“隐身”的助手，万能的钥匙

陈平

学习了三角函数和解直角三角形后，许多实际测量问题都可以用三角函数知识解决。从更广的视角来看，三角函数就是一种数学工具。在许多图形中，就隐藏了三角函数，让三角函数现身，可以使与图形有关的计算或证明更加方便快捷，起到出其不意的效果。将三角函数的方法应用于其他领域，也屡试不爽。可以说，三角函数就是数学解题“隐身”的助手、万能的钥匙。

一、换个角度试一试

例1 如图1，正方形ABCD 的边长为6，将正方形对折，使边AB 与CD 重合，得折痕EF。展开此正方形，再将∠C 折叠，使点C 落在折痕EF 上，且第二次的折痕经过点B，与CD相交于点P。求折痕BP 的长。

该题常规解法是：如图2，连接GC，证明三角形BCG 为等边三角形，从而∠GBP=30° 。设PG=x，则BP=2x。在Rt△BPG 中，由勾股定理得62+x2=（2x）2，从而求出x=2 3，故BP=4 3。

如果“请出”三角函数，那么在Rt△BEG中，cos∠GBE==12，所以∠GBE=60°，所以∠GBP=30°。在Rt△BGP 中，cos∠GBP=

，所以BP=BGcos∠GBP=

=4 3。

由此可見，我们在解决数学问题时，换一个角度思考，可以使思路豁然开朗、柳暗花明。

二、隐身助手来帮忙

例2 （2019·陕西）如图3，AC 是⊙O 的一条弦，AP 是⊙O 的切线。作BM=AB 并与AP交于点M，延长MB 交AC 于点E，交⊙O 于点D，连接AD。

（1）求证：AB=BE;

（2）若⊙ O 的半径R=5，AB=6，求AD的长。

（1）证明（略）。

（2）解：连接BC，易证∠ABC=90° ，由勾股定理求出BC=8，进而得EM=12。由（1）易证△ABC∽△EAM，得

，即1210=AM8 ，所以AM= 485 ，故AD=AM= 485 。

这里是通过证明Rt△ABC∽Rt△EAM，再列出比例式求得线段的长。我们换个角度，将比例式

改为

，这里的本质是：是Rt△ABC 中∠BAC 的正弦，而

则是Rt△EAM 中∠AEM 的正弦。因此，我们考虑可否避开三角形相似，而用三角函数解决呢？答案是肯定的！在Rt△ABC 中，sin∠BAC=

。在Rt△EAM 中，sin∠AEM=

。因为AB=BE，所以∠BAC= ∠AEM，所以

，故问题得解。

我们知道，初中锐角三角函数的本质是直角三角形中两边的比。因此，涉及直角三角形相似得成比例线段的问题，一般都可以利用三角函数解决。这里，没有谁提醒可用三角函数解决，但此时的三角函数就是解决几何问题的“隐身”助手。

三、万能钥匙来开锁

在数学中，三角函数既是一种知识，也是一种工具，更是一种方法。它像一把万能钥匙，能打开许多图形问题之锁。

例3 （2018·江苏泰州改编）如图4，平面直角坐标系xOy 中，点A 在反比例函数y=

（x>0）的图像上，点A′与A 关于点O 对称，过A′点的直线与函数y=

（x>0）的图像相交于点P，过点P 作x 轴的平行线PG，求证PG 平分∠APA′。

该题是证明两角相等，解题思路较多，如构造等腰三角形、三角形相似等。但从角的一边与坐标轴平行来看，可以考虑构造包含这两个角的直角三角形。如图4，分别作AM⊥GP、A′N⊥GP，垂足分别为M、N。设点A、P 的坐标分别为（a， ，所以tan∠APM

，所以tan ∠APM=tan ∠A′PN，即∠APM=∠A′PN，很快得到证明，显示了三角函数方法在解决图形问题中的强大实力。

事实上，三角函数是一种数学工具，但它更像一把万能钥匙。无论是几何中的三角形、四边形、圆，还是代数中的方程、一次函数、二次函数，凡涉及图形问题，我们都不妨尝试用三角函数来解决，也许会收获意想不到的效果。

（作者单位：江苏省泰州市姜堰区实验初级中学）