广义度量空间上(ψ，φ，φ(φ*))-弱收缩映射的重合点和公共不动点

朴勇杰

(延边大学理学院数学系，吉林 延吉 133002)

1 预备知识

2001年，Branciari[1]引进了广义度量空间的概念，将通常度量空间定义中的三角不等式用含3项而不是2项的不等式所代替.文中指出任何度量空间都是广义度量空间，但是其逆不成立，并给出了Banach型不动点定理.自此，很多研究人员[2-10]在该空间上讨论并得到了一些不动点和公共不动点存在定理.特别地，文献[11]利用文献[12]中引进的(ψ，α，β)-弱收缩条件在广义度量空间上讨论了2个映射重合的点和公共不动点存在问题，文献[13]也利用该收缩条件在偏序的G-度量空间上讨论了相同的问题.

本文引进4种实函数ψ，φ，φ，φ*和2个收缩条件，即(ψ，φ，φ)-弱收缩条件和(ψ，φ，φ*)-弱收缩条件，然后讨论广义度量空间上的2个映射重合的点和公共不动点存在问题.

定义1.1[1]设X是非空集合，d：X×X→[0，∞)是映射.如果对任何x，y∈X和任何不同于x和y的2个不同的u，v∈X使得下列关系成立：

(ⅰ)d(x，y)=0，当且仅当x=y；

(ⅱ) 对任何x，y∈X，d(x，y)=d(y，x)；

(ⅲ)d(x，y)≤d(x，u)+d(u，v)+d(v，y)(四角不等式).

则称(X，d)是广义度量空间(简记为GMS).

定义1.2[1]设(X，d)是GMS，{xn}是X中的一个序列且x∈X.

(ⅰ) 称{xn}是GMS收敛于x，如果d(xn，x)→0(当n→∞时)，并记xn→x.

(ⅱ) 称{xn}是GMS Cauchy序列，如果对任何>0，存在正整数N()使得对任何n>m>N()，d(xn，xm)<.

(ⅲ) 称(X，d)是完备的GMS，如果每个GMS Cauchy序列都是GMS收敛的.

定义1.3[14]设X是非空集合，T，F：X→X是2个映射.如果当Tx=Fx时,TFx=FTx，则称T和F是弱相容的.

定义1.4[15-16]设X是非空集合，T，F：X→X是2个映射.如果存在u，x∈X使得u=Tx=Fx，则称x是T和F的重合点，u是T和F的重合的点.

定义1.5[17]设(X，⪯)是偏序集，T，F：X→X是2个映射.如果对任何x，y∈X，Fx⪯Fy推出Tx⪯Ty，则称T为F-单调递增的.

定义1.6[18]设T是度量空间X上的自映射.称T为序列收敛的是指X中任何序列{xn}，如果{Txn}收敛，则{xn}收敛.

引理1.1[15-16]设X是非空集合，T，F：X→X是弱相容的2个映射.如果u是T和F的唯一的重合的点，则u是T和F的唯一公共不动点.

下面引进4种实函数：

ψ∈Ψ，当且仅当ψ：[0，+∞)→[0，+∞)是连续单调递增函数且满足ψ(t)=0⟹t=0；

φ∈Φ，当且仅当φ：[0，+∞)→[0，+∞)是上半连续函数且满足φ(0)=0；

2 GMS上的公共不动点

引理2.1设{an}是非负实数列，ψ∈Ψ，φ∈Φ和φ∈Φ.如果

ψ(an+1)≤φ(an)-φ(an，an)，∀n∈N，

(1)

ψ(t)-φ(t)+φ(t，t)>0，∀t>0，

(2)

引理2.2设{an}是非负实数列，ψ∈Ψ，φ∈Φ和φ*∈Φ*.如果

ψ(an+1)≤φ(an)-φ*(an+1，an)，∀n∈N，

(3)

ψ(t)-φ(t)+φ*(t，t)>0，∀t>0，

(4)

定理2.1设(X，d)是GMS，映射T，F：X→X满足TX⊂FX，且TX或FX是完备的.如果对任何x，y∈X，

ψ(d(Tx，Ty))≤φ(d(Fx，Fy))-φ(d(Fx，Fy)，d(Fx，Fy))，

(5)

其中ψ∈Ψ，φ∈Φ和φ∈Φ满足(2)式，则T和F有唯一重合的点.进一步，如果T和F是弱相容的，则T和F有唯一公共不动点.

证明任取x0∈X，则根据TX⊆FX构造2个序列{xn}和{yn}使得

yn=Txn=Fxn+1，n=0，1，2，….

(6)

任意固定j=1，2，…，取x=xn，y=xn+j，则根据(5)和(6)式得

ψ(d(yn，yn+j))=ψ(d(Txn，Txn+j))≤
φ(d(Fxn，Fxn+j))-φ(d(Fxn，Fxn+j)，d(Fxn，Fxn+j))=
φ(d(yn-1，yn+j-1))-φ(d(yn-1，yn+j-1)，d(yn-1，yn+j-1)).

令an=d(yn，yn+j)，∀n∈N.若存在aN=0，则从上式可知an=0，∀n≥N.此时，可把{an}看做零数列，因此{yn}是柯西序列.于是不妨设an>0，∀n∈N，根据引理2.1知

(7)

假设{yn}不是GMS柯西序列，则存在>0使得对任何k∈N存在正整数nk，mk满足nk>mk>k且

d(ynk，ymk)≥.

(8)

进一步，相对于mk，可选取满足上式的最小的nk，则成立

d(ynk-1，ymk)<.

(9)

由于an>0，∀n∈N，及任意固定的j∈N，可知ynk≠ynk-2，ynk-2≠ynk-1，ynk-1≠ymk.于是根据定义1.1及(8)和(9)式得

≤d(ynk，ymk)≤d(ynk，ynk-2)+d(ynk-2，ynk-1)+d(ynk-1，ymk)≤
d(ynk，ynk-2)+d(ynk-2，ynk-1)+.

令k→∞，则结合(7)式(取j=1，2)得

(10)

另外，

d(ynk，ymk)≤d(ynk，ynk-1)+d(ynk-1，ymk-1)+d(ymk-1，ym-k)，

d(ynk-1，ymk-1)≤d(ynk-1，ynk)+d(ynk，ymk)+d(ymk，ymk-1).

在上面2个式子中令k→∞并利用(7)和(10)式得

(11)

取x=xnk，y=xmk，则(5)式变成

ψ(d(Txnk，Txmk))≤φ(d(Fxnk，Fxmk))-φ(d(Fxnk，Fxmk)，d(Fxnk，Fxmk))，

即

ψ(d(ynk，ymk))≤φ(d(ynk-1，ymk-1))-φ(d(ynk-1，ymk-1)，d(ynk-1，ymk-1)).

令k→∞并利用(10)和(11)式，则由上式得

根据ψ，φ，φ的性质有ψ()≤φ()-φ(ε，ε)，于是根据(2)式得到=0，矛盾.因此{yn}是GMS柯西序列.

假设TX是完备的.因为yn=Txn∈TX，因此存在w∈TX使得yn→w.又因为w∈TX⊆FX，因此存在y∈X使得w=Fy，即

(12)

因为

ψ(d(yn+1，Ty))=ψ(d(Txn+1，Ty))≤φ(d(Fxn+1，Fy))-φ(d(Fxn+1，Fy)，d(Fxn+1，Fy))，

即

ψ(d(yn+1，Ty))≤φ(d(yn，w))-φ(d(yn，w)，d(yn，w))，

令n→∞，则由上式得

根据ψ，φ，φ的性质及引理1.2得

ψ(d(w，Ty))≤φ(0)-φ(0，0)=0，

于是得到d(w，Ty)=0，因此Ty=w=Fy.类似地，可证明当FX是完备时，仍成立Ty=w=Fy.这就证明了w是T和F的重合点，y是T和F的重合点.

假设w1也是T和F的重合的点，则存在y1使得w1=Ty1=Fy1.根据(5)式，

ψ(d(w，w1))=ψ(d(Ty，Ty1))≤
φ(d(Fy，Fy1))-φ(d(Fy，Fy1)，d(Fy，Fy1))=φ(d(w，w1))-φ(d(w，w1)，d(w，w1)).

于是由(2)式知d(w，w1)=0，即w=w1，因此w是T和F的唯一重合的点.最后，若T和F是弱相容的，则根据引理1.1知w是T和F的唯一公共不动点.

定理2.2设(X，d)是GMS，映射T，F：X→X满足TX⊂FX且TX或FX是完备的.如果对任何x，y∈X，

ψ(d(Tx，Ty))≤φ(d(Fx，Fy))-φ*(d(Tx，Ty)，d(Fx，Fy))，

(13)

其中ψ∈Ψ，φ∈Φ，φ*∈Φ*满足(4)式，则T和F有唯一重合的点.进一步，如果T和F是弱相容的，则T和F有唯一公共不动点.

证明考虑定理2.1中定义的2个序列{xn}和{yn}.任意固定j=1，2，…，且取x=xn，y=xn+j，则根据(6)和(13)式得

ψ(d(yn，yn+j))=ψ(d(Txn，Txn+j))≤
φ(d(Fxn，Fxn+j))-φ*(d(Txn，Txn+j)，d(Fxn，Fxn+j))=
φ(d(yn-1，yn+j-1))-φ*(d(yn，yn+j)，d(yn-1，yn+j-1)).

如果{yn}不是GMS柯西序列，则存在>0，使得对任何k∈N，存在正整数nk，mk满足nk>mk>k，d(ynk，ymk)≥.进一步，相对于mk，可选取满足上式的最小的nk，则d(ynk-1，ymk)<.

重复(10)与(11)式的推理过程，可得

(14)

在(13)式中取x=xnk，y=xmk，则经整理得

ψ(d(ynk，ymk))≤ψ(d(ynk-1，ymk-1))-φ*(d(ynk，ymk)，d(ynk-1，ymk-1)).

在上式中令k→∞，利用(14)式有

ψ()
()-φ*(，).

假设TX是完备的，则类似于定理2.1的证明，存在w∈TX和y∈X使得

根据(13)式，有

ψ(d(yn+1，Ty))=ψ(d(Txn+1，Ty))≤φ(d(Fxn+1，Fy))-φ*(d(Txn+1，Ty)，d(Fxn+1，Fy))，

即

ψ(d(yn+1，Ty))≤φ(d(yn，w))-φ*(d(yn+1，Ty)，d(yn，w)).

令n→∞，则由上式得到

根据ψ，φ，φ*的性质及引理1.2得

0≤ψ(d(w，Ty))≤φ(d(w，w))-φ*(d(w，Ty)，d(w，w))=0-φ*(d(w，Ty)，0)，

因此必有ψ(d(w，Ty))=0.由ψ的性质得到d(w，Ty)=0，于是Ty=w=Fy.同理可证当FX完备时仍成立Fy=w=Fy.

如果w1也是T和F的重合的点，则存在y1∈X使得w1=Ty1=Fy1.根据(13)式，

ψ(d(w，w1))=ψ(d(Ty，Ty1))≤φ(d(Fy，Fy1))-φ*(d(Ty，Ty1)，d(Fy，Fy1))=
φ(d(w，w1))-φ*(d(w，w1)，d(w，w1)).

于是根据(4)式得d(w，w1)=0，即w=w1.这说明w是T和F的唯一重合的点.最后，若T和F是弱相容的，则根据引理1.1知w是T和F的唯一公共不动点.

注2.1(1) 定理2.1和定理2.2中不要求φ(t)=0⟺t=0和φ(s，t)=0⟺s=t=0.这与文献[11]中相应定理中α，β的要求是不同的.

(2) 若定义β(t)=φ(t，t)，∀t≥0，并用β代替定理2.1中的φ，则定理2.1变成文献[11]中的定理1.因此定理2.1推广和改进了文献[11]中的定理1.

(3) 定理2.2是定理2.1的另一个表现形式，因此定理2.2同样推广和改进了文献[11]中的定理1.

(4) 如果T=F或T和F中有一个是恒等映射，则T和F显然是弱相容的.因此如果在定理2.1及定理2.2中取T=F或F=1X，则T有唯一不动点；如果取T=1X，则满映射F有唯一不动点.

3 偏序的GMS上的重合的点和公共不动点

记C(T，F)为T和F的重合的点的集合.

定理3.1设(X，⪯)是偏序集且(X，d)是GMS，映射T，F：X→X满足TX⊂FX，T是F-单调递增的,且TX或FX是完备的.如果对任何满足Fx⪯Fy的x，y∈X，有

ψ(d(Tx，Ty))≤φ(d(Fx，Fy))-φ(d(Fx，Fy)，d(Fx，Fy))，

(15)

其中ψ∈Ψ，φ∈Φ，φ∈Φ满足(2)式.假设X中任何单调递增的序列{xn}收敛于x∈X时，xn⪯x，∀n∈N.如果存在x0∈X使得Fx0⪯Tx0，则T和F有重合的点.进一步，如果C(T，F)的任何2个元素都是可比较的，则T和F有唯一重合的点.进一步，若F和T又是弱相容的，则T和F有唯一公共不动点.

证明由TX⊂FX可知，存在x1∈X满足Fx0⪯Tx0=Fx1.根据T的F-单调递增性得到Tx0⪯Tx1，因此Fx0⪯Tx0=Fx1⪯Tx1.又存在x2∈X满足Tx1=Fx2，因此Fx1⪯Tx1=Fx2，再由T的F-单调递增性得到Tx1⪯Tx2，于是得到Fx0⪯Tx0=Fx1⪯Tx1=Fx2⪯Tx2.重复此过程可得到2个序列{xn}和{yn}满足yn=Txn=Fxn+1，n=0，1，2，…，且成立以下关系：

Fx0⪯Tx0=Fx1⪯Tx1=Fx2⪯Tx2⪯…⪯Txn-1=Fxn⪯Txn=Fxn+1⪯….

(16)

利用条件(15)和(16)式，并采用定理2.1的证明方法可证明{yn}是GMS柯西序列(只是在证明过程中把ynk和ymk的位置对换即可)且不论TX完备还是FX完备，总存在w，y∈X使得w=Fy∈FX且满足

(17)

因为{yn}是单调递增的且yn→w=Fy，因此Fxn=yn-1⪯w=Fy，∀n∈N.于是根据(15)式，得

ψ(d(Txn，Ty))≤φ(d(Fxn，Fy))-φ(d(Fxn，Fy)，d(Fxn，Fy))，

整理得

ψ(d(yn，Ty))≤φ(d(yn-1，Fy))-φ(d(yn-1，Fy)，d(yn-1，Fy)).

令n→∞，则根据ψ，φ，φ的性质及引理1.2，由上式得ψ(d(Fy，Ty))≤φ(d(Fy，Fy))-φ(d(Fy，Fy)，d(Fy，Fy))=0，于是得到Fy=Ty=w，即w∈C(T，F).如果w1∈C(T，F)，则存在y1∈X使得w1=Ty1=Fy1.由条件可设w⪯w1，则Fy⪯Fy1，于是根据(15)式得

ψ(d(w，w1))=ψ(d(Ty，Ty1))≤φ(d(Fy，Fy1))-φ(d(Fy，Fy1)，d(Fy，Fy1))=
φ(d(w，w1))-φ(d(w，w1)，d(w，w1))，

因此由(2)式得d(w，w1)=0，即成立w=w1.这说明w是T和F的唯一的重合的点.如果F和T是弱相容的，则由引理1.1知w是T和F的唯一公共不动点.

定理3.2设(X，⪯)是偏序集且(X，d)是GMS，映射T，F：X→X满足TX⊂FX，T是F-单调递增的且TX或FX是完备的.如果对任何满足Fx⪯Fy的x，y∈X，得

ψ(d(Tx，Ty))≤φ(d(Fx，Fy))-φ*(d(Tx，Ty)，d(Fx，Fy))，

(18)

其中ψ∈Ψ，φ∈Φ，φ*∈Φ*满足(4)式.假设X中任何单调递增的序列{xn}收敛于x∈X时，xn⪯x，∀n∈N.如果存在x0∈X使得Fx0⪯Tx0，则T和F有重合的点.进一步，如果C(T，F)的任何2个元素都是可比较的，则T和F有唯一重合的点.进一步，如果F和T又是弱相容的，则T和F有唯一公共不动点.

证明类似定理3.1的证明过程可得到{xn}和{yn}满足(16)和(17)式.因为{yn}是单调递增的且yn(=Txn=Fxn+1)→w=Fy，因此Fxn=yn-1⪯w=Fy，∀n∈N.于是根据(18)式，得

ψ(d(Txn，Ty))≤φ(d(Fxn，Fy))-φ*(d(Txn，Ty)，d(Fxn，Fy)).

令n→∞，得

根据ψ，φ，φ*的性质及引理1.2整理得

0≤ψ(d(Fy，Ty))≤φ(d(Fy，Fy))-φ*(d(Fy，Ty)，d(Fy，Fy))=0-φ*(d(Fy，Ty)，0))，

于是必有ψ(d(Fy，Ty))=0.因此Ty=Fy=w，即w∈C(T，F).如果w1∈C(T，F)，则存在y1∈X使得w1=Ty1=Fy1.由条件可设w⪯w1，则Fy⪯Fy1，于是根据(18)式得到

ψ(d(w，w1))=ψ(d(Ty，Ty1))≤φ(d(Fy，Fy1))-φ*(d(Ty，Ty1)，d(Fy，Fy1))=
φ(d(w，w1))-φ*(d(w，w1)，d(w，w1))，

由(4)式得d(w，w1)=0，即成立w=w1.这说明w是T和F的唯一的重合的点.进一步，如果F和T是弱相容的，则由引理1.1知w是T和F的唯一公共不动点.

定理3.3设(X，⪯)是偏序集且(X，d)是GMS，连续映射T，F：X→X满足TX⊂FX，T是F-单调递增的且TX或FX是完备的.如果对任何满足Fx⪯Fy的x，y∈X，得

ψ(d(Tx，Ty))≤φ(d(Fx，Fy))-φ(d(Fx，Fy)，d(Fx，Fy))，

(19)

其中ψ∈Ψ，φ∈Φ，φ∈Φ满足(2)式.如果T或F是序列收敛的且存在x0∈X使得Fx0⪯Tx0，则T和F有重合的点.进一步，如果C(T，F)的任何2个元素都是可比较的，则T和F有唯一重合的点.如果F和T又是弱相容的，则T和F有唯一公共不动点.

证明类似定理3.1证明过程，可得到2个序列{xn}和{yn}以及w∈X使得

当T或F是序列收敛时，由于{yn}收敛，因此根据定义1.6知{xn}是收敛的.设xn收敛于x，则根据T和F的连续性得到

于是Tx=Ty=w，即w∈C(T，F).余下的证明与定理3.1的证明类似.

类似地，可给出定理3.2的连续映射条件下的表现形式：

定理3.4设(X，⪯)是偏序集且(X，d)是GMS，连续映射T，F：X→X满足TX⊂FX，T是F-单调递增的且TX或FX是完备的.如果对任何满足Fx⪯Fy的x，y∈X，

ψ(d(Tx，Ty))≤φ(d(Fx，Fy))-φ*(d(Tx，Ty)，d(Fx，Fy))，

(20)

其中ψ∈Ψ，φ∈Φ，φ*∈Φ*满足(4)式.如果T或F是序列收敛的且存在x0∈X使得Fx0⪯Tx0，则T和F有重合的点.进一步，如果C(T，F)的任何2个元素都是可比较的，则T和F有唯一重合的点.如果F和T又是弱相容的，则T和F有唯一公共不动点.

注3.1(1) 类似于注2.1，如果在定理3.1—3.4中取T=F或F=1X，则T有唯一不动点；如果取T=1X，则满映射F有唯一不动点.

(2) 定理2.1—2.2及定理3.1—3.4中不需要X满足Hausdorff条件，但是文献[11]中的定理中都要求X具有Hausdorff性质.