浅谈初中数学分类讨论思想在解题中的应用

肖燕

摘要：分类讨论作为一种比较常见的数学思想，通过引导学生把握数学对象的内在规律，能够帮助学生组织、归纳数学知识，可以有效促使学生的概括能力以及思维条理性得到良好发展。灵活运用分类思想充分分析题目，可以帮助学生对问题进行全面的分析，基于不同情况进行具体分析，得出不同的答案，可有效提高学生解答习题的正确率，并且分类思想的运用，还可以有效锻炼学生逻辑思维。本文通过总结多年教学经验，从初中数学解题教学视角出发，对分类讨论思想的原则以及意义进行了分析，针对如何有效运用分类讨论思想以提高解题教学的效果提出了几点策略建议。

关键词：数学习题;分类讨论;数形结合

引言：学生步入初中阶段后，无论是学习内容，亦或是思维方式等方面都产生了不小的变化。在初中数学教学中，分类讨论不仅是教学重点，还是教学难点，为了对初中生进行选拔，中考试卷中通常会在设置分类讨论题，对学生逻辑思维以及解题能力进行考查。因此，在平时的解题教学中，数学教师明确分类讨论思想的重要性，并将这一思想通过教学传达给学生，改善学生的数学思维，这样学生在进行习题解答时，才可以充分分析题目，不仅可以确保答案的全面性、完整性，还可实现复杂问题简单化，从而提高学生答题效率。

一、分类讨论在代数中的应用

在初中数学教学中，代数是一个比较常见的知识点，学生一般会遇到各种各样的相关问题，此时，学生需要对题目内容进行认真观察，基于分类思想，对题目的多种情况进行全面分析。通常来说，在解答这类数学题时，需要引导学生展开多方位的思考，根据不同的情况分析题目。

以这一习题为例：x的方程（k-2）x^2+4x+2=0有实数根，求k的取值范围。在进行这一类问题的解答时，基于分类讨论思想分析题干，需要分两种情况进行考虑：第一种，当k-2≠0的时候，这个方程为一元二次方程，那么判别式为△=4^2-4X2（k-2）=32-8K≥0，由此可以得出k≤4;第二种，当k-2=0时，方程为一元一次方程，4x+2=0，有实数根 ，综上所述，若方程（k-2）x2+4x+2=0总有实数，则k≤4。基于分类思想，分情况进行习题解答，可最终得到正确、完整的答案。但是，如果学生缺乏分类讨论思想，面对这类代数题，通常会无法产生解题思路，或者是提供的答案不完整。由此可见，分类讨论思想对学生来说至关重要。

二、分类讨论在几何中的应用

（一）在三角形中的应用

1.全等三角形和相似三角形的存在性问题（这段请写手根据实际情况展开）

2.特殊三角形（等腰三角形、直角三角形和等腰直角三角形）的存在性问题

例在平面直角坐标系中，O为原点，已知A（2，-1），P是x轴上的一个动点，若以P、O、A为顶点的三角形是等腰三角形，则符合条件的动点P的个数为（）

A.2B.3 C.4 D.5

分析：本题可分为三种情况：

①以OA为腰，若点O为顶角顶点时，以点O为圆心，OA长为半径画弧，与x轴的交点有两个;

②以OA为腰，若点A为顶角顶点时，以点A为圆心，OA长为半径画弧，与轴的交点有一个（除了点O外）;

③以OA为等腰三角形的底，作线段OA的垂直平分线与x轴的交点有一个。

所以在x轴上共有4个点，使得P、O、A为顶点的三角形是等腰三角形

（二）在四边形中的应用

如平行四边形、菱形、矩形、正方形的存在性问题，这类问题大多可转化为特殊三角形的存在性问题来解决，

（三）在其他幾何（圆、线段、角）中的应用

在解答这道习题时：在一个直角坐标系中，直线 上有一个半径为1的圆，圆心P点的坐标为（ ，m），将圆P向斜下方直线移动，移动速度为每秒1个单位，请问：圆P与x轴相切需要几秒。这道习题中有一个关键信息，即“圆P与x轴相切”，所以必须运用分类讨论思想，考虑到所有圆P与x轴相切的情况，之后针对不同情况进行解答，才能确保答案的完整性。首先，题干中提到圆P经过移动会与X轴相切，此时圆P处在第一象限，这是大多数学生都会想到的第一种情况，但还存在另外一种可能，当圆P与X轴相交之后，如果继续沿着直线移动，当圆P移动到第三象限时，圆P与x轴会相切。因此对这道习题进行解答，必须运用分类讨论思想，全面分析任何一种存在的可能，确保完整全面的解答该习题。在几何问题的解答过程中，除了分类讨论思想，还要注重运用数形结合思想，可以有效将抽象的数学知识进行转化，学生可以清晰直观的观察已知条件，从而促使学生对题干形成深刻的理解，可有效促使学生的解题正确率获得改善。

答时，主要涉及到线段和三角形，尤其是与三角形高相关的问题，灵活运用分类讨论思想，分析所有存在的可能，并针对每一种可能进行解答，可确保答案的完整性。

以这样一道习题为例：一个等腰三角形的两条边的边长分别是5cm和7cm，求证：这个等腰三角形的周长是多少cm？很多学生阅读这一题目时都认为这是一道简单的习题，三下五除二就得出了答案，但是结果却是错误的。这是由于学生进行习题解答时，没有运用分类思想，导致得出的答案是片面的，所以教师在教学过程中，一定要渗透分类思想，促使学生养成全面分析问题的习惯和意识，这样才能有效提高学生的数学思维，促使学生的数学学科核心素养全面提升。在拿到这个题目的时候，学生总是想当然的认为这个等腰三角形的腰长是5cm或者7cm，很难考虑到5cm和7cm都是这个等腰三角形腰长的情况，所以对于问题的思考不够全面。在进行这道习题的回顾时，教师帮助学生明确分类讨论思想的重要性，以及运用该思想进行习题解答的方式，帮助学生加深印象，才能有效促使学生的解题正确率获得提高。

3.分类讨论与圆

直线与圆的位置关系可以分为三种，分别为：直线与圆相切、直线与圆相交、直线与圆相离，在进行关于的圆的习题解答时，必须运用分类讨论思想，全面考虑每一种可能存在的情况，确保答案的完整性。

2.分类讨论与角

关于角的习题具有不确定性的特点，这是因为射线的位置和角的旋转方向是不确定的，所以在进行关于角的习题解答中，要充分运用分类讨论思想，结合题干中的已知条件，导入数形结合思想，先复制图，再结合不同情况进行绘图和思考，可以帮助学生对题目有更加直观的了解。

以这样的一道习题为例：已知 为30度，∠AOB 是∠BOC三倍，那么∠AOC 是多少度。学生可以先对题干进行分析，并将已知条件用绘画的形式画出来，并且要确保图画的准确性。结合题目中已经给出的确定条件，可以将 画出来，但线段OA的方向是不确定的，线段OA可以在线段OB的上方，也可以在线段OB的下方，学生必须充分运用分类思想，才能对题干进行透彻分析，从而得到全面的答案。

结语：综上所述，在初中数学解题过程中，分类讨论思想是一个比较常见的解题方法，在测试题中出现频率也比较高，而且，纵观当前阶段的数学试卷发现，总是有学生由于不善于运用分类讨论思想，而导致给出的答案不完整，所以，教师要加强对分类讨论思想的渗透，特别是代数、几何、实际问题等，一定要有意识地渗透分类讨论解题思想，帮助学生更加透彻地认识这一解题方法，并灵活运用到解题过程中，可有效帮助学生提高解答习题的效率和正确率。

参考文献：

[1]癿璟.分类讨论思想在初中数学解题教学中的运用策略[J].试题与研究，2021（27）：177-178.

[2]王海通.论如何在初中数学教学中有效培养学生解题能力[J].中学课程辅导（教师通讯），2021（17）：51-52.

[3]纪载华.分类讨论思想在初中数学解题教学中的应用要点[J].数理化解题研究，2021（20）：28-29.