探寻学生识图、画图与析图能力的培养路径

蔡凤梅

[摘 要]数学识图、作图与析图能力的强弱一定程度上直接影响学生几何直观能力的发展和数学素养的培养。由从直观走向抽象、从简单走向复杂和从认知走向思辨三个角度入手，结合具体的案例阐述如何培养学生识图、画图与析图的能力，从而有效促进学生数学素养的全面发展。

[关键词]识图;画图;析图;几何直观

[中图分类号] G623.5 [文献标识码] A [文章编号] 1007-9068（2021）05-0001-03

几何直观是《义务教育数学课程标准（2011年版）》的核心概念之一， 其实质是利用图形描述和分析数学问题，把复杂的数学问题变得简明、形象，从而有效降低数学的抽象性给学生解决问题带来的困扰。理性审视当前课堂教学，很多教师能认识到运用图形帮助学生理解数学知识的重要性，但在实践操作过程中只是停留于想当然式的单向解析与引导，并没有立足于学生的内在需求，因而导致学生识图、作图与析图能力缺失，对学生几何直观能力的发展和数学素养的培养造成不利影响。下面基于笔者所倡导的“启智数学”教学主张，结合多年的实证性研究，就如何培养学生识图、画图与析图的能力进行论述。

一、从直观走向抽象，培养学生识图能力

1.培养识图的习惯

小学生尚处于形象思维为主的重要阶段，对直观性、生动性的图形更容易产生兴趣，尤其是低年级学生，他们随意性大，常常只会对图中较为明显的内容感兴趣。识图能力是学生的基本数学素养之一，也是学生今后学习数学的必备条件。然而识图能力的培养并非一朝一夕之事，需要教师能够掌握学生的认知特点和规律，引导学生对图意进行有序的描述，促使学生养成识图习惯。

例如，教学人教版教材二年级上册“认识乘法”时，若教师直接出示主题图（如图1）后便让学生观察，学生往往会游离于数学信息之外，将数学课演绎成看图说话的语文课。对此，为了突出“乘法”的本质意义，笔者通过有针对性的引导“图中设置了几种游戏项目，每种游戏项目各可以玩多少人？”将学生的观察视角立足于数学，不但促使学生分类后能够提出相应的数学问题，还能得出“4个3”“4个6”“7个2”等数量关系，直接揭示了“乘法”的本质意义。

从低年级开始，就要经常性地进行这样的数学训练，致力于以导向性的问题引导学生用数学的眼光观察并识别图形，让学生养成识图的习惯。

2.渗透识图的方法

教师要注重对识图方法的示范与引导，由浅入深、循序渐进，从直观走向抽象，引导学生有序、有目的、完整地读图，形成从图中收集、分析和处理信息的能力。

例如，教学人教版教材一年级上册“1～5的认识”时，当学生通过教材主题图初步认识“1～5”之后，笔者让学生认真观察教材中的图式（如图2），学生一看这5幅珠子图便想当然地说出“1、2、3、4、5”。学生有可能是不看图只看数字，也有可能是只看珠子数，还有可能是既看数字也看珠子数。这些都仅仅是学生浅层的直观感知。如何引领学生由直观走向抽象呢？

笔者是这样进行启发的：“大家都能很快地看懂这些数字和图，但这些图背后还藏着一些有趣的小秘密！看看谁的眼睛最亮。”当学生答非所问，或是答题无序且混乱时，笔者再引导学生有序观察：“我们观察图时，要有顺序地、一幅幅地观察。先认真观察第一幅图。”于是学生就会说出：“第一幅图是一顆珠子，下面是一个圆片，所以表示数字1。”笔者及时给予肯定：“观察得很仔细，先看有几颗珠子，再看有几个圆片，然后说出用数字几来表示。”有了这样的指导与示范，在观察第二幅图时，学生就能进行模仿式的有序识图了。这时，笔者再让学生找出第一幅图与第二幅图的不同点，学生都能马上发现“多了一个箭头”。在说这个箭头的含义时，学生能够有序地表述：“第二幅图原来也跟第一幅图一样，只有一颗珠子表示1;这里箭头表示的是又拨来一颗珠子，所以从1变成了2。”笔者给予积极的肯定。在观察第三幅图、第四幅图和第五幅图时，不仅要让学生有序识图，还要让学生用联系的眼光识图，从而促使学生明白每一个数字都是在前面数字的基础上增加1得来的。从实物到图形，再到数字，从直观不断走向抽象，不但培养了学生有序识图的习惯，而且渗透了数形结合思想与函数思想，促使学生的数学素养得以提升。

图式，不管是主题图，还是几何图形，都是一种数学语言。而数学识图其实质就是观察并识别图式所要传递的数学信息。因此，教师应致力于用各种途径促进学生掌握数学识图方法，促使学生用数学的眼光读懂图意，在提升学生数学识图能力的同时，提高学生的几何直观能力。

二、从简单走向复杂，培养学生画图能力

用图形直观语言表述数学概念，一定程度上可以有效降低数学知识的抽象程度，使复杂的数学问题变得简明、形象。然而，数学画图只有出自学生内在的强烈需求，才能彰显其价值， “因画图而画图”反而会增加学生的厌恶感。画图能力并非与生俱来，在引导学生画图的过程中需要教师根据学生的认知规律，引导学生从简单走向复杂，拾级而上。

1.悉心指导，从简单入手

小学生形象思维占主导，教师应从学生熟悉的实物图着手，从简单的实物图开始，让枯燥的数学变得生动、直观，激发学生画图的兴趣，让学生懂得通过画图将数量关系表达出来。

例如，学习“一个数比另一个数多（少）几”时，学生常常难以理解其中的数量关系，这时，教师可引导学生借助画图的方法来厘清数量关系。大部分学生会画出实物图（红旗，如图3），也有一部分学生会用圆形（或是其他图形）来代表红旗，还有一小部分学生懂得用直条图来代表红旗。根据学生的认知特点，立足于学生的“最近发展区”，教师可引导学生先厘清实物图，再比较用圆形、小棒等模型代表红旗的简洁性，接着抽象出用直条图来代表红旗的清晰性，最后引导学生体会用直条图表示两者的数量关系最为简洁清楚。

这样的教学从简单的实物图入手，使得学生的思维从直观走向表象，再从表象走向抽象，学生体验到了图形所展现的数学简洁之美。

2.扶放结合，向复杂过渡

线段图是发展学生几何直观能力的一个重要媒介。因此，教师要根据学生的思维特点，充分挖掘教材资源，边扶边放，促使学生学会通过画线段图将抽象复杂的数量关系变得直观具体。

例如，人教版教材五年级下册“解决问题”的例3（如图4）：

先让学生尝试用自己喜欢的方法分析题中的数量关系，当学生思维受阻时，教师启发学生阅读教材中的“画图法”（如图5）。

教材呈现了半抽象的直观图，并在直觀图的下面用文字进行详细的标注说明，这样的编排是基于学生的思维特点，本着“扶”学生的思维的宗旨，让学生能对题中复杂的数量关系有一个清晰的建构，进而唤醒学生画图的内在需要，感受画图对解决问题的重要性。接着，教师可以继续追问：“除了可以这样画图分析题中的数量关系外，还有没有更简洁的画图法？”五年级学生已经具备画线段图的经验，这样“半扶半放”的教学有效扫除了学生的思维障碍，促使学生顺利地从文字抽象走向图形直观，继而上升到数学图形的简约抽象上。学生亲身经历从“半抽象”到“全抽象”的过程，自然感悟到数学的抽象美与简洁美，实现了数学学习的横向化发展。

三、从认知走向思辨，培养学生析图能力

数学识图侧重于让学生形成辨识图形外在呈现信息的数学直觉，数学析图则侧重于让学生辨析图形所要表达的内隐的数量关系。数学画图重在让学生将数学语言转换成图形语言，而数学析图则重在将图形语言转换成更为清晰精练的数学语言。可以说，数学识图更多的是聚焦于学生的认知层面，数学画图则更多的是聚焦于学生的动作思维层面，而数学析图则是关注学生思维的思辨性。基于这样的认识，教师要借助图形这个直观手段，致力于促使学生形成超越直观图形走向更为“抽象”的数学思维。

1.同中求异，辨析拓展

利用线段图来表征时，首先要厘清条件与问题之间的关系，从而找到解决问题的路径。数学问题千变万化，就算是同一种解决问题的策略，其问题的呈现方式也会有所不同。因而教师要有意识地引导学生灵活地辨析线段图表征信息的方式。

例如，教师可设计一幅线段图（如图6）：

先让学生根据线段图提出问题并解决。有学生提出：“柳树和杨树一共有多少棵？”有学生提出：“苹果树有多少棵？”还有学生提出：“苹果树比柳树多多少棵？”等等。显然，第一个问题比较简单，利用第一条线段呈现的信息便可以解决;第二个问题就稍复杂一些，学生要先通过第一条线段求出柳树和杨树一共多少棵，再通过图中信息“10棵”才能求出苹果树的数量;对于第三个问题，有的学生会运用正迁移先求出苹果树的棵数，再用苹果树的棵数与柳树的棵数进行比较，而有一部分学生则是通过观察和辨析线段图，一步解决问题，即“18-10”，算出的就是苹果树比柳树多的棵数。这样的训练，能促使学生发现同样的线段图表征信息却可以解决不同的问题，从而彰显了图形辨析策略之于同类问题的统摄作用，有效提升了学生的析图能力。

2.异中求同，辨析沟通

数学是一门抽象性和逻辑性极强的学科，数量关系常常因一字之差而表征各异。因此，教师不但要引领学生辨析数学信息的异同，还要沟通数学知识之间的联系，使学生构建完整而清晰的认知结构。

例如，题目一：小度和小智共有卡纸48张。小度比小智多6张 ，他们两人各有卡纸多少张？题目二：小智和小度共有卡纸48张。小度给小智6张，这时两人卡纸一样多。他们两人原来各有卡纸多少张？

这两道题一起出现时经常让学生感到困惑，学生解题时往往弄不清数量关系。此时，借助线段图（如图7），学生便能很快明确两道题的不同点：题目一中小度和小智的卡纸数之差是 “6张”;题目二中小度和小智的卡纸数之差是“2 个 6张”。通过这样直观的对比与辨析，两道题中的数量关系便十分清晰，学生很快就能找到解决问题的方法。像这样经常性地引导学生利用图形辨析和分析内隐的数量关系，能有效增强学生的析图能力。

3.转化突破，辨析重构

对于一些数量关系呈现较为隐蔽和复杂的图形，学生看到就想放弃。对此，教师要引导学生适时地改变思路，促使他们主动调用数学思维析图，在解构与重构的过程中提升析图能力。

例如，笔者设计了一道比较面积的习题： 如图8，在梯形[ABCD]中，[△AOD]和[△BOC]的面积相比，谁更大？

大部分学生想当然地认为△BOC 的面积比较小，而另一部分学生却提出了疑问。在学生众说纷纭，处于强烈的思维冲突之际，笔者适时启发：“能否用转化的方法分析△AOD与△BOC的面积的关系？”学生很快就能利用三角形同底等高的性质发现△AOD与△BOC的面积是相等的。这样的教学引导能让学生打破思维定式，灵活调用数学经验与数学方法进行理性析图，从而找到图形中隐含的数量关系，促使问题得以快速解决。

综上所述，小学阶段是学生直观形象思维向抽象逻辑思维过渡的重要时期，教师要充分挖掘教材资源，不但要关注学生识图能力的培养，还应增强学生的画图能力，使学生数学思维可视化，更要提升学生的析图能力，从而让学生数学素养的培养得以落实。

[ 参 考 文 献 ]

[1] 侯美霞，李醒群.低年段解决问题教学中学生画图能力的培养[J].小学数学教育，2015（Z3）.

[2] 杨志荣.浅谈画图法在小学数学解决问题教学中的作用[J].吉林教育，2015（20）.

【本文系福建莆田市教育科学2020年度名师专项课题《基于启智数学的小学数学习题设计研究》（编号：PTMS20002）阶段性成果。】

（责编 金 铃）