新课程理念下抽象素养立意的初中数学概念教学

于美

[摘  要] 数学概念不仅是数学思维的核心，还是数学抽象的源泉. 在概念教学中培养学生的数学抽象素养，意义重大. 基于此，文章以“反比例函数”的教学过程为例，进行新课程理念下数学抽象素养立意的概念教学尝试.

[关键词] 数学抽象;概念教学;反比例函数

近年来，核心素养越来越受到人们的重视. 通过课堂教学落实核心素养，不仅能让学生体验到数学的价值和魅力，还能激发学生的求知欲，激活学生的数学思维. 数学概念获得的过程是最典型的数学抽象过程，因此，在概念教学中培养抽象素养意义重大[1]. 在教学中，教师需尽可能地采用适当的教学策略，创设适切的问题情境，设计深刻的学习活动，凸显概念的“再创造”过程，使学生理清概念的本质，生成数学抽象能力. 文章以“反比例函数”的教学过程为例，探讨基于数学抽象能力培养的初中概念教学的基本策略.

课前思考

1. 确立教学目标

从学生认知规律和思维水平出发，这节课可确立如下教学目标：追溯概念的本源，经历抽象出反比例函数的过程，深刻理解概念的本质，实现灵活运用，进一步发展抽象素养.

2. 抽象素养与本节课的关系

张建跃博士曾说：要想提升概念教学的水平，最根本的是把握概念形成过程的教学. 由此可见，数学抽象是贯穿概念探究的思维主线，教师应选取典型生活实例，让学生经历完整的抽象过程，从而促进反比例函数概念的生成.

教学过程

1. 情境引入，感知函数

问题1：设花费10元购买的水果的价格是x元/斤，质量是y斤，那么y与x之间满足怎样的关系式？

问题2：已知橘子4.5元/斤，若购买n斤，该如何表示需要花费的钱数y（单位：元）？

问题3：王阿姨买水果已经花费了25元，她还想购买8元/斤的新鲜苹果a斤，那么该如何表示总花费的钱数y与a之间的关系？

问题4：如果水果超市距离王阿姨家1000 m，那么该如何表示王阿姨从家到水果超市所用时间t（单位：s）与步行平均速度v（单位：m/s）之间的关系？

设计意图 兴趣是培养学生思维的动力，诱发探究欲望是引导学生主动参与的前提. 函数是对现实世界变化的刻画，在这一环节，教师以趣引路，以学生的现实生活为出发点，设计贴合实际的问题串，刚好切合函数的本质特征，能为进一步探究反比例函数的概念奠定感性认识的基础.

2. 类比探究，认识函数

問题1：观察表达式y=，y=4.5n，y=8a+25，t=，并思考下面的问题.

（1）以上各表达式，变量有几个？

（2）以上表达式中的变量之间有何联系？试着说一说它们之间的联系.

（3）我们通常通过哪类数学模型来研究变量之间的关系？

设计意图 “问题1”借助类比辨析，使学生发现一次函数、正比例函数和反比例函数之间的共同点和不同点，既立足教材展现反比例函数的概念，促进学生的理解，又以问题为载体，培养学生的数学抽象能力. 这样的教学效果比教师直接讲解概念更好[2].

问题2：试着回忆一次函数的研究方法，并思考研究反比例函数该从哪些方面着手.

问题3：观察并说一说以上反比例函数解析式（解析式此处略）的共同特征.

问题4：类比正比例函数的定义，试着给反比例函数下定义.

设计意图 这里的问题串能引导学生进行类比、辨析、归纳和提炼等活动，能让他们在再创造和再加工的过程中感受概念的产生和发展过程，从而对反比例函数有更深入的认识和理解. 此时，概念的雏形已在学生心中逐步完成.

3. 抽象辨析，深化理解

问题1：下列函数，是反比例函数的有______.

①xy=3;②y=;③y=x-1;④y=;⑤y=;⑥y=-.

问题2：若y=（m+2）x|m|-3是反比例函数，试求出m的值.

问题3：判断一个函数是否为反比例函数，方法有哪些？反比例函数解析式的表达形式有哪些？

设计意图 “问题1”旨在通过辨析和讨论，让学生巩固和深化对概念的理解，并让他们掌握反比例函数解析式的不同表达形式.

4. 学以致用，应用函数

问题1：在日常生活中，反比例函数应用广泛，请试着列举一些实例.

设计意图 引导学生从生活经验出发，巩固并理解反比例函数的定义，让学生在合作学习和探究讨论中体会数学在生活中的应用.

问题2：当电压是220 V时，试写出电阻y（单位：Ω）关于电流x（单位：A）的函数关系式.

问题3：函数y=可以反映多个实际问题中变量之间的关系，你能否列举一二？

设计意图 这些问题让学生去列举、去阐释、去互动，能达到内化概念的目的. 这样一来，既丰富了学生的数学基本活动经验，又让他们感受到了同一函数的不同应用，能很好地渗透建模数学思想. 另外，这些问题还能培养学生的数学抽象和直观想象等数学核心素养，以及语言表达和合作交流等关键性能力.

5. 尝试应用，强化认识

问题1：如图1，杠杆平衡，已知阻力是1000 N，阻力臂长5 cm，设动力为y（单位：N），动力臂长x（单位：cm），且图1中杠杆本身受力忽略不计. （提示：杠杆平衡时，阻力×阻力臂=动力×动力臂）

（1）试写出y关于x的函数关系式，并思考这个函数是否为反比例函数. 若是反比例函数，请写出比例系数;若不是，请说明理由.

（2）试求出当x=50时y的值，并阐释该值的实际意义;试求出当x=100时y的值，并阐释该值的实际意义;当x=150时呢？当x=200时呢？

（3）根据函数解析式，说一说当动力臂的长扩大至原来的n（n>1）倍时，所需的动力如何变化.

问题2：试着说一说解决实际问题的基本流程.

设计意图   “问题1”重在概念的应用，各小题环环相扣，聚焦了一节课的学习内容. “问题2”通过反思解决问题的基本流程，不仅能让学生掌握解决问题的方法，还能加深他们对数学的理解.

6. 畅谈收获，回顾函数

问题：在学习反比例函数知识的过程中，我们运用了哪些思想方法？你们还有哪些困惑，哪些感悟？

设计意图 单一、零散的知识点不利于学生新知的建构. 教师通过引领学生回顾概念的产生过程，并提炼一节课的知识点，让学生再一次梳理本节课的知识点，能培养学生的反思习惯. 同时，“问题”的重点是让学生畅谈数学思想方法方面的收获，以让他们提升对数学思想方法的理性认识，从而落实教学目标.

教学思考

1. 在现实生活中准确切入，孕育抽象能力

生活中的感性素材是孕育数学抽象的载体，因此联系生活，设计切合实际的探究背景，可以直击学生的抽象思维能力. 本课中，教师选取学生生活中十分熟悉的购买水果这一实例进行引入，引导学生充分感知生活中蕴含的函数知识，通过联想和对比，准确得出反比例函数的概念，这符合学生的认知规律和抽象思维特征.

2. 在類比、辨析中充分体验，发展抽象能力

数学知识的完整性使得数学结论之间具有一定的相关性. 而这些相关性可以作为教师课堂教学的着力点. 采用类比、联想和辨析的方法，能让学生自主探究和发现新结论或新方法. 在本课的教学中，教师还让学生根据一次函数的研究思路，类比研究反比例函数. 学生通过一系列的探究活动，不仅挖掘了自身的潜能，激发了学习兴趣，还发展了数学抽象能力，并在充分的体验中享受了成功的喜悦，为之后的创造性学习奠定了良好的基础.

3. 在提炼、概括中螺旋上升，提升抽象能力

概念的概括与提炼需要通过对研究对象的一般性概括来生成共同属性. 数学抽象的过程需要以问题为载体，引导学生进行一系列抽象思维活动，最终归纳并提炼出共同属性，实现深度学习. 本课中，针对反比例函数的特质，教师出示问题让学生独立思考、自主探究和合作交流，在生生互动和教师的点拨下进行提炼与概括，让学生明晰概念的本质属性. 值得一提的是，概念提炼时机的把握十分重要，否则，学生不能以发现者的角色提炼出反比例函数的根本属性，有时甚至还会影响学生对概念的理解.

总之，高度抽象是数学的主要特征，新课程理念下的概念教学应着力于学生对概念本质属性的抽象，以及对学生抽象能力的培养. 概念教学的探究之路需要一线数学教师持之以恒地延续下去，这样才能真正意义上实现素养教育[3].

参考文献：

[1]李祎，曹益华. 概念的本质与定义方式探究[J]. 数学教育学报，2013，22（6）.

[2]邵光华，章建跃. 数学概念的分类、特征及其教学探讨[J]. 课程·教材·教法，2009，7（7）.

[3]匡继昌. 如何理解和掌握数学概念的教学实践与研究[J]. 数学教育学报，2013，22（6）.

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