算理算法并重，提升运算能力

王良东

[摘 要]培养学生的运算能力，有利于学生更加深刻地理解算理，从而寻求合理途径解决实际问题。以“商中间有0的除法”教学为例，探寻小学数学课堂培养学生运算能力的路径，实现算理与算法二者的有机融合。

[关键词]算理;算法;除法;运算能力

[中图分类号] G623.5[文献标识码] A[文章编号] 1007-9068（2021）05-0073-02

小学数学可概括为 “数与代数”“空间与图形”“统计与概率”和“综合与实践”四个板块。无论哪个板块的学习，都离不开数学运算，运算教学贯穿于小学数学教学的始终。新课标将“运算能力”列为数学核心素养之一。培养学生的运算能力，有利于学生更加深刻地理解算理，从而寻求合理途径解决实际问题。然而，在教学中，教师重算法轻算理的观念根深蒂固，加上小学生抽象思维能力薄弱，造成了学生在运算中只会“依葫芦画瓢”，缺乏足够的创造性，由此制约了学生运算能力的发展。下面笔者以“商中间有0的除法”的教学为例，探寻在小学数学课堂中培养学生运算能力的路径。

一、创设情境，引发兴趣

教育家苏霍姆林斯基曾说：“如果老师不想办法使学生产生情绪高昂和智力振奋的内心状态就急于传授知识，不动情感的脑力劳动就会带来疲倦。没有欢欣鼓舞的心情，没有学习兴趣，学习也就成了负担。”动机和兴趣是促进学生认知发展的源泉和动力，创设教学情境是调动学生学习兴趣和动机的有效路径。关于教学情境的创设，一是可从学生身边的实例入手。小学生以形象思维为主，对事物的认知往往离不开具体事物和具体情境的支撑。教师在教学中从学生的生活实际入手创设情境，能有效化解运算教学的枯燥乏味，激发学生学习兴趣。二是创设的情境要有利于激发学生的认知冲突。“水尝无华，相荡而生涟漪，石本无火，相击而生灵光。”认知冲突能使学生意识到原有的知识无法解决新问题，从而将学生置于“愤悱”状态，真正激发学生的学习动机。

师：有345个桃子，平均分给3只猴子，每只猴子能够分到多少个桃子？

生1：345÷3=115（个）。

师：现在改一下题目：有315个桃子，平均分给3只猴子，每只猴子能够分到多少个桃子？

生2：还是用除法计算。315÷3……

师：你在计算中遇到了什么问题吗？

生2：我发现十位上的1除以3不够除。

“转轴拨弦三两声，未成曲调先有情。”教学中，教师首先创设了“猴子分桃子”的情境，调动了学生的学习兴趣，为枯燥单调的运算教学加入了“调味剂”;其次，教师以复习旧知入手，找准学生的思维起点，巧妙地变化题目，引发学生的认知冲突，使学生产生学习的需求，从而找到学生思维的发展点。

二、理解算理，初识算法

新课标指出，计算教学要引导学生理解算理，掌握算法，通过必要的练习逐步达到教学要求。可见，计算教学不仅要使學生掌握算法，形成技能，更重要的是让学生理解算理，在充分理解的基础上构建算法。要提升学生的运算能力，正确处理算理和算法的关系至关重要。从概念上来看，算理指的是计算过程中的道理，它是运算的理论依据，解决了“为什么这样算”的问题;算法即计算的法则，它是运算的操作程序，解决了“怎么算”的问题。目前，运算教学普遍存在以下两种倾向：一是受传统应试教育的影响，教师过分关注运算结果和运算速度，对于算法背后的算理缺乏足够的重视，由此出现了重算法、轻算理的倾向;二是片面追求对算理的论述和讲解，不但增加了学生的思维负担，还造成了学生计算技能的停滞不前。算理和算法是运算的两个重要方面，同等重要，不可偏废其一。一般情况下，运算能力的形成往往从理解算理开始，由于算理具有较强的抽象性，这对于以形象思维为主的小学生而言是个不小的挑战。儿童心理学家皮亚杰指出 ：“ 要认识一个客体 ，就必须动之以手。”因此，教师可引入数学操作来化解算理的抽象性，以加深学生对算理的理解，从而提升运算教学的实效。

师：谁能用自己的方法计算出315÷3？

生1：可以把它转化为我们学过的内容。300÷3=100，15÷3=5，100+5=105。

生2：这样计算比较麻烦，还是列竖式计算更加方便。

师：我们在阐释计算过程时，经常会采用摆小棒的办法。同学们能尝试用摆小棒的方法验证315÷3的计算过程吗？

生3：需要315根小棒，数量太多了。

师：该如何解决这个问题呢？

生4：用一个笔筒来代表100根小棒，这样，315根小棒就是3个笔筒、1捆小棒、5根小棒。

师：请同学们以小组为单位，用摆小棒的办法来演示除法的计算过程。

生5：把315根小棒平均分成3份，首先把300根小棒（3个笔筒）平均分成3份，每份就是100根小棒（1个笔筒），由于1捆小棒不够平均分成3份，所以把十位上的1拆开加上剩下的5根小棒，这样一共是15根小棒，把这15根小棒平均分成3份，每份是5根小棒。因此，每份是100+5=105（根）小棒。

师：同学们还有什么疑问吗？

生6：为什么要把1整捆的小棒拆开呢？

生7：因为只有一捆小棒，不够分成3份。（每份需是整捆）

生8：把这捆小棒拆开，和剩下的5根小棒结合起来，就能够分成3份了，每份是15÷3=5（根）。

生9：为什么不是15根，而是105根呢？

生10：因为一个笔筒代表了100根小棒，而不是10根，所以最后的结果肯定大于100。

理解算理是提炼算法、形成运算技能的基础和前提。教学中，教师引导学生通过摆小棒的方式把抽象的除法变成直观生动的“平均分”的过程。在分小棒的过程中，学生主要解决了两个问题：一是小棒的数量问题。由于需要的小棒较多，学生创造性地提出用笔筒代表100根小棒，这就使得操作过程大大简化;二是十位不够商1的问题。1捆小棒不能分成3份（必须是整捆），因此需要把这捆小棒拆开，与另外5根小棒合并，从而把这15根小棒平均分成3份，这是学生理解“商的中间有0的除法”的关键所在。

三、概括算法，形成技能

数学特级教师曹培英认为，算法和算理是运算能力的一体两翼， 尤其是在小学数学教学中， 两者相辅相成， 不可偏废。因此，学生仅仅理解了算理还不够，教师必须沟通算理与算法的联系，引导学生从算理中提炼出算法。只有这样，才能有效促进算法的生成，并最终促进运算技能的发展。算法是人们经过长期的实践探索逐渐优化而成的，它经常表现为一种有着严密规范的操作性程序。实现从算理到算法的过渡，教师可从以下三点进行把握：一是算法的生成必须以透彻理解算理为基础。如果学生不能充分理解算理，所习得的算法必然是肤浅的、机械式的，缺乏灵活性和创造性的。二是准确把握归纳算法的时机。如果提炼算法过早，学生对算理的理解不透彻，会影响学生对算法的把握，如果迟迟不提炼算法，使学生在算理中盘桓不前，就无法形成真正的运算技能，运算教学就会沦为“纸上谈兵”。三是引导学生借助数学语言归纳算法。学生不但要会用算式演算，还要懂得其中的道理，能够用数学语言表达出每一步的含义，唯有如此才算得上真正的理解。

师：同学们能够根据刚才的摆小棒过程，并结合学过的列竖式的经验，自己“发明”出315÷3的竖式吗？

（学生尝试书写竖式，教师收集了3种学生书写的算式）

师：这3种竖式中，哪一种是正确的呢？

（学生认为图3是正确的）

师：前两种竖式演算错在哪里？

生1：图1中，商中的5应该写在个位上，因为最后是把15根小棒分成3份，每份是5根，如果像图1那样写在十位上，就变成50根了。

生2：图2中，商的百位是1，个位是5，十位怎么能空着呢？当十位不够商1时，应该用0来补齐。

师：十位上的0有什么作用？

生3：十位上的0是用来占位的。

师：你能结合分小棒的过程，说一说图3中每一步的意思吗？

生4：先用百位上的3除以3，商1个百，所以把1写在百位，这就相当于把300根小棒（3个笔筒）平均分成3份，1份是100根小棒（1个笔筒）;再用十位上的1除以3，不够商1，就把这个1退位与5合在一起变成15，15除以3商5，把5写在个位上，这就相当于把1整捆小棒拆开，与剩下的5根小棒合成15根小棒，然后平均分成3份，每份是5根小棒。由于十位上没有数，所以用0来占位。

教学中，教师把分小棒的过程与算式演算紧密结合，打通了理解算理与构建算法之间的关联，使得算理与算法之间的联系变得顺畅起来。学生把算法中的步骤与小棒操作联系起来，使得算法中的每一步都有章可循，使得抽象的竖式变得生动起来。

学生运算能力的培养和提升不能一蹴而就。随着年级的增加，数學计算变得越来越复杂，学生可能会遇到各种新问题。但是，运算教学是有章可循的，只要教师兼顾算理与算法，实现二者的有机融合，就能够促进学生运算能力的提升。

（责编 罗 艳）