“三角函数”与“圆”的不解之缘

陆乘军

三角函数与三角形有着密不可分的联系，可你知道三角学与圆之间也有着非同一般的关系吗？下面我们就一起来了解它们的“缘分”。

“三角学”一词源于希腊文“三角形”和“测量”两词的组合，原意为三角形的測量（或解三角形），以研究平面三角形和球面三角形的边和角的关系为基础，达到测量上的应用为目的。早期人们研究三角学是为了确定航海路线和天文观测等，所以最先发展的其实是球面三角形的理论，通常借助圆来研究，将三角函数定义为圆内某一线段的长。到了18世纪后半叶，著名数学家欧拉令圆的半径为单位1，将三角函数定义为相应线段与圆半径之比，这使得三角学在理论和实际应用方面大大前进了一步。如在图1所示单位圆（以原点为圆心，单位长为半径的圆）中，∠α的两边交⊙O 于A、P 两点，AD、BP 均与x 轴垂直，PC 与y 轴垂直，则sinα为BP1 =BP，也就是圆中一条弦的一半，曾译为“正半弦”，后称“正弦”。类似的，cosα 为OB，而OB=CP，故也可将cosα视为∠COP 的正弦值，也就是∠α的余角的正弦值，称之为余弦。tanα则为与圆相切的AD，称为“正切”。正因为三角函数的研究曾长期在圆内进行，所以三角函数也叫作圆函数。事实上，三角函数还有很多种，只不过初中阶段我们只研究最常用的三种。

除了在定义方面与圆有着不解之缘，三角函数还有很多与圆有关的性质。我们继续来研究。

如图1，可得cosα =OB=CP=sin∠COP=sin（90°-α），即一个锐角的余弦等于这个角的余角的正弦。类似的，sinα=cos（90°-α），即一个锐角的正弦等于这个角的余角的余弦。

如图2，若△ABC 外接圆O 的半径为R，∠A、∠B、∠C 所对的边分别为a、b、c，则有

，这是高中阶段会学到的正弦定理。

（作者单位：江苏省泰州市大泗学校）