变质量牛顿运动定理及其应用

史 博 陶宗明 张 辉 单会会 麻晓敏 张连庆 王申浩

(陆军炮兵防空兵学院物理教研室,安徽 合肥 230031)

我们都知道牛顿运动定律适用于质点,在低速条件下不考虑质点质量的变化,可直接运用F=m a(其中,F表示力,m表示质量,a表示加速度)求解问题,而在公式(P表示动量,v 表示速度,t表示时间)中,后一项是由于相对论效应导致的质点质量的改变,而并非与外界质量交换导致的质量变化。但在经典力学中常常会遇到物体与外界有质量交换而引起的变质量问题,那么F=m a的形式对这种变质量情况是否成立?

变质量物体可以看作一个系统,则它就是一质量不断变化的开放系统。我们知道,对于一个质量不变的封闭系统而言,每个瞬时,F=m a也都是成立的,但系统内各质点的加速度可能是不同的,因此这里的F是系统受到的合外力,m是系统的(总)质量,而a是系统的质心加速度,所以此时运用的也就是质心运动定理。对于质量随时间变化的开放系统,由于它与外界有质量交换,显然质点的牛顿运动定律公式F=m a就无法直接运用了。

对于质量与外界有交换的变质量物体,可把变质量物体和与其交换的质量看成一个系统,其动力学问题可通过系统的动量定理、动能定理或功能原理解决[1-3],但大部分老师和学生仍然对牛顿第二定律更加熟悉,能不能推导出与牛顿第二定律形式相似又适用于变质量物体的运动定理呢? 本文将给出两种推导方法,并举例应用。

1 公式推导

1.1 变质量物体的界定

本文讨论的变质量物体是指一个质量主体在运动过程中不断有较小的质量加入(或离开),如雨滴下落过程中不断有水汽加入,火箭飞行过程中不断向外喷气等。这类变质量问题有一个特点就是主体和离开前(或主体与加入后)的较小质量具有共同的速度。本文所讨论的变质量物体就是指具有上述特点的主体。

对于这类变质量力学问题,本文推导出了与牛顿第二定律具有相同形式的表达式,便于学生记忆和理解。在推导过程中,引入以下假设:在变质量问题中,加入(或离开)主体的较小质量,只与主体之间有相互作用力,不受其他外力作用。

1.2 由牛顿定律进行推导

设变质量主体的质量为M,在dt时间内有较小质量dm加入(或离开)主体,加入主体后(或离开主体后)相对主体的速度为u,M受到dm的作用力为f,M受到除dm之外的合力为F;dm受到外力f′,且有f=-f′,对M和m分别运用牛顿第二定律[4-6]

其中,a M和a m分别是M和dm的加速度。两式相加可得

对于dm的加速度a m,可写成

将公式(4)代入公式(3),可整理为

1.3 由系统的动量定理进行推导

以主体质量增加为例进行推导,默认地面参考系。设物体M速度为v,受力为F,质元dm初始速度为v0,dm加入M中经过时间为dt,M和dm的共同速度为v+dv,根据系统的动量定理

忽略dmdv 整理得

设dm速度的变化为u,即u=v-v0,可得

由上可知,式(5)和式(8)是相同的,即两种推导方法结果一样。在系统质量减少的情况下,若取绝对值,方程形式不变,若取负值,则形式为,这里不再推导。

以上两种方法推导出的变质量问题运动方程与牛顿第二定律的形式和谐统一,便于记忆和理解,将其命名为变质量牛顿运动定理。

2 应用举例

根据以上推导得到的运动定理,举例进行分析求解。

例题1装煤车问题。一辆装煤车以水平速率v从煤斗下经过,每秒落入车厢的煤的质量为Δm,若车厢保持速率不变,应用多大的力牵引车厢? (忽略车厢与钢轨之间的摩擦)

解:此问题可以煤车系统为研究对象,应用系统动量定理求解;也可以落入煤车的煤dm为研究对象,应用质点的动量定理求解。这里给出应用本文推导的方程来求解的过程。

以地面为参考系,以车厢为研究对象,在水平方向上进行分析,dt时间内落入车厢的煤dm水平方向不受外力,车厢保持速率不变,则水平方向加速度大小为零,则

其中,u=v-0=v,可得F=vΔm(Δm是每秒落入车厢的煤的质量,单位为kg/s) 。

例题2火箭飞行原理。设火箭平行于地面飞行,初始时刻质量为M0,水平方向速度为v0,经过dt时间喷出气体的质量为dM,火箭喷气速度为u0,在忽略空气阻力的情况下分析火箭速度的增量。

解:设火箭飞行方向为正方向,以火箭为研究对象,在水平方向上进行分析。设某时刻火箭的质量为M,速度为v,喷出的气体相对于火箭的速度为-u0,根据伽利略速度变换公式,气体相对地面的速度为v′=-u0+v,所以喷气前后气体速度的变化为u=v′-v=（-u0+v）-v=-u0,由于为负值,则

火箭在水平方向上只受dM的作用力,不受其他外力作用,因此

例题3链条竖直自由下落问题。如图1所示,质量为m的均匀软链条,长为L,上端悬挂,下端恰与地面接触,由于悬挂松脱链条自由下落,求链条落到地面上的长度为l时,对地面的作用力。

图1

解:以地面上的链条为研究对象,在竖直方向上进行分析,选择向下为正方向,设链条单位长度上的质量为λ。当地面上的链条长度为l时,即将落下的dm速度为速度的改变。

地面上的链条受重力、地面的支持力N和dm的作用力,根据本文中推导的方程可得

例题4链条桌边下落问题。如图2所示,一细链条质量为m,长为L,与桌面间的摩擦系数为μ,下垂部分长度刚好使得铁链开始下滑,求铁链完全离开桌面时的速度。

图2

解:如果把整个链条系统作为研究对象,其总质量其实是不发生变化的,但此系统不但受重力、桌面的支持力和摩擦力的作用,还受到桌角处的支持力;如果把链条分成桌面上和下垂两部分,分别根据牛顿定律列方程,在物理上是不正确的,因为这两部分不但质量变化,受力也是在不同方向上分析的。此问题通过系统的动能定理或功能原理当然是可以求解,这里不再给出过程,仍然只给出通过变质量牛顿运动定理的求解方法。

把链条分成桌面上和下垂两部分,此过程中这两部分质量都在发生变化,设链条质量线密度为λ,首先分析下垂部分:设下垂部分长度为,其受重力大小为G1=λxg,沿图中所示x轴正方向,另受沿x轴负方向的拉力T。设dt时间内增加的质量为dm,根据方程

但dm前后速度的变化u=0,因此简化为

再分析桌面部分:x方向上受力平衡,受到沿y轴正方向的拉力T和沿y轴负方向的摩擦力μλ（L-x）g,设dt时间内减少的质量为dm,但dm前后速度的变化同样u=0,因此

两部分链条速度大小相同,联立求解得

3 结语

动力学问题常常是有多种方法可以解决的,这里并不是说本文给出的方法比其他方法更好,只是再提供一种解决问题的方法,并且推导出的变质量牛顿运动定理与牛顿第二定律形式一致,便于记忆,在处理某些变质量问题时,较为简便,易于理解。