综合实践理念指导下的“数学活动”设计

沈小亮

[摘  要] 核心素养背景下，教育评价由“知识核心”向“素养发展”转变，而自身内容和学习方式都具备特殊性的初中数学综合与实践活动，对提升学生数学核心素养也就具有独特的意义. 文章以 “探究点所在曲线的形状——抛物线”（人教版九年级上册）数学活动为例，启发学生用数学的眼光去思考问题，引导学生用数学的方法深入体验，从而提升学生的综合素质.

[关键词] 综合实践;数学活动

《义务教育数学课程标准》指出：“综合与实践”是以一类问题为载体、以学生自主参与为主的学习活动. 在學习活动中，学生将综合运用“数与代数”“图形与几何”“统计与概率”等知识和方法，在综合与实践理念指导下解决问题[1]. 活动内容设置的目的在于让学生经历问题的解决过程，积累学生的活动经验，培养学生的应用意识和创新意识，从而使学生的数学核心素养得到提升. 笔者对综合与实践内容的教学实施做了思考，现以“探究点所在曲线的形状——抛物线”（人教版九年级上册）为例，与同行交流、探讨.

活动再现

1. 如图1，在平面直角坐标系中，点A的坐标是（0，2）. 在x轴上任取一点M，完成以下作图步骤.

（1）连接AM，作线段AM的垂直平分线l，过点M作x轴的垂线l，记l与l的交点为P.

（2）在x轴上通过改变点M的位置，取多个不同的点M，重复（1）的操作得到相应的点P，把这些点用平滑的曲线连接起来.

观察画出的曲线L，猜想它是我们学过的哪种曲线.

2. 在曲线L上任取一点P，完成以下步骤.

（1）连接PA，线段PA与PM有什么数量关系？为什么？

（2）假设点P的坐标是（x，y），你能由PA与PM的关系得到x，y满足的关系式吗？

（3）由此你能确定曲线L是哪种曲线了吗？为什么？这结论与你先前的猜想一样吗？

教学设计

1. 温故知新，提出问题

教师：任意画线段AB并用尺规作图画它的垂直平分线，线段垂直平分线的性质是什么？

学生1：线段垂直平分线上的点到线段两端点的距离相等.

教师：若把刚才所画的线段AB放在直角坐标系中，其长度如何表示？

学生2：构造直角三角形，利用勾股定理计算.

教师：直角坐标系中的线段长度一定都要用勾股定理计算吗？

（全体学生若有所思）

学生3：如果线段AB是平行（或重合）于坐标轴，直接用坐标相减即可，就不需要用勾股定理计算那么麻烦了.

教师：很好，直角坐标系中位置、坐标、长度三者之间可以实现互相转化.

教学分析：通过回忆所学知识，并设问引导学生说出直角坐标系中线段长度的合理算法，促进学生对问题的理解与转化，也为接下来的数学活动做好铺垫.

2. 动手作图，观察猜想

学生自主作图完成活动1，教师巡视指导并投影展示学生作图结果，如图3～5所示.

学生4：如图3，猜想它是我们学过的抛物线.

学生5：学生4的点M都是整数点，太特别了，取非整数点也可以，如图4，也是抛物线.

教师：还有不同的作图结果吗？

学生6：学生4和学生5的点M都是正数，曲线只有一半，应该在x轴负半轴也取点，如图5，这样形状就更完整，也更明显了.

教师：猜想曲线L的形状只要一些特殊点就能进行大胆猜想，但学生6理解了“在x轴上多次改变点M的位置”这句话，他的作法更具有一般性.

教学分析：有了“温故知新，提出问题”的铺垫，学生作图的环节会进行得比较顺利. 学生根据要求准确作图，积累了画图的操作经验，再经历观察与猜想，培养了学生的直观想象素养. 教师让学生的不同作图方法进行碰撞与补充，渗透了“有序”地选择具有代表性的点的决策思维.

3. 实验证明，理解模型

教师：同学们通过取点作图，猜想它是抛物线. 但毕竟大家取的是有限个点，现在老师可以借助数学软件进行取点，点越多曲线形状越精准. 大家再次观察，直观感受曲线形状.

（教师利用几何画板进行操作、验证，学生惊呼：“好漂亮的抛物线！”）

教师：我们从形的角度猜想它是抛物线，那么如何证明呢？

（学生面露难色）

教师：教材中是如何描述抛物线的？

学生7：二次函数y=ax2+bx+c的图像叫作抛物线y=ax2+bx+c.

教师（追问）：所以有想法了吗？

学生8：设点P的坐标是（x，y），由PA与PM的关系得到x，y满足的关系式是二次函数.

教师：是的，根据教材的描述，我们可以选择这种方法，大家现在按这种方法开始证明.

（学生进行自主探索、合作交流，教师巡视指导，学生展示证明结果）

学生9：设点M是在x轴正半轴，则有PM=y，PA=，利用线段垂直平分线的性质得PA=PM，所以y=，化简得到关系式y=x+1，是二次函数，所以证明曲线L是抛物线.

（教师板书学生9的证明过程）

教师：太好了！我们用求解析式的方法算出了x，y满足的关系式是二次函数，根据教材对抛物线的描述，证明了曲线是抛物线.

（学生报以热烈的掌声）

学生10：那如果点M不是在x轴正半轴呢？

教师：哇，学生10对这个问题进行了深度思考，点M不在x轴正半轴的话，可以证明吗？结论一样吗？

（学生再次思考、计算，教师投影展示学生计算的结果）

教师：通过努力，我们从代数的角度证明了图形问题，证明了自己的猜想是对的. 同学们有没有发现教材中是从数的角度定义了抛物线，而我们通过作图得到的也是抛物线，所以对于抛物线，你们能否从形的角度也下个定义呢？

（从学生的表情看出这个问题有难度，所以接下来教师引导启发，学生尝试描述，并互相补充、完善，教师板书抛物线的新定义）

教学分析：教师让学生经历从“形”的角度观察问题（直观），再让学生从“数”的角度进行深度思考（数形结合），在此过程中提升了学生逻辑推理、数学运算、数学抽象等核心素养. 关于抛物线的新定义的探索，培养了学生的创新思维，同时也提升了学生数学抽象、数学建模的核心素养，学生对抛物线从感性认识上升到理性认识.

4. 体会模型，提升感悟

教师：同学们，我们通过探究，对抛物线又有了新的认识，接下来通过以下几道练习题来应用这个模型.

（教师投影出示练习题，学生独立思考，小组讨论交流，教师巡视指导）

（1）如图7，已知点A（0，-2），平面内满足到点A距离与到x轴距离相等的所有点组成的曲线L的解析式为（  ）

（3）在（2）條件下，若点B（4，5），当PA+PB的值最小时，点P的坐标为__________.

（学生展示讲解，教师点评）

教师：同学们，给大家留一个思考题. 数学活动中的点A（0，2）若改成点A是平面上（除x轴外）任意一点，点M是y轴上任意一点，重复相同的操作，不同的点P组成的曲线L依然是抛物线吗？抛物线等同于二次函数吗？

教学分析：本节课让学生经历从作图到运算、从形到数体会抛物线的新定义. 学生通过解决问题、应用模型等环节，再次体会数学建模的一般步骤，积累解决问题的经验，提升直观想象和数学建模的核心素养. 课堂结束了但思维没有结束，教师留下思考题让学生探究后了解二次函数和抛物线的关系，能够提升学生数学抽象素养，使其学会批判的数学思维.

教学感悟

1.重视综合实践理念，实现数学活动课堂活化

《义务教育数学课程标准》指出：综合与实践内容的实施是通过数学活动来实现的，重在实践、重在综合[1]. 教师在这个理念的指导下，设计有效的数学探究活动，使学生经历数学的发生发展过程. 本节课通过作图提高学生的画图能力，通过猜想曲线形状提高学生的识图能力，通过巩固练习提高学生的用图能力，这些活动也直接或间接提升了学生的直观想象素养. 华罗庚曾言“数缺形时少直观，形少数时难入微”，本节课上，教师引导学生进行深度探究，从数的角度证明曲线L的形状是抛物线，使学生重新认识抛物线，建立模型. 在此过程中，免不了的演绎推理、运算、归纳与交流无疑提升了学生的逻辑推理、数学运算、数学抽象、数学建模等核心素养，综合实践成了实现积累活动经验、展现思考过程、激发创造潜能等目标的重要和有效的载体.

2.巧设活动问题属性，促进综合实践走向常态

本节课的教学设计考虑了学生的主体性，让学生经历“思考问题情境——操作猜想——实验证明——归纳定义——反思应用——总结提升”的过程，促进了学生的深度学习. 而这种研究问题、解决问题的思路，并不是只在综合与实践课堂才能呈现. 比如平方差公式的学习，又比如勾股定理逆定理的探究等，也可以沿用这一套学习的方法和思路. 课程标准指出：“综合与实践”的教学活动应当保证每学期至少一次，可以在课堂上完成，也可以课内外相结合[1]. 笔者提倡把这种教学形式体现在日常教学活动中. 目前教育评价已由“知识核心”向“素养发展”转变，所以经验的积累、素养的提升、思维的培养等不能仅依赖于有限的几次综合与实践课，而应通过有效的活动问题设计让综合实践理念融入常态教学，使综合实践活动真正成为提高教师自身素质和学生素质的互动过程.

参考文献：

[1]中华人民共和国教育部. 义务教育数学课程标准（2011年版）[S]. 北京：北京师范大学出版社，2012.

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