关于对角互补四边形模型的探究与思考
2021-03-19施德仪
施德仪
[摘 要] 对角互补四边形模型是初中重要的几何模型,该模型总体上可分为两大类型,即90°的对角互补模型和120°的对角互补模型. 利用模型特性可推得关于角平分、线段关系和几何面积等的一些结论以及模型中的四个顶点共圆. 文章将深入解读模型,结合实例应用模型,并对模型进行拓展探究,从而提出相应的教学建议.
[关键词] 对角互补;四边形;模型;旋转;四点共圆
共顶点模型在初中几何中十分常用. 共顶点,即四边形或构成的几何图形中存在相对的角互补的情形,通常分为两大类型:一是含有90°的对角互补,二是含有120°的对角互补. 对于对角互补模型,学生可通过旋转或相似变换来解决问题. 其中对角互补四边形模型是比较常见的一类模型,下面进行具体探究.
模型呈现
对角互补四边形模型同样有90°型和120°型两种类型. 不同的模型中含有相应的性质结论,合理利用这些性质结论进行解题,可简化解题步骤.
分析:由图像可知,四边形CDEF为对角互补四边形,由其性质可知,四点位于同一圆上,故可作其外接圆,借助圆周角定理来推导相关的角度条件.
解:矩形ABCD中,已知∠BAE=∠CDE=90°,AB=CD,又知BE⊥AC,则C,D,E,F四点均在以CE为直径的圆上,故可作出该圆,如图11所示,可推知∠CED=∠CFD. 利用条件可证△ABE≌△DCE,所以∠DEC=∠AEB,利用角度推导可得∠AEB=∠DCF=∠DEC=∠DFC,所以DF=DC.
评析 对角互补四边形的顶点共圆是该模型的显著特征,模型中隐含了圆的几何性质,充分利用圆周角定理可推导相关角度的大小. 解题时可以按照“提炼模型→构建辅助圆→圆性质推导”的思路进行建模和解析.
解后反思
1. 深入探究模型,研读模型性质
对角互补四边形模型在初中几何中十分重要,有着极高的研究价值,探究过程要关注模型的知识背景,总结模型的解析策略及性质特征. 对角互补四边形模型中融合了角平分线、垂直平分线、几何旋转,其中隐含了角平分线的性质定理、垂直平分线的性质定理以及三角形全等等知识. 在探究过程中,教师要引导学生借助全等来推导角和边长的关系. 教学中建议采用“模型解读→性质总结→应用强化”的思路逐步探究模型,认识模型的性质,完成从“知识认知”到“知识应用”的过渡.
2. 倡导模型拓展,循序引导教学
开展模型探究要遵循循序渐进、由浅入深的原则,同时注重模型拓展. 以上述对角互补四边形模型为例,教学中除了要注重模型的基本特征、性质讲解外,还应合理地拓展模型,如四边形的四点共圆,可增设一些铺垫式的问题,引出四边形的隐圆,合理设问引导学生进行思考. 另外,还可在圆的知识背景中讲解四点共圆的性质,或是基于几何旋转来看待模型中的全等关系. 教学中教师要关注学生的思维活动,及時启发学生进行思考,充分引导学生构造模型、转化条件,激发学生的思维,使学生充分掌握模型.
总之,对角互补四边形模型的应用价值极高,学生在探究过程中需切换视角全面剖析,可从几何旋转、三角形全等、四点共圆等角度深入解读,关注模型的解析思路,理解模型的性质特征,掌握模型的应用策略,形成分析模型的解题习惯.
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