在解题教学中积累数学活动经验的实践与思考
2021-03-24李小峰
【摘要】《普通高中数学课程标准（2017年版）》明确将数学基本活动经验纳入课程目标，并提出基本活动经验是数学学习的基础。研究者在分析一道数学高考模拟题中学生的得分情况、题目背景、解法探究的基础上，提出解题教学活动中积累数学基本活动经验的三个教学思考：解题思维障碍的突破、基本活动经验的积累、运算核心素养的培养。
【关键词】解法探究;活动经验;运算素养;思维障碍
《普通高中数学课程标准（2017年版）》明确将数学基本活动经验纳入课程目标，并提出基本活动经验是数学学习的基础。那什么才是数学基本活动经验呢？有研究者指出，所谓数学基本活动经验，就是在数学活动中获取的经得起推敲的感悟体验。笔者认为，数学基本活动经验是在数学教与学的活动中，帮助学生积累数学知识、解题方法，让学生学会反思学习的能力，进而内化为学生的数学核心素养。教师在数学教学过程中如何有效地帮助学生积累数学活动经验，本文以一道高考数学模拟题的解题教学为例进行分析和研究。
一、试题呈现
例题（2020年苏锡常镇高考数学模拟题）某地为改善旅游环境进行景点改造（如图1）。如图2，将两条平行观光道l1和l2通过一段抛物线形状的栈道AB连通（道路不计宽度），l1和l2所在直线的距离为0.5（百米），对岸堤岸线l3平行于观光道且与l2相距1.5（百米）（其中A为抛物线的顶点，抛物线的对称轴垂直于l3，且交l3于M），在堤岸线l3上的E，F两处建造建筑物，其中E，F到M的距离均为1（百米），且F恰在B的正对岸（即BF⊥l3）。
（1）在图2中建立适当的平面直角坐标系，并求栈道AB的方程。
（2）游客（视为点P）在栈道AB的何处时，观测EF的视角（∠EPF）最大？请在第（1）题的坐标系中，写出点P的坐标。
本题主要考查抛物线的方程、两角和与差的三角公式、基本不等式与导数求最值等内容，考查解析法研究三角问题，考查直观想象、数学运算等数学核心素养。本题以实际应用为背景，考查学生的建模能力以及解决实际问题的基本活动经验。
二、考情分析
以下是笔者所在市区4530名学生的答题得分情况（见表1和表2）。
从表2可以看出，第（2）题的平均分只有2.29分，难度系数为0.25。从阅卷情况来看，学生得分低的主要原因是：大部分學生选择了余弦函数作为目标函数求角的最值，只有极少数学生能求出式子（y20-2y0+3）/√{（y20-2y0+5）2-8y0}的最值;还有部分学生选择了正切函数作为目标函数，但目标函数的式子求错，导致不能得到正确结果。
本题的文化背景是米勒视角问题，对于很多学生来说还是比较熟悉的，在平时的教学中也多次涉及。笔者本以为这是一道得分率比较高的试题，但从学生的实际得分情况来看，学生的数学解题经验并没有达到教师预想的水平。于是，笔者在讲解本题之前，先向学生展示这道题的源流。
三、题目溯源
题1（1986年高考全国卷） 如图3，在平面直角坐标系中，在y轴的正半轴（坐标原点除外）上给定两定点A，B，试在x轴的正半轴（坐标原点除外）上求点C，使∠ACB取得最大值。
题2（苏教版高中数学教材必修5第102页习题）如图4，有一壁画，最高点A处离地面4 m，最低点B处离地面2 m。若从离地高1.5 m的C处观赏它，则离墙多远时，视角θ最大？
题3（米勒问题） 15世纪时，德国著名数学家米勒提出一个有趣的问题：在地球表面什么部位，一根垂直的悬杆呈现最长？即在什么部位，视角最大？米勒提出的最大视角问题是数学史上100个著名的极值问题之一。
以上三道试题都可以看作是例题的题源，它们都有着共同的问题结构。
四、基于学情的教学实践
（一）学情调查
为了开展更有针对性的教学，笔者对所在学校的766名高三学生做了问卷调查，学生在解该题时暴露的思维障碍点主要有：（1）两角和的正切公式记忆不准确;（2）对二分之一次型函数的解题方法不熟练;（3）不会处理含有根号和分式的函数;（4）解题过程中思维定式现象比较多。
（二）教学过程
1.展示学生答卷，积累规范答题经验
例题的第（1）问比较常规，从答题情况来看，学生的得分率很高。在教学过程中，笔者首先请学生讲解其正确的解题过程，然后引导学生反思如何建立平面直角坐标系更合理。
解：以A为原点，l1所在的直线为x轴，AM所在直线为y轴建立平面直角坐标系（如图5）。
由题意可知A（0，0），B（1，1/2），
设抛物线方程为x2=2py（p>0），则1=2p×1/2，解得p=1。
所以栈道AB的方程为x2=2y（0≤x≤1）。
2.拓展解题思路，积累分式函数解题经验
在第 （2）问的解题教学过程中，笔者关键是引导学生如何对∠EPF的三角函数进行选择。不少学生表示受以前解类似题的经验启发，如果主动添加辅助线，即过点P作PH⊥l3于点H，则∠EPF=∠EPH+∠FPH，这样会容易想到通过选择角的正切研究两角和的正切。这样做的原因有两个方面：一是容易列出两个角的正切函数;二是两角和的正切公式涉及的三角函数只有正切，没有根号，较容易求出最值。
解法1：过点P作PH⊥l3于点H，设P（x0，y0），∠EPH=α，∠FPH=β，则∠EPF=α+β，tanα=1+x02-y0，tanβ=1-x02-y0，所以tan（α+β）=2（2-y0）（2-y0）2-1+x20=2（2-y0）（2-y0）2-1+2y0。令t=2-y0∈[XC左中.TIF;%80%80，JZ]32，2[XC右中.TIF;%80%80，JZ]，则0
在该解题过程中，教师引导学生积累解题要有预判性的相关基本经验。对于如何合理选择目标函数研究∠EPF，一般有以下方法：一是如果一个分母是二次形式，分子是一次形式的分式函数，可以利用换元化归出例如t+3t的式子，再用基本不等式求出最值即可;二是从解题规范性看，在解题中应说明正切函数的单调性。
3.克服思维障碍，提升处理复杂根式的能力
从学生的问卷调查以及批卷过程中发现，不少学生选择利用向量的夹角公式，得到∠EPF的余弦函数表达式y20-2y0+3（y20-2y0+5）2-8y0，或者利用等面积法得到∠EPF的正弦函数表达式2[DK]（2-y0）（-1-x0）2+（2-y0）2·（1-x0）2+（2-y0）2。因为不少学生在三角或者向量中求角的相关最值问题，用得较多的目标函数是余弦函数或者是正弦函数，所以当学生看到此题后，不假思索的就用余弦函数或者正弦函数求解最大角，但对于上述两个式子，由于学生缺乏相关的整体换元的经验，导致无法求解。因此，在教学中，教师要引导学生积累对根式的处理以及整体换元化简式子的相关经验。对于上述两个式子，在分母上有两个根号，教师应引导学生用平方差进行化简，而分子上没有根号，此时要把根号外的式子通过平方放进根号内，同时还要注意观察如何进行整体换元。最后让学生在对比分析解法1的过程后，灵活进行解题预判，改进解题方法。
解法2：设P[DK]（x0，y0）（其中0≤x0≤1，0≤y0≤12），则x20=2y0。
从而cos∠EPF=PE·PF|PE|·|PF|=y20-2y0+3（y20-2y0+5）2-8y0
=（y20-2y0+3）2（y20-2y0+3）2+4（y20-2y0+3）+4-8y0
=11+4（y0-2）2（y20-2y0+3）2。
令t=2-y0，则t∈[XC左中.TIF;%80%80，JZ]32，2[XC右中.TIF;%80%80，JZ]，所以（2-y0）（y20-2y0+3）=tt2-2t+3=1t+3t-2≤123-2。
（余下过程略）
解法3：设P[DK]（x0，y0）（其中0≤x0≤1，0≤y0≤12），则x20=2y0。
设∠EPF=θ，由△EPF的面积可知12·EF·|2-y0|=12PF·PE·sinθ，
则sinθ=2·[DK]（2-y0）PE·PF=2[DK]（2-y0）（y20-2y0+5）2-8y0，令t=2-y0，则t∈[XC左中.TIF;%80%80，JZ]32，2[XC右中.TIF;%80%80，JZ]，
所以sinθ=2t（t2-2t+5）2-8（2-t）=2t2+9t2-4[XC括1.TIF，JZ]t+3t[XC括2.TIF，JZ]+14=2[XC括1.TIF，JZ]t+3t[XC括2.TIF，JZ]2-4[XC括1.TIF，JZ]t+3t[XC括2.TIF，JZ]+8。
令s=t+3t≥23>2，所以当t+3t=23时，即t=3时，（sinθ）max=220-83。
又PE·PF=（2-y0）2+x20-1=y20-2y0+3>0。
（余下过程略）
在教学中，不少教师觉得这两种解法太麻烦，没有解法1简洁，于是选择不做具体讲解，但如有学生选择利用余弦函数或者正弦函数进行解答，笔者认为应该要肯定学生的想法。解题教学绝不仅仅是解出题目，而是要在解题教学过程中帮助学生积累相应的解题经验，同时通过对比，让学生进一步积累解题要有预见性的经验。
4.溯源数学文化背景，积累优化运算经验
从题目溯源可知，该例题的背景是米勒问题，而处理米勒问题的几何方法就是研究过已知两点的圆与目标点所在直线相切时视角最大，而此时的目标点在抛物线上运动，但几何方法是否可行，教师可引导学生根据过曲线与曲线相切的概念进行解题。
解法4：（用米勒原理解题）
如图6，设过E，F两点的圆方程C：（x-a）2+（y-b）2=r2，r>0。
因为E，F两点关于y轴对称，所以a=0，即圆C：x2+（y-b）2=r2，r>0。
当圆C与抛物线相切时，∠EPF最大。
根据曲线相切的定义[1]，可知圆C与抛物线相切，即两曲线都过点P，且在点P处的切线相同。
因为y=12x2，y′=x，抛物线在点P处的切线斜率为k1=x0。
此时直线PC斜率为k2=y0-mx0，两曲线在点P处切线相同，所以y0-bx0·x0=-1，b=y0+1。
又圆C过点E，P，有（-1）2+（2-b）2=r2，x02+（b-y0）2=r2，且x20=2y0，解得y0=2±3。
因为y0∈[XC左中.TIF;%80%80，JZ]0，12[XC右中.TIF;%80%80，JZ]，所以取y0=2-3，此时圆C方程为x2+（y-3+3）2=5-23。
（余下过程略）
因此，在解题教学中，教师应和学生进行题目的追本溯源，这样不仅可以帮助学生积累解决这类问题的经验，还可以在溯源过程中沉淀数学文化，在培育运算核心素养的过程中积累优化运算的相关经验。
五、教学启示
在数学教学过程尤其是高三教学过程中，解题教学是积累数学基本活动经验的有效载体。但在解题教学课堂中，笔者发现还存在就题论题，就题解题的情况;只讲解题思路，缺乏对运算过程的评价与方法优化的思考;按照教师自己的理解以及参考答案进行讲解，没有基于学情帮助学生突破解题思维障碍点等。综合上述教学实践，笔者认为在解题教学过程中，要合理设计教学过程，帮助学生突破解题思维障碍点，让学生获得相应的基本活动经验，培育学生的核心素養。
（一）突破解题思维障碍点
学生在解决该例题时，最大的思维障碍在于选用余弦函数表达式后无法进行下一步的求解。在教学过程中，教师既要肯定学生的想法，按照学生的思路将题目解完，帮助学生积累对复杂式子处理的经验，也要引导学生进行解题方法的比较。教师要先了解学生对基本知识、基本方法的掌握情况，有针对性地强化“三基”，从而积累基本活动经验，然后立足学生的思维特点，开展一题多解教学，让学生获得解题灵活性与预见性的经验。
（二）获得基本活动经验
有研究者指出，学生获得数学基本活动经验的过程如图7所示[2]。
在解题教学之前，教师应充分了解学生做题过程中的思路、困难、易错点等;在课堂教学中，从学生的视角出发，梳理学生的初始性经验，然后从学生不同的解题视角解决相应问题，帮助学生形成再生性经验;在对比各种解法之后，让学生充分讨论解决类似题的常见解题方法以及最优解，在探讨中加深对知识的理解，激发学生探究解题的兴趣，帮助学生形成概括性经验以及经验图式。
（三）培养运算核心素养
《普通高中数学课程标准（2017年版）》将运算素养的水平分为三个层次：（1）能够在熟悉的情境中了解运算对象，提出运算问题，并用运算结果说明问题;（2）能够在关联的情境中了解运算对象，提出运算问题，并能够借助运算探讨问题;（3）能够在综合情境中把问题转化为运算问题，明确运算方向，构建运算程序，能够用程序思想理解和解释问题。以上三个水平层次分别对应运算素养的三个要求：熟悉运算、转化运算、创新运算。
就该例题而言，解法1构建∠EPF的正切函数，式子简单易算，是高中生必须掌握的分式模型之一，这表明学生已经熟悉运算了;有一部分学生选择了构建∠EPF的余弦函数，得到式子y20-2y0+3（y20-2y0+5）2-8y0后无法进行后续的求解，通过教师课堂教学的阐述和学生的讨论，学生可进一步积累处理y20-2y0+3（y20-2y0+5）2-8y0，2[DK]（2-y0）（y20-2y0+5）2-8y0等式子的經验，学生的运算素养达到了转化运算的要求;解法4是视角问题的几何解释，思考的过程多一点，代数运算过程少一点，解题的正确率高一点，这表明达到了创新运算的要求。
张奠宙教授曾说过，数学基本活动经验，并不构成一个单独的维度，而是填充在基础知识、基本技能、基本思想之间的粘合剂。因此，学生数学基本活动经验的积累应渗透在平时教学的每一节课中，对照教学目标，设置合适的数学活动，让学生经历相应数学化的过程，获得自己独立的观点，培育学生的核心素养。
参考文献：
[1] 史嘉.两条曲线相切的定义及其应用：从2018年高考数学全国卷Ⅰ文科第21题说起[J].中学数学教学参考，2019（22）：48-50.
[2] 向立政，皮东林.数学基本活动经验的获得：例探其基本过程、水平层次和主要表征[J].中国数学教育，2017（9）：2-5.
（责任编辑：陆顺演）
【作者简介】李小峰，高级教师，新青年数学教师工作室骨干成员，主要研究方向为高中数学教学。
