=f(ε1ν1，…，εnνn)⊕V0是G中开集且所以是G中开的左拓扑回转群.

引理3设H是Hausdorff左(右)强拓扑回转群G中的开且稠的左拓扑回转子群，则H=G.

证明由命题5，对右拓扑回转群显然成立.只需证左强拓扑回转群情况.设G中单位元邻域基γ满足定义4.假设H≠G，则对任意的x∈G-H，因为H是G中稠子集，从而对任意U∈γ且U⊆H有(x⊕U)⋂H≠φ，那么存在u∈U和h∈H，使得x⊕u=h.因此由引理1的右消去律有

矛盾.

定理3每一个可数Hausdorff左(右)强拓扑回转群G是由闭离散子集生成的.

证明只证左强拓扑回转群情况，右强拓扑回转群类似可证.

1）如果G是离散的，定理显然成立.

2）假设G不是离散的.

令G={}gn：n≥1，通过归纳法，对每一个n≥0，下证可以找到gn的开子集Un和有限子集Fn⊂G，使得满足以下条件：

令U0=F0=φ，设集F0，…，F k，U0，…，Uk满足(i)(ii).由假设知GUk≠φ且GUk包含G中的非空开集.显然，且因为G不是离散的，所以由引理2 知是G中开回转子群且在G中是稠的.因为在G中是开的则由引理3知因此，存在有限子集F⊂Y且不失一般性，存在点由于G是Hausdorff，从而存在G的单位元0 的邻域V使得

令Uk+1=Uk⋃(gk+1⊕V)且Fk+1=Fk⋃F，下证Uk+1和Fk+1满足条件i）和ii）.

推论5[8]每一个可数Hausdorff左拓扑群(右拓扑群)G是由闭离散子集生成的.

推论6任意可分的非离散的Hausdorff左(右)强拓扑回转群G可由无处稠子集拓扑生成.

证明只证左强拓扑回转群情况，右强拓扑回转群类似可证.因为左强拓扑回转群G是可分的，所以存在可数稠的左强拓扑回转群H.由定理3 知H可由闭离散子集D生成，从而D是G中的无处稠子集且拓扑生成G.