化斜为直 变难为易

陈建

近年来，各地中考试题经常出现关于解斜三角形的问题。解决此类问题的关键是运用“化斜为直”的数学思想方法，通过作垂线段把已知的特殊角置于直角三角形中，从而把解斜三角形问题转化为解直角三角形问题。现以一道中考题为例，希望对同学们有所帮助。例题（2020·江苏淮安）如图1，三条笔直公路两两相交，交点分别为A、B、C，测得∠CAB=30°，∠ABC=45°，AC=8 千米，求A、B 两点间的距离。

【解析】解题时我们常把特殊角放在直角三角形中，运用三角函数知识解决问题。此题可过点C 作AB 边上的高CD，构造出两个直角三角形，把分散的条件集中起来解决问题。如图2，在Rt△ADC 中，由AC=8，∠CAB=30°，可直接解这个直角三角形，得CD=4，AD=4 3。在Rt△BDC 中，由CD=4，∠ABC=45°，得BD=4，所以A、B 两点间的距离为（4 3+4）千米。

变式1：把原题中的AC=8 千米改为AB=（4 3+4）千米，求A、C 两点间的距离。

【解析】作CD⊥AB 于点D，构造的Rt△ADC 和Rt△BDC 都没有已知的一条边的长度，所以不能直接解直角三角形，此时需要借助AB 的长度列方程解决问题。设CD=x，可得AD= 3 x，BD=x，所以3 x+x=4 3+4，解得x=4，所以AC=2CD=8，即A、C 两点间的距离为8千米。

变式2：如图3，若把原题中的∠ABC=45°改为∠ABC=135°，其他条件不变，求A、B 两点间的距离。

【解析】解题时看到135°的角要联想到它的补角为45° ，所以过点C 作AB 边上的高CD 可把30° 、45° 放到两个直角三角形中。如图4，在Rt△ADC 中，由AC=8，∠CAB=30°，可直接解这个直角三角形，得CD=4，AD=4 3。在Rt△BDC中，CD=4，∠CBD=45°，得BD=4，所以A、B 两点间的距离为（4 3-4）千米。

变式3：三条笔直公路两两相交，交点分别为A、B、C，测得∠CAB=30°，BC=4 2 千米，AC=8千米，求A、B 两点间的距离。

【解析】解题时若题中没有给出图形，需要自己作图时，往往要考虑多解的情况。此题可分为图5和图6两种情况，通过作AB 边上的高CD 把30°放到两个直角三角形中解决问题。解题思路可参照例题和变式2，易求A、B 两点间的距离为（4 3+4）千米或（4 3-4）千米。

同学们，变式3中的两个图形是我们解斜三角形常见的两种基本图形。解题时我们要能够从复杂的图形中分解出基本图形，用“化斜為直”的思想方法使复杂的问题简单化。但要特别注意：所作的垂线段尽可能不要将特殊角分割。

（作者单位：江苏省泰州市九龙实验学校）