借用坐标系 巧解压轴题
2021-03-11喻志江
喻志江
(浙江省义乌市后宅中学 322008)
近几年越来越多的中考压轴题,抛弃函数和几何相结合的综合题,而改为几何探究题.更加强调对数学核心素养的考查.这类题目思维量大,特别是最后一小题,除了很少部分尖子生能答出,其他同学只能放弃.笔者对部分中考压轴题进行研究发现,利用坐标系法可以大大降低题目的思维量,中等同学都能试着解答.现举几例,希望对读者有所帮助.
例1(2017广西贵港26)已知,在Rt△ABC中,∠ACB=90°,AC=4,BC=2,D是AC边上的一个动点,将△ABD沿BD所在直线折叠,使点A落在点P处.
(1)如图1,若点D是AC中点,连接PC.
①写出BP,BD的长;
②求证:四边形BCPD是平行四边形.
(2)如图2,若BD=AD,过点P作PH⊥BC交BC的延长线于点H,求PH的长.
分析与解答(1)的答案比较简单,不再赘述,现比较(2)的两种解答:
①常规解答:
如图3中,作DN⊥AB于N,PE⊥AC于E,延长BD交PA于M.
设BD=AD=x,则CD=4-x,在Rt△BDC中,因为BD2=CD2+BC2,所以x2=(4-x)2+22
简评方法ⅱ的思维量明显少很多,计算也不繁.
例2(2018金华中考24题)在Rt△ABC中,∠ACB=90°,AC=12.点D在直线CB上,以CA,CD为边作矩形ACDE,直线AB与直线CE,DE的交点分别为F,G.
(1)如图5,点D在线段CB上,四边形ACDE是正方形.
①若点G为DE中点,求FG的长.
②若DG=GF,求BC的长.
(2)已知BC=9,是否存在点D,使得△DFG是等腰三角形?若存在,求该三角形的腰长;若不存在,试说明理由.
分析与解答(1)的答案比较简单不再赘述,现比较(2)的两种解答:
如8中,当点D在线段BC的延长线上,且直线AB,EC的交点中BD下方时,
此时只有DF=DG,过点D作DH⊥FG.设AE=3x,则EG=4x,AG=5x,DG=4x+12,
简评本题利用坐标系法优势非常明显,既不用把每种情况的图做出,计算也不是很复杂.
限于篇幅要道例题只给出坐标系解法.
(1)如图10,若AD=BD,点E与点C重合,AF与DC相交于点O,求证:BD=2DO.
(2)已知点G为AF的中点.
①如图11,若AD=BD,CE=2,求DG的长.
②如图12,若AD=6BD,是否存在点E,使得△DEG是直角三角形?若存在,求CE的长;若不存在,试说明理由.
分析与解答这里主要用坐标系法解答问题(2)
因为∠DEF=90°DE=EF,易得△DME≌ENF,
所以DM=7,BM=7,MC=7,因为CE=2,所以ME=5,NF=5
所以F(5,-5),A(14,14),D(7,7)因为点G为AF的中点.
②以点B为原点BC所在直线为X轴,以过点B与BC垂直的直线为Y轴,建立直角坐标系如图14。
分别过点D,F作DM⊥BC,FN⊥BC
又因为F(12-a,a-12)A(14,14)因为点G为AF的中点
△DEG是直角三角形时:
①DE2+DG2=EG2
②DE2+EG2=DG2
③EG2+DG2=DE2
通过比较我们发现,利用传统的几何法来解决平面几何问题,需要很高的思维量,要画出不同情况的图形,考虑不同的变化过程,大部分同学几乎是不可能做完整.而利用坐标法思路清晰、指向明确,抓住了关键点,达到事半功倍的效果.