方格纸中暗藏的奥妙

蒋亦璇

在学完“锐角三角函数”这一章后，我感受到了发散思维对数学学习的重要性。从那以后，我在解决数学问题时开始尝试从不同的角度去思考，后来发现这些不同方法的背后往往又有一些相通之处，所以比较这些解法的相同与不同便是我学习数学的一大乐趣。因为锐角三角函数本身就是用边长的比值刻画了一类相等角的共同点，所以这类角无论在怎样的直角三角形中都能體现出边与边的比值不变这一特性，而这变化中的不变正是我思维发散的源泉。记得有一类方格纸问题给我留下的印象最为深刻，那道题我尝试用了两种不同的方法去解决，至今还记忆犹新。题目是这样的：

在如图1 的正方形方格纸中，每个小的四边形都是相同的正方形，A、B、C、D 都在格点处，AB 与CD 相交于点O，则tan∠BOD 的值等于。

当我看到这道题的时候，首先对∠BOD 的位置不是很满意。因为在方格纸中研究问题，我希望图形的顶点尽可能在格点上，这样既便于研究，也利于计算。但本题要研究的∠BOD 的顶点并不在格点上，于是我萌生了一个想法，对其中一条线作平移。于是，我将线段CD 平移到C′D′的位置，交AB 于点O′，如图2 所示，则∠BO′D′=∠BOD。设每个小正方形的边长为a，则O′B= 5 a，O′D′=2 2 a，BD′=3a，此时发现虽然角的顶点在格点上了，但是这个角并不在直角三角形中，依然求不出其三角函数值。于是我又作BE⊥O′D′于点E，构造了一个关于∠BO′D′的直角三角形，发现BE 作为一条垂线段可以视为△BO′E 的高，我便用面积法求出了BE 的长，BE=

，最终求得tan∠BOD=tan∠BO′E=

。

我虽然做出了答案，但是感觉步骤略显繁琐。于是我又开始了第二次尝试，能不能通过平移，既让顶点在格点上，同时∠BOD 又在直角三角形中呢？我连接了AE、EF，如图3 所示。因为AE∥CD，所以∠FAE= ∠BOD，则AE= 2 a，AF=2 5 a，EF=3 2 a，由于AE2+FE2=AF2，所以△FAE是直角三角形，则tan∠BOD=tan∠FAE=

。

初中阶段的数学学习是有紧迫感的，但对于我来说，快乐更多一些，因为我将解题视为锻炼思维的试金石，将自己定位于一个研究者，在不同解法的对比与优化中实现自己思维能力的提升。就像上题中的方格纸一样，在不同的格点组合中碰撞出了智慧的火花，看似普通却奥妙无穷。数学之大，永无止境。

教师点评

蒋同学在学习了这一章后，领悟到数学是一门需要研究的学科，尝试着在变化中探索不变的规律，并将这种理念运用到解题中去。她在解决方格纸内求一个角的三角函数值时，抓住了等角的三角函数值不变这一特征，发散地对图形进行平移与改造，致力于让图形呈现出最理想的状态，并在寻求不同的解法中不断地优化与突破，感受到了数学学习的乐趣，展现出了“乐学”“好学”的良好精神风貌。

（指导教师：周炼）