转子有辅助槽的表贴式永磁电机解析法建模与优化

倪有源，崔征山，王群京

(1.合肥工业大学 电气与自动化工程学院，合肥 230009; 2.安徽大学 电气工程与自动化学院，合肥 230601)

0 引 言

永磁电机的拓扑结构十分灵活多样，在工业生产中越来越发挥重要的作用。对普通的永磁电机，电枢绕组一般放置在定子槽内部，定子上开槽的特点，不可避免地带来齿槽效应，引起电机的转矩脉动和电磁噪音等问题。对于永磁电机转矩脉动的成因受到多种因素的制约，主要由齿槽转矩、纹波转矩和磁阻转矩[1]所组成。

文献[2]通过改变定子齿槽偏移的程度来降低电机的齿槽转矩，但定子槽的槽口宽度与定子齿的偏移程度受到一定的限制，且对生产工艺提出了更高要求。通过改变转子磁极的形状可减小永磁电机的齿槽转矩，但各类研究方法主要包括极槽配合、转子偏心、转子磁极形状以及注入谐波等方法[3-12]。此外，在研究不同磁化方式优化电机的磁场分布时，主要体现在径向磁化、平行磁化[13]、Halbach[14]等。文献[3]和文献[12]分析了表贴式永磁电机外转子和内转子结构，通过在各自的转子上开辅助槽来间接减小齿槽转矩，但都采用有限元法进行分析。文献[12]中指出转子的辅助槽数不宜过多，为减小气隙磁密的谐波含量，开槽位置在磁极上应对称分布，且开槽宽度与深度存在临界值，当开槽程度大于磁临界值时，齿槽转矩反而会增加。

针对国内外相关文献对表贴式转子开辅助槽的研究大多运用有限元法，对于槽型尺寸优化方法的研究十分匮乏，而且有限元法需要大量的计算时间，不适合进行参数优化分析。本文提出一种转子开有半圆形辅助槽的解析模型，理论分析了齿槽转矩峰值与槽型尺寸的解析关系。最后，采用有限元法对所提出的转子开槽解析模型进行了相关验证。

1.1 永磁电机的结构

本文所提出的转子表面上开有半圆形的辅助槽结构，如图1所示。为简化分析，定子的槽型为平行槽，当定子内表面开有槽口时会增加气隙磁密的谐波含量，引起齿槽效应[15]。转子采用表贴式永磁结构，径向充磁方式。

图1 转子有辅助槽的永磁电机结构Fig.1 Structure of a PM machine with auxiliary slots in rotor

1.2 转子有半圆形辅助槽的解析模型

为简化解析模型分析，可假设：1)定子和转子铁心材料的磁导率为无穷大，电机的磁饱和效应忽略不计；2)定子的开槽深度为无限深；3)忽略电机的涡流效应；4)电机的轴向长度为无限长，绕组的端部效应忽略不计。

在气隙区域Ⅰ和永磁区域Ⅱ中，磁场强度与磁感应强度具有下列关系：

(1)

式中：μr为永磁体的相对磁导率；μ0为真空磁导率；HrⅠ、HrⅡ分别为气隙区域和永磁体区域中的磁场强度；BrⅠ、BrⅡ分别为气隙区域和永磁体区中的磁感应强度；M为永磁体的磁化强度。在二维极坐标下，磁化强度的矢量可表示为

(2)

磁场强度与标量磁位φ，满足下列关系：

(3)

在图1中，对于气隙区域Ⅰ和永磁区域Ⅱ而言，它们分别满足磁场的拉普拉斯和准泊松方程，且具有下列关系[13]：

(4)

(5)

当转子表面开半圆形辅助槽时，常规的分析方法无法求解。本文通过将不规则的永磁区域进行分割，之后在将各个小磁极区域依次累加起来，整个转子磁极分成规则的A区域和不规则的B区域，如图2所示。

图2 每极永磁分区域叠加Fig.2 Superposition of PM segmentation

对于A区域，较容易获得气隙磁密的解析式。而对于B区域，可将永磁沿径向分成若干段，如图3所示。显然，当分段数足够多时，可以将每段小磁极视为一个独立的微小单元，对磁化强度进行正交分解。

转子表面半圆形辅助槽是由两个圆形区域相减后获得的，如图4所示。其中:O为整个转子磁极的圆心；O1为半圆形辅助槽的圆心；r1为半圆形辅助槽的半径；Rmj为转子外表面与圆心O之间的距离；d为两个圆心O与O1之间的距离。

从图4(a)可知，转子外表面开槽尺寸的大小会受到转子磁极形状的限制，必须充分考虑半圆形槽型的槽深及开槽弧度的边界条件。对图2中的B区域内的磁极，从图4(b)中的几何关系可知：

图4 半圆形辅助槽Fig.4 Model of a semi-circular auxiliary slot

(6)

(7)

联立式(6)和式(7)可得

从图4(a)中可以看出，Rmj取值最大为Rm，即Rmj=Rm时，此时半圆弧区域可获得最大的角度为

于是，在非规则的B区域内，对于每块磁极，θ的取值范围为

同时，r1必须满足下列关系：

(8)

对于磁极形状不非规则B区域而言，当θ介于-θ1到θ1之间变化时，可将该区域均匀等分成n1段，每一小段所占的机械角度为2θ1/n1，则第i段所占的区间为

(9)

当n1取值很大时，对第i段小磁极的外表面可近似等效为规则的光滑边界。

当永磁电机极对数为p时，一对磁极在沿圆周方向上所占的机械角度为2π/p。本文永磁采用径向磁化，设整个磁极的极弧系数为αp，将规则区域A与非规则区域B的磁化强度进行分解，见表1。

表1 径向磁化方式的磁化强度表达式Table 1 Magnetization for the radial magnetization

在一对磁极的机械周期内，将表1中磁化强度按转子磁极分布的位置展开成傅里叶级数形式，即

(10)

对于图2中转子磁极规则的A区域而言，忽略定子的开槽效应，该区域所产生的气隙磁密的径向分量和周向分量可表示为：

(11)

式中：KB(n)、fBr(r)以及fBθ(r)的具体表达式在文献[13]中给出。

对于转子磁极非规则的B区域而言，因该区域磁极的外表面尺寸并不为恒值，通过将该磁极区域分割成若干微小的磁极单元，分别计算每个小磁极单独所产生气隙磁密，之后再将各个磁极单元累加在一起，可获得整个非规则的磁极B区域所产生的气隙磁密，即

(12)

当定子内表面为无槽结构时，则整个永磁磁极所产生的气隙磁密为

(13)

当定子内表面开有齿槽时，不仅会增加气隙磁密中的谐波含量，而且会带来电机的齿槽效应问题。对于图1中电机模型，由于在定子上开有平行槽结构，为获得定子开槽时电机磁场中磁密分布，可采用相对磁导函数的方法[15]。其中，相对磁导函数可表示为

(14)

式中：Qs为定子槽数；m为谐波次数；αsa=π/Qs。

因此，定子开槽后的空载气隙磁密为

(15)

1.3 空载反电动势的解析式

电机的空载反电动势主要由气隙磁密、转速、每相绕组串联匝数以及绕组因数等参数决定[16]。一个线圈中产生的磁通可表示为

(16)

其中：αy表示线圈节距；Rs表示定子内半径；lef表示电机轴向长度；α表示转子位置角。

对于定、转子的相对位置，具有下列关系：

(17)

其中：αma表示定转子的相对位置角；ωr表示转子机械角速度；θ0表示转子初始位置角。

假设每相电枢绕组所串联匝数为N，则每相绕组所产生的空载反电动势可表示为：

(18)

Kdpn=KpnKdn。

(19)

式中：Kpn为绕组的分布因数；Kdn为绕组的节距因数；Kdpn为绕组因数。

其中

(20)

式中：q为每极每相槽数；n为磁场的谐波次数。

结合对上述的分析，相绕组的空载反电动势可表示为

(21)

1.4 齿槽转矩的解析式

齿槽转矩主要由定子齿槽与永磁体相互作用而产生。由于定子内表面开有齿槽，永磁体所产生的电磁力在每个定子齿的两侧沿周向方向并不相等，根据磁阻最小原理，由永磁体作用在定子齿上的合力会迫使转子磁极与所对应的定子齿进行对齐，从而产生电机的齿槽转矩。这在任何工况下均存在，是永磁电机的固有特性[12,17]。

采用麦克斯韦应力张力法计算电机的齿槽转矩，即

(22)

式中：Br(r,θ)和Bθ(r,θ)分别为气隙磁密的径向分量和周向分量。

将式(13)，即定子无槽结构的气隙磁密解析式简化为下列形式：

(23)

将式(23)和式(14)代入式(15)中，可得：

(24)

(25)

再由式(22)可得

sin[kp(θ-α)]×cos(mQsθ)dθ+

sin[kp(θ-α)·cos(mQsθ)×cos(hQsθ)dθ}。

(26)

在一个周期内对式(26)进行积分，对不同的n、k、m以及h，利用三角函数的正交性，进一步化简求和，可获得电机的齿槽转矩与转子位置角α的解析关系。从式(26)中可以看出，电机的齿槽转矩与定子的开槽尺寸、气隙磁通分布状况以及电机的轴向长度相关。当电机的定、转子结构确定下来时，齿槽转矩主要由气隙磁通密度的径向分量Brn和周向分量Bθk所决定。

结合式(12)和式(23)，将式(26)中的磁密分量部分提出，由于磁密波形是多个级数的叠加，很难将方程解出来，但对变量赋值可快速获得齿槽转矩随槽型的变化规律。

本文中所分析的表贴式三相永磁电机为4极12槽结构，定子线圈采用集中绕组联结方式、星型接法，各相绕组均匀对称放置，设定额定转速为1 500 r/min，电机的主要参数见表2。

表2 永磁电机的主要参数Table 2 Main parameters of a PM motor

通过所建立的转子表面开半圆型辅助槽的解析模型，获得径向气隙磁密的波形，如图5所示。

图5 径向气隙磁密波形Fig.5 Radial air-gap flux density waveforms

从图5中可以看出，通过解析法与有限元法计算的径向气隙磁密波形大体上一致，验证了上述分析转子开槽解析模型的正确性。同时，也可看出有限元法获得的径向气隙磁密在波形尖峰处略显偏高，这主要由于定子齿边缘的聚磁效应[17]。进一步对径向气隙磁密波形作FFT分析，获得磁密的基波幅值为0.78T，THD为52.78%。

通过所建立解析模型计算电机的空载反电动势，并与有限元法比较，如图6所示。

图6 空载反电动势分布Fig.6 Distribution of back-EMF in open-circuit field

从图6可以看出，在空载反电动势波形的中间位置处波形出现下凹现象。由式(21)可知，主要原因是转子表面开有辅助槽，该处的气隙长度较大，对应的磁密径向分量幅值较低，间接影响了空载反电动势的波形质量。

利用式(26)计算电机的齿槽转矩，如图7所示。

从图7中可以得出，齿槽转矩的峰值为1.17 N·m。而进一步分析发现，当转子表面未开辅助槽时，齿槽转矩的峰值为1.28 N·m。因此，通过在转子表面开辅助槽，可在一定程度上减小电机的齿槽转矩。

图7 齿槽转矩波形Fig.7 Waveforms of cogging torque

为了进一步减小齿槽转矩，需要对辅助槽尺寸作优化分析。从图4中可知，辅助槽尺寸是关于两个圆心之间距离d与辅助槽半径r1的二元函数。 为了分析槽形尺寸变化对齿槽转矩的影响，需考虑两个圆心距离d和辅助槽半径r1同时变化对齿槽转矩峰值的影响，如图8所示。

图8 尺寸变化对齿槽转矩峰值的影响Fig.8 Influence of slot size on peak cogging torque

从图8中可以看出，当2个圆心距离d较大且辅助槽半径r1过小时，由图4及式(8)可知，转子表面尚未形成辅助槽，齿槽转矩峰值在图中的部分区间保持不变；当维持2个圆心距离d不变时，随着辅助槽半径r1逐渐增大，齿槽转矩的峰值呈现出先减小后增大的趋势；而当维持辅助槽半径r1不变时，随着2个圆心距离d的逐渐增大，齿槽转矩峰值的变化却相对平稳。

计算结果表明，转子表面辅助槽深度与槽宽存在临界值，当开槽程度大于临界值时，齿槽转矩峰值反而会增加。结合式(26)，通过不断调整2个圆心距离变量d和辅助槽半径r1，当2个圆心之间的距离d为39.4 mm，辅助槽半径r1为9 mm时，可获得的齿槽转矩峰值最小值为188 mN·m。与转子表面未开槽相比，齿槽转矩可降低85.3%。此外，从图8中也可以看出，当开槽型尺寸不合理时，齿槽转矩的峰值不减反增，原因归于槽型尺寸不合理，齿槽效应引起气隙磁密的径向分量和周向分量发生了畸变。

本文建立了一种转子含有半圆形辅助槽的表贴式永磁电机解析模型，分析了电机的气隙磁密、空载反电动势以及齿槽转矩等参数。有限元法计算结果验证了解析模型的正确性。此外，还利用解析模型分析了辅助槽尺寸对齿槽转矩峰值的影响，得出通过在转子外表面开半圆形辅助槽，可以间接改善气隙磁密的波形质量，在一定程度上减小了齿槽转矩。需要说明的是，目前仅利用有限元法对解析模型进行了相关验证，受实际条件的制约，尚未制作样机进行实验验证，但解析法与有限元计算结果的一致性较好。因此，可利用解析法变量快速寻优的特点，为电机的优化设计提供了一种方法，具有一定的实用价值。