单像素相机内部元素对重构矩阵性能的影响

吴小龙 程涛 杨明

摘  要：单像素相机测量矩阵易于硬件实现，但对于单像素相机测量矩阵内部元素的改变对重构矩阵性能影响的研究较少.对于该问题，通过改变0-1循环矩阵中1的位置以及行和列的数量，对由基于0-1循环矩阵的重构矩阵优化得到的优化矩阵和近似矩阵进行分析来判断重构矩阵的性能.实验结果表明：基于改变后的0-1循环矩阵得到的重构矩阵、优化矩阵和近似矩阵对稀疏度为8～48的信号的重构能力要比0-1循环矩阵中列数和移位步长都是偶数时提升至少15%.该方法使重构矩阵的重构性能达到了理想的状态.

关键词：单像素相机;内部元素;重构矩阵;移位步长;重构性能

中图分类号：TP391.41;TB852.1              DOI：10.16375/j.cnki.cn45-1395/t.2021.01.011

0    引言

压缩感知理论的核心是能够减少测量点数并精确或近似精确地恢复出原始信号[1-3].Rice大学基于压缩感知理论提出的单像素相机系统具有一个很明显的优势就是多光谱波段成像，这是基于压缩感知理论和数字微镜器件（digital micromirror decive，DMD）以及光电探测器的硬件特性而来的[4-6].单像素相机系统是压缩感知在成像方面的一个重要应用.与传统的成像系统相比，它通过开发原始光信号的稀疏特性，在光电探测器检测到光信号之前，使用特定的矩阵对光信号进行调制，将所测数据导入恢复算法中，并依靠同步控制矩阵来重构图像.它不仅打破了奈奎斯特采样定理的局限，也打破了传统的系统只能在局部波段进行成像的限制，为现在某些波段陣列传感器价格昂贵、难以制备以及存储成本高等问题提供了解决方案.

对于稀疏信号，不用再进行稀疏变换，可以通过行正交和列单位化对测量矩阵进行优化，尽管重建效果比较好，但是无法确定优化后测量矩阵的性质，因此，仍然存在硬件难以实现的问题.参考文献[7]提出了一种用于稀疏信号的测量矩阵的优化算法，该算法在测量阶段使用预先确定的测量矩阵来实现测量数据收集，在重建阶段中使用优化后的矩阵来重建信号，取得了良好的效果.对于可压缩信号，将信号作稀疏变换后，可以近似地将其当作稀疏信号.

上述研究更多是侧重于测量矩阵与稀疏变换基之间的关联，对测量矩阵本身的研究较少.本文通过改变0-1稀疏循环矩阵（简称0-1循环矩阵）中1的移位步长以及行和列的数量对重构矩阵以及由重构矩阵优化得到的优化矩阵和近似矩阵的性能进行分析，从而使重构矩阵的性能达到理想的状态.

1    压缩感知理论与单像素相机

由文献[8-10]可知，压缩感知中，可压缩信号模型如下：

其中：[x=ΨTα，  ΦR=ΦΨT].[y]是测量信号，[y∈RM];[Φ]是测量矩阵，[Φ∈RM×N]，[Ψ]是稀疏变换基，[Ψ∈RN×N];[x]是可压缩信号，[x∈RN];[α]为[x]的稀疏变换域系数，[α∈RN];[ΦR]为重构矩阵.压缩感知的核心过程为数据采集和数据重构.在测量阶段，通过测量矩阵[Φ]采集到测量数据[y];在重构阶段，通过式（1）解算得到变换域系数[α]，从而求得信号[x].

图1为单像素相机的实物图，如图所示，光束打到物体上，经过透镜1的光汇集到DMD上，DMD将光经过透镜2打到单点探测器上，探测器将同步信号的电压值输入采集卡，再通过电脑进行数据处理.单像素相机的核心是DMD，在DMD上，每个“1”状态的微镜表示光束可以经过透镜打到探测器上，每个“0”状态的微镜表示光束不能打到探测器上.DMD按照设定好的序列进行翻转，通过DMD上所有“1”状态的微镜的叠加得到的是一个观测值，DMD翻转a次就可以得到a个观测值.每个测量值相当于压缩感知中的测量矩阵[Φ]的一行与信号[x]的内积.当前DMD已经达到百万级的像素，可用波长范围覆盖350 nm紫外到    2 500 nm近红外波段.

2   基于不同移位步长的0-1循环矩阵的重构矩阵优化前后的性能分析

DMD可以设定不同的序列，相应测量矩阵设定也不一样.测量矩阵大致可以分为3类：随机矩阵[11]、部分正交矩阵[12]、确定型矩阵[13].其中确定型矩阵易于硬件实现，即确定型矩阵中循环矩阵又是最容易硬件实现的，所以采用0-1循环矩阵当作测量矩阵.通过文献[7]的测量矩阵优化算法，得到的优化和近似矩阵都具有更好的性能，可以很好地重构稀疏信号.因此，在文献[7]的测量矩阵优化算法中加入离散余弦变换（discrete cosine transform，DCT）矩阵（稀疏变换基），即可变成适用于可压缩信号的重构矩阵（即：测量矩阵与稀疏变换基相乘后得到的矩阵）优化算法：对测量矩阵[Φ]和稀疏变换基[Ψ]相乘后得到的重构矩阵[ΦR]做行正交规范化和列单位化运算n次（即：n次迭代，一般   n=100）后得到优化矩阵[ΦO];然后，通过[T]=[ΦOΦTR（ΦRΦTR）-1]求得过渡矩阵[T];最后，通过[T]求得近似矩阵[ΦT]=[TΦR].

0-1循环矩阵中初始行为若干个随机分布的1，其余元素为0，每一行由前一行元素向右移位一定的步长得到.设置测量矩阵为128×256维，当首行放置32个随机分布的1时，经过不同的移位步长得到的基于0-1循环矩阵的重构矩阵会有不同性质.经过计算，当移位步长为偶数时，重构矩阵的列最大相关系数均大于0.999 0;当移位步长为奇数时，重构矩阵的列最大相关系数会发生改变，移位步长取5时，重构矩阵的列最大相关系数较小，为0.879 4.

本文主要研究基于移位为2的0-1循环矩阵的重构矩阵和基于移位为5的0-1循环矩阵的重构矩阵及其优化和近似矩阵，共计6类，分别简称为：移位为2的重构矩阵、移位为2的优化矩阵、移位为2的近似矩阵、移位为5的重构矩阵、移位为5的优化矩阵、移位为5的近似矩阵.

表1为不同行列数的测量矩阵分别采用移位为2的0-1循环矩阵和移位为5的0-1循环矩阵，稀疏变换基采用DCT矩阵，n=100时，相应重构矩阵、优化矩阵和近似矩阵的列相关系数绝对值的最大值[μcmax].

根据文献[7]可知，经过行向量正交规范化和列向量单位化的优化矩阵和近似矩阵的性质与高斯矩阵相近，具备高斯矩阵[14-16]对各类稀疏信号的普适性.本文以此为依据，通过图2—图5分析基于移位为2的0-1循环矩阵和移位为5的0-1循环矩阵的重构矩阵在迭代优化过程中各自优化矩阵和近似矩阵性质的变化，图2—图5中测量矩阵均为128×256维，首行均放置32个随机分布的1.

（a） 优化矩阵

（b） 近似矩陣

图2中的参考线是纵坐标为[2]的水平线，由图2（a）可以得知，基于移位为2的0-1循环矩阵的重构矩阵经过优化算法的迭代后，得到的优化矩阵行模的最大值在第30次迭代后收敛于参考线，最小值也在第30次迭代后收敛于参考线;基于移位为5的0-1循环矩阵的重构矩阵经过优化后得到的优化矩阵行模的最大值和最小值同样在第30次迭代后收敛于参考线.由图2（b）可知，基于移位为2的0-1循环矩阵的重构矩阵优化后得到的近似矩阵行模的最大值在第20次迭代后收敛于参考线，最小值在第90次迭代后收敛于1;基于移位为5的0-1循环矩阵的重构矩阵经过优化后得到的近似矩阵行模的最大值在第70次迭代后收敛于1.397 6，接近于参考线，最小值在第40次迭代后收敛于1.031 6.

（a） 优化矩阵

（b） 近似矩阵

由图3（a）可知，基于移位为2的0-1循环矩阵的重构矩阵经过优化算法迭代后，得到的优化矩阵行相关系数的绝对值最大值在第10次迭代后收敛于0，列相关系数的绝对值最大值在第2次迭代后收敛于0.999 4;基于移位为5的0-1循环矩阵的重构矩阵经过优化得到的优化矩阵行相关系数的绝对值最大值在第10次迭代后收敛于0，列相关系数的绝对值最大值在第30次迭代后收敛于0.858 9.由图3（b）可知，基于移位为2的0-1循环矩阵的重构矩阵经过优化后，得到的近似矩阵行相关系数的绝对值最大值在第60次迭代后收敛于0.209 3，列相关系数的绝对值最大值在第2次迭代后收敛于0.999 3;基于移位为5的0-1循环矩阵的重构矩阵经过优化后，得到的近似矩阵的行相关系数的绝对值最大值在第80次迭代后收敛于0.120 7，列相关系数绝对值最大值在第10次迭代后收敛           于0.841 1.

由图4（a）可知，基于移位为2的0-1循环矩阵的重构矩阵经过优化算法后，得到的优化矩阵服从高斯分布的行由55迅速收敛于0，服从高斯分布的列由106迅速收敛于0;基于移位为5的0-1循环矩阵的重构矩阵经过优化得到的优化矩阵服从高斯分布的行由52次在第30次迭代后收敛于0，服从高斯分布的列由96在第30次迭代后收敛于0.由图4（b）可知，基于移位为2的0-1循环矩阵的重构矩阵经过优化得到的近似矩阵服从高斯分布的行由55迅速收敛于0，服从高斯分布的列由106迅速收敛于0;基于移位为5的0-1循环矩阵的重构矩阵经过优化得到的近似矩阵服从高斯分布的行由52在第30次迭代后收敛于0，服从高斯分布的列由96在第30次迭代后收敛于0.

由图5可知，基于移位为2的0-1循环矩阵的重构矩阵经过优化后得到的近似矩阵列模的最大值在第5次迭代后收敛于1.207 0，最小值在第5次迭代后收敛于0.070 3;基于移位为5的0-1循环矩阵经过优化得到近似矩阵列模的最大值在第5次迭代后收敛于1.2，最小值在第5次迭代后收敛于0.096 9.

通过分析图2—图5可知，随着0-1循环矩阵移位的改变，其重构矩阵优化过程中优化矩阵和近似矩阵各参数最大的改变在于列相关系数的变化.基于移位为5的0-1循环矩阵，其重构矩阵以及优化后得到的优化矩阵和近似矩阵列不相关性好于基于移位为2的0-1循环矩阵的重构矩阵、优化矩阵和近似矩阵.

3    基于不同移位步长与维数的0-1循环矩阵的重构矩阵理论分析

通过表1可以发现，当0-1循环矩阵的移位步长为偶数2时，矩阵行数不变，列数由偶数256变为奇数255后，基于移位为2的0-1循环矩阵的重构矩阵、优化矩阵、近似矩阵的列最大相关系数均减小至0.9以下;矩阵列数不变，行数由128变为127后，3种矩阵的列最大相关系数改变不大.当0-1循环矩阵的移位步长为奇数5时，矩阵的行数不变，列数由256变为255后，3种矩阵的列最大相关系数均变为1;矩阵列数不变，行数由128变为127后，3种矩阵列最大相关系数变化不大.

由上述分析可知，0-1循环矩阵的列数与移位要满足不能同时为偶数或不能同时为奇数，此时重构矩阵的列不相关性可以达到较为理想的状态，移位步长与0-1循环矩阵的行数无关.进一步分析可知，如果0-1循环矩阵的列数与移位均同时为奇数或同时为偶数，此时矩阵中的所有元素经过移位后均可以多次回到该列，导致0-1循环矩阵中列和列之间的相似度很大，因此，基于0-1循环矩阵的重构矩阵各列就会非常相似，失去了随机性，即使对重构矩阵做优化也不能提高其随机性，导致各列依然高度相关.

4    基于不同移位步长的0-1循环矩阵的信号重构验证

为进一步验证循环重构矩阵及其优化和近似矩阵的性能，分别用移位为2的0-1循环重构矩阵和移位为5的0-1循环重构矩阵及其优化和近似矩阵对高斯稀疏信号采用正交匹配追踪（orthogonal matching pursuit，OMP）算法[17-18]重构.OMP算法是一种经典的重构算法，其核心是依次对每一列元素进行重构.矩阵维数均为128×256，首行均放置32个随机分布的1，对每个稀疏度的信号重复试验500次，准确计算重构概率，如图6所示，该实验运用的软件为MatlabR2014b.

由图6可见，当测量矩阵为移位为5的0-1循环矩阵时，由其得到的重构矩阵、优化矩阵和近似矩阵的信号重构概率明显好于基于移位为2的   0-1循环矩阵的重构矩阵、优化矩阵和近似矩阵的信号重构概率.稀疏度为8～48时，移位为5的重构矩阵、优化矩阵和近似矩阵的信号重构概率比移位为2的重构矩阵、优化矩阵和近似矩阵的信号重构概率均提升至少15%;当信号稀疏度为24时，3种矩阵的信号重构概率均提升了50%以上;当信号稀疏度小于16时，基于移位为5的0-1循环矩阵的重构矩阵、优化矩阵和近似矩阵的信号重构概率均接近于1.

5    结论

单像素相机中DMD的设计直接关系到重构矩阵以及由重構矩阵优化得到的优化矩阵和近似矩阵的性能，以及DMD编程和机械实现的难易.0-1循环矩阵作为易于硬件实现的测量矩阵，其内部元素的设计非常重要，0-1循环矩阵的列数与移位步长要满足不能同时为偶数或不能同时为奇数的要求，此时重构矩阵的列不相关性可以达到较为理想的状态，移位步长与0-1循环矩阵的行数无关，按照该思路设计的测量矩阵可以大大增强重构矩阵以及优化矩阵和近似矩阵对信号的重构能力，这为单像素相机中DMD的设计提供了重要的参考.

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