数形结合思想在中职数学解题中的应用

韦忠厚

【摘 要】本文针对数形结合思想在中职数学教学中应用比较少的情况，论述中职教师应将数形结合思想贯穿教学全过程，将数形结合思想与函数问题、集合问题、方程问题、空间问题等进行多点对接，提出整合数形结合思想教学资源、优化数形结合思想的教学设计、落实数形结合思想教学活动、创新数形结合思想训练对策等教学建议。

【关键词】中职数学 数形结合思想 解题应用

【中图分类号】G 【文献标识码】A

【文章编号】0450-9889（2021）42-0130-02

数形结合思想是一种将数量关系与图形形象相结合，将抽象知识与具体形象相互转化的数学方法。数形结合思想既是优化数学知识演绎，促进学生对数学新知识的认知和理解的重要数学思想，也是学生用以分析和解决数学问题的有效方法。教学中，教师应立足数形结合思想的本质内涵，围绕数学知识的特点和课堂教学的目标要求，灵活运用数形结合思想设计多样的教学活动，有效引导学生在更深层次上把握数形结合思想的应用，丰富学生解决数学问题的技巧和方法，提高学生的学习能力和学习效率。

一、整合数形结合思想教学资源解决函数问题

中职数学学科的大部分教学内容与数量关系和图形关系有关，这为在教学中渗透数形结合思想提供了丰富的对接点和融合点。教师要研究教材、深潜生活，从中挖掘有助于在教学中渗透数形结合思想的教学元素，加强数形结合思想教学资源的整合与投放，为学生应用数形结合思想解决数学问题创造更多契机。特别是在教学函数时，教师应积极寻找合适的函数教学的切入点，做好数形结合思想教学资源的开发整合和灵活投放，从而引导学生一一厘清函数表达式与函数图形的数形关系，将抽象的函数问题变为直观、易懂的数学图形，降低函数问题的分析难度，帮助学生快速找到解决问题的思维突破口，提高学生解决函数问题的效率。

函数教学具有很强的拓展性，教师可根据学生数学能力发展的需求，引入不同考查类型、运用不同解题思路和方法的函数问题，锻炼并提高学生运用数形结合思想解决问题的能力。如人教版中职数学必修1《基本初等函数》这一章节，涵盖了指数函数、对数函数、幂函数三种函数的教学内容。教师在开展教学活动时，应根据每种函数的具体性质和特点，广泛整合数形结合思想教学资源，引导学生运用这一思想解决相应的函数问题。在具体教学中，教师可操作如下：在新知演绎环节，教师向学生展示代表性较强的几组函数图形，让学生观察、比较函数表达式和函数图象的对应关系，理解函数的数图关系特点，从而更加深入地理解函数的内涵;在课堂训练环节，教师进一步筛选数形结合思想的训练资源，开展“根据函数表达式绘制相应的函数图形”和“根据函数图象推导函数表达式”两个维度的训练活动，深化学生对函数性质、函数图象等的认知，强化数形结合思想的运用。

在本章节的教学中，教师围绕章节教学主要目标，系统整合与指数函数、对数函数、幂函数等核心知识相关的数形结合思想教学资源，并在新知教学中利用这些感性认知素材增强学生学习数学的直观体验，促进数学新知的生成，确保学生能够准确构建三种函数的认知体系;在课堂训练环节，设计正向、逆向两个维度的训练活动，有效增强了学生使用数形结合思想构建函数问题解题模型的能力。

二、优化数形结合思想的教学设计解决集合问题

数形结合是一种涵盖领域非常广的数学学习思想方法，在利用这一思想教学不同数学知识、解决不同类型数学问题时，教师要立足教学实际、学生学情，不断调整、优化课堂教学策略和指导方法，教会学生运用数形结合思想的方法，最大限度地发挥数形结合思想的教学价值、实用价值。集合问题是中职数学的重要教学内容，教师指导学生运用数形结合思想分析集合问题时，需要准确把握不同集合的性质，教会学生正确画出集合的数轴图、文氏图等，让学生学会运用指向性更明确的数形结合思想辨别、区分其中的关键解题要素，帮助学生构建多种类型的集合问题的解题模型，使学生能够快速、准确地解决集合问题。

数轴图、文氏图是解决集合问题常见的两种图形，教师应根据集合问题的考查特点，剖析这两种图形所适用的集合问题类型，合理选用两种图形分析和解决集合问题，提高学生数形结合思想的应用能力。如题：“設集合A={x|x≤3}，B={x|x<1}，求A∩B，A∪B分别为？”这一问题的考查维度局限于数量层面，数轴图能够直观反映其中的数量关系。解题时，教师首先要求学生根据题意分别画出集合A、集合B的数轴图，然后观察两个图形所包含的数学信息，学生很快便找出A∩B，A∪B对应的区域。而文氏图则适合用于解决更为复杂的集合问题，如题：“某班有50人报名参加两门学科竞赛，参加A学科竞赛的人数为33人，参加B学科竞赛的人数为30人，且两门学科竞赛都参加的人数比都不参加的人数的3倍少3人，求只参加B学科竞赛的有多少人？”解决这一问题时，教师着重引导学生使用文氏图正确分析不同集合间的交集、并集关系，获取已知条件中的数量关系从而解决问题。

教师根据集合问题考查维度的差异性，有针对性地教学生运用数轴图和文氏图分析、解决不同类型的集合问题，充分体现了数形结合思想在解决集合问题方面的独特优势，提高了学生对数形结合思想的重视程度，强化了学生解决集合问题的思维训练，使学生能够根据不同问题灵活选择不同数形结合方法。

三、落实数形结合思想教学活动解决方程问题

很多数学应用题的解决都需要使用方程式分析、表达题目所呈现的数量关系，并画出对应的图形才可解决问题。教师应以这些数学应用题为抓手，加强数形结合思想教学活动的组织与落实，让学生在运用数形结合思想解决问题的过程中碰撞出更多智慧的火花。在中职数学中，有很多数学应用题都存在容易被忽视的隐性条件，这对学生的综合性思维与分析性思维提出了更高要求，教师在开展数形结合思想教学活动时要做好思维启发，着重引导学生学会利用数学图形挖掘题目中的隐性解题要素，避免学生解题时出现错误答案或遗漏正确答案。

解决方程问题需要学生综合分析题目中的数据，但是题目涉及的数据往往都比较错综复杂，学生要想快速厘清数量关系，采取数形结合的方法是一条捷径。如有这样一道题目：“某地区为盘活资本，决定投资建设线路板厂和机械加工厂。经预算，如果引进新工艺，线路板厂和机械加工厂可能获得的最大盈利率分别是95%和80%，可能产生的最大亏损率分别为30%和10%。在最多出资100万元的情况下，要求确保可能出现的资金亏盈不超过18万元，如何投资两个工厂才能实现可能利润的最大化？”面对此类与生活息息相关的“最优化”问题，笔者要求学生自主思考、确定题干提供的数量关系，然后根据条件列出线性约束条件和设定目标方程，将方程问题转化为函数问题，并绘制相关图形构建解题模型。随后，笔者组织学生交流分享思考路径、解题方法、解题思路和过程，分享自己关于运用数形结合思想解决方程问题的感受和自身的理解。

教学中，教师要尊重学生的学习主体地位，在设计教学活动时赋予学生充足的思考时间和广阔的思维空间，增强学生运用数形结合思想解决数学问题的活力。在该例题教学中，教师依托生活实际问题，设计更具自主性、探究性的互动学习活动，让学生在交流讨论和说理表达中深入学习数形结合思想，并在思维的多元交互中弥补自身解题思维、解题方法的不足，丰富了学生解决方程问题的思路和方法，提高了学生解决数学问题的能力。

四、创新数形结合思想训练方式解决几何空间问题

渗透数形结合思想，强化学生数学解题能力，是一个系统化的教学工程，需要连贯性较强的教学规划。也就是说，教师应创新数形结合思想训练方式，围绕特定的数形结合思想应用方法开展长期、系统的教学，不断深化学生对数形结合思想的理解和应用，给学生带来更具持续性的思维训练。空间问题是中职数学的重要内容，学生在处理一些复杂的空间图形时，只是简单地从图形角度入手，难以发现解决问题的关键点，容易陷入解题的“死胡同”。教师依托典型性较强的空间问题，指导学生运用数形结合思想，将抽象复杂的空间问题转化成代数计算问题，降低了复杂空间图形的分析难度，能够有效提高学生解决空间问题的效率。

如在《函数模型及其应用》这一小节的内容中，存在很多“裁剪铁板”“菜园用地规划”等关于空间利用的生活问题，解决这类问题需要学生灵活构建函数计算模型。要想实现这一教学目标，教师在展开相关例题教学时，可借助信息技术向学生呈现这些复杂生活问题所涉及的图形元素，开展直观教学活动，让学生根据问题信息利用电脑或教学交互机绘制相关图形，并认真观察图形素材，在反复绘制、观察、纠正的过程中，发现有利于解决问题的定性关系，然后构建与问题条件密切相关的函数模型，将空间问题转化为代数问题，助力学生解决空间问题。

教学中，教师利用信息技术创新了数形结合思想的训练模式，用直观教学活动助推学生探索解决空间问题的有效方案，在直观图形和定性关系相互转化中找到正确的解题切入点，提高了学生数学解题思维训练的品质。此外，教师还可以进一步拓展数形结合思想训练的范围，设计更多的课后数学学习实践活动，让学生结合生活现象、生活问题自主发掘數学问题，加深学生运用数形结合思想的实践体验，促进学生数形结合思想的有效内化。

总而言之，中职数学学科涉及的知识内容非常广泛，对学生的思维品质要求更高，要想提高学生学习数学的效率，教师需要充分调动学生的学习积极性，教会学生更多行之有效的学习方法和应用技巧。而数形结合思想可以辅助学生从数量关系和图象两个维度理解、运用数学知识，丰富学生解决数学问题的方法和手段，从而达成深度学习的目标。在教学中，教师要加强数形结合思想与函数问题、集合问题、方程问题、空间问题的多点对接，教会学生运用数形结合思想更加有效地分析和解决不同类型的数学问题，增强学生数形结合思想解决实际问题的应用能力，凸显了数形结合思想在数学教学和学习中的实用价值，推动学生数学学科核心素养的发展。

【参考文献】

[1]邱静捷.核心素养下中职数学“三角函数”解题的有效策略[J].数理化解题研究，2021（13）.

[2]王娟芳.关于中职数学教学中三角函数最值问题解题方式的探讨[J].数学学习与研究，2020（18）.

[3]谢锡娟.逻辑引导以培养中职生数学解题能力[J].广西教育，2019（42）.

（责编 施景茗）