拾掇“通幽曲径”，畅游相似三角形乐园

黄志琴

亲爱的同学，提起相似三角形，你首先联想到什么？知识点？基本图形？难点？你又经常漏掉什么？其实我们常常遗忘，解题时屡屡受阻的，才是值得我们深思、仔细研究的。我们要剖析梳理，探寻本质，做到晓一题而通一类。

一、自觉联想，挖掘宝藏

万变不离其宗，所有习题的根源都是教材知识和思想方法，另外就是一些常见的处理技巧。请迅速回忆：如图1所示，要使△AEF一△ACB，已经具备的条件是____，还需补充的条件可以是____或____或_____或______。

相似三角形的条件中，最容易联想的应该是“两角分别相等的两个三角形相似”——简洁。这里我们重点梳理条件“两边夹角”及边性质的应用，让边和角的应用“比翼齐飞”。

图1是最熟悉的基本图形之一，我们不能仅限于熟悉这一种图形，而應把与之相关的常见的变式图形一起熟练掌握，并能由图形得到相应结论，拾级而上。

图2是图1的特殊情况，两个相似三角形有一组公共角，还多了一对公共边，根据相似三角形的性质AB/AC= AF/AB，可得AB2=AF.AC。若AF=2，AC=3，请快速口答AB的长度——公共边是比例中项。

如图3，若CD是Rt△ABC斜边上的高，图中比例中项有__________，请说出它们分别是哪两条边的比例中项。

【特别提醒】如图4，在△ABC中，AB=14，AC=6，在AC上取一点D，使AD=3。如果在AB上取点E，使△ADE和△ABC相似，则AE的长度为____。

【中考链接】（2018.汀苏常州）如图5，在△ABC纸板中，AC=4，BC=2，AB=5，P是AC上一点，过点P沿直线剪下一个与△ABC相似的小三角形纸板，如果有4种不同的剪法，那么AP长的取值范围是

。

二、拓展延伸，积累能量

经过前面的梳理、串联，亲爱的同学，你有些“数感”和“直观感受”了吗？总结经验、纳入自己的框架之中。

经典应用一：

【试一试】如图6，在△ABC中，∠A CB=120°，BC=AC=4，以点B为圆心，2为半径的OB上有一动点P，连接AP、CP，则PA +1/2PC的最小值为_______。

思路该向何方？“1/2PC”在哪里？跟相似三角形有什么关系？怎么构造“1/2PC”呢？关键为什么是“1/2”？看到图7，你明白了吗？PD即“1/2PC”。思路：取BD=1，连接PB、PD构造“共角共边相似三角形”。因为∠PBD=∠CBP，若BC= BP，则△BPD-△BCP，可得DP/PC= BP/BC=BD/BP=1/2，所以PD=1/2PC。此时问题转换成“DP+PA”的最小值，即点A与点D两个定点之间的距离。

【巩固延伸】如图8，点A、B在⊙0上，OA=OB=12，OA⊥OB，点C是OA的中点，点D在OB上，OD=10，动点P在⊙0上，则PC+1/2PD的最小值为_______。[提示：1.转化为求1/2（2PC+PD）的最小值;2.同圆半径相等。]

经典应用二：多重相似图形。

【试一试】如图9，⊙0的半径OM=1，A为⊙0上一点，点B为直径MN延长线上的点，MB=3，连接AB，以AB为边作等边△ABC，A、B、C逆时针排列。连接OC，求OC的最小值。

根据整体思想构造等边△O'OB，则△O'OB一△CAB，画出所有点C的集合即⊙0'，如图10。连接OA、O'C，由SAS可证△O'CB≌△OAB，得O'C=OA，即⊙0与⊙0半径相等。（OC的最小值为OC=0'O-0'C'=2-1=1。）

【变一变】如图11，把等边三角形变为等腰直角三角形，其余条件不变，你可以找到哪些相似图形？相似比为多少？（此题是根据“两边夹角”构造△O'BC-△OBA。如图12，再由相似三角形的性质可得两圆半径之比为2：2，所以O'C=O'C=2。）

一、小试牛刀，崭露锋芒

1.如图13，以AB为斜边作Rt△ABC，使∠ACB=90°，tan∠CAB=3/4，A、B、C三点为逆时针排列。连接OC，求OC的最小值。

2.如图14，已知A（-4，0）、B（6，0）、C（O，-3），连接AC、BC，设∠a=∠OCB-∠OAC，点E是直线BC上一点，若∠CA E=∠a，求CE的长。

数学知识及其应用的梳理、串联，经验的积累是解决问题时放飞思想的基础和加速剂。相似三角形的内容非常丰富，将其梳理积累成为自己的思维非常必要。

（作者单位：江苏省常州市金坛区白塔中学）