“三角函数”及其符号的由来

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我们知道，三角函数在数学中有着十分重要的地位，在测量、导航、工程学以及物理学方面也有着广泛的用途。我们在初中阶段常见的三角函数包括“正弦”“余弦”“正切”，分别用符号“sin”“cos”“tan”来表示。大家在学习中是否有疑问，比如这些符号是从哪里来的？为什么三角函数的名称与“弦”和“切”相关呢？且听我慢慢讲来。

1. 你们知道这些符号是从哪里来的吗？

德国数学家雷基奥蒙坦是15世纪西欧数学界的领军人物，他于1464年完成著作《论各种三角形》。在该书中，他正式提出了sine（正弦）一词。而cosine（余弦）则是英国人根日尔首先使用的。tangent（正切）一词最早出现在1620年由丹麦数学家托马斯·芬克所著的《炮兵测量学》一书中。数学追求简洁美，人们在使用这些名词时思考：如何使书写更方便呢？于是，阿贝尔特·格洛德于1626年最早推出“正弦”与“正切”的简写符号“sin”“tan”，“余弦”的简写符号“cos”则最早由英国人奧屈特于1675 年推出。而这些符号成为通用的符号，还是在1748年经过数学家欧拉的引用之后。

2. 为什么三角函数的名称与“弦”和“切”相关呢？

我们来回忆一下：数学中哪些内容里有这样的名称呢？我们想到了圆。连接圆上任意两点的线段叫作弦;与圆只有一个公共点的直线叫作圆的切线。

如图1，⊙A 的半径AB=1，B、D 在⊙A上，AC⊥BD，则在Rt△ACB 中，sin∠BAC=

，所以∠BAC 的正弦等于线段BC 的长度，由AC⊥BD 得BC=12BD，故“∠BAC 的正弦”可以理解为单位圆（半径为1的圆）中，∠BAC 所正对着的半边弦线的长度。

如图2，⊙A 的半径AC=1，直线BC 为⊙A 的切线，则在Rt△ACB 中，tanA=

，所以∠A 的正切等于线段BC 的长度，故∠A 的正切可以理解为单位圆（半径为1的圆）中，∠A 所正对着的切线长度。

（作者单位：江苏省泰州市大泗学校）