浅论均匀带电球冠和相切平面的电场等价性

朱中凯 刘亲博 王睿博 朱钦圣 吴明和 滕保华

(电子科技大学1英才实验学院;2信息与通信工程学院;3物理学院;四川 成都 611731)

引言

电磁学教材及相关文献[1]～文献[7]中常常会讨论不同带电体电场的等价性问题,因为利用一些等价关系可以使实际问题得以方便处理,如镜像法[1-3]用等效的镜像电荷替代原本问题的某些元素,从而可以将问题大为简化。文献[4]讨论了两种均匀带电线以及两种均匀带电面的场强等价关系,但是只是考虑在圆心及球心的特定位置,文献[5]～文献[7]计算了均匀带电球面上的电场强度,但没有讨论带电球面和带电平面间的场强等价关系。本文将讨论均匀带电球冠面和与之相切的均匀带电平面在球面北极点的电场等价性,以及均匀带电圆弧和与之相切的均匀带电直线在圆环顶点处的不等价性,从而丰富不同带电体电场的等价性问题的内涵。

1 带电面在球面北极点的电场关系

首先定义北极点P,它是球面O与QO延长线的交点(Q是平面与球面O的切点),然后利用测地投影法,可以建立球面上球带与平面上圆环之间的对应关系,如图1所示。

图1 带电球冠面与带电平面示意图

若均匀带电球冠面与均匀带电平面相切于Q点,电荷密度皆为σ,球面的半径为R,则均匀带电平面上内半径为r、外半径为r+dr的圆环在北极点P处产生的场强为

而均匀带电球冠面上与上述均匀带电平面圆环相对应的球带在北极点P处的场强为

也就是说,电荷面密度相等的均匀带电球带和与之对应的均匀带电圆环,在北极点处产生的电场强度完全等价。这就意味着均匀带电球冠和与之对应的均匀带电圆盘在北极点的场强是等价的,即

利用上述结论,可以得到均匀带电几何球面上一点的场强。对于均匀带电的几何球面,其电场分布在该球面的邻域内不连续,所以直接求解该点场强有一定困难,但是许多文献计算了该点场强值收敛于。

其实,由上述等价关系知道,一无限大均匀带电平面和与之相切的均匀带电球面在北极点处产生的电场强度完全等价,在式(3)中取可得均匀带电球面对该点的电场强度为,与无限大均匀带电平面对该点的电场强度等价。

当然,上述均匀带电几何球面也可以看成是均匀带电薄球壳的极限情形。对于带电量为Q,内半径为R1,外半径为R2的同心带电球壳,由高斯定理可以得到r处(R1≤r≤R2)的场强为

当δ趋于无穷小时该球壳即趋于一个几何球面,此时可得:

为了更加直观起见,这里给出了均匀带电球壳的场强与r的图像,如图2所示。可以发现,当R1与R2非常接近时,场强大小E与r在R1＜r＜R2中近似呈线性关系,且E(R1)=0,E(R2)=,于是在r=(R1+R2)/2 处其场强大小为E(r)=,这就是均匀带电几何球面上的场强。

图2 均匀带电球壳的场强

2 带电线在顶点处的场强关系

下面讨论带电直线和与之相切的带电圆弧在圆环顶点的场强关系。如图3所示,电荷线密度为λ1的带电直线与电荷线密度为λ2半径为R的带电圆弧相切。

图3 带电直线和带电圆弧示意图

当θ变化到θ+dθ时,带电直线上对应线元dx,而带电圆弧上对应圆弧元ds,则线元在圆弧顶点P处产生的场强为

由几何关系可以简化为:

而圆弧元在圆弧顶点P处产生的场强为:

同样利用几何关系有

可以看出,若电荷线密度相等的均匀带电线元和均匀带电圆弧元,二者在相应圆弧的北极点P处产生的场强是不等价的。只有当电荷线密度满足λ2=λ1cos2θ时,带电圆弧微元与带电直线微元在相应的圆弧顶点处产生的场强才是等价的。

结合文献[4]可以得到,均匀带电球冠面和与之相切的均匀带电平面在球面北极点的电场是等价的,但是在球面圆心处的电场是不等价的;均匀带电圆弧和与之相切的均匀带电直线在圆环顶点处是不等价的,而在圆心处的电场是等价的,从而把不同带电体电场的等价性问题进行了拓宽和推广。

3 结语

本文首先讨论了均匀带电球面微元与均匀带电平面微元在球面北极点的电场等价关系,并应用两种面微元的电场等价性得出均匀带电球面上的场强,然后分析了均匀带电圆弧微元与均匀带电直线微元的不等价关系。结果表明,带电面的场强等价性与带电线的场强等价性的区别在于:对于北极点,前者电荷密度相同则完全等价,而后者需要引入随夹角变化的电荷密度关系才等价;对于圆心,后者电荷密度相同则完全等价,而前者需要引入随夹角变化的电荷密度关系才等价。