浅谈定积分几何应用第一课时教学设计

谢丽娜

摘 要：高等数学“定分几何应用求面积”这一节微元法的教学内容比较抽象，本文利用情景导入法，创设问题，采用师生互动的教学模式去突破本节重难点。通过这样的教学设计，达到了较好的教学效果。

关键词：定积分;微元法;求平面面积;教学设计

一、教材分析

《定积分几何应用》第一课时选自薛利敏主编《高等数学》第五章第六节。本节首先探索定积分解决实际问题的方法----- 微元法 ，进而利用微元法求解一些曲边多边形面积问题。由于本章第一节学习定积分概念时是通过实际问题引入的，因此本节课是前几节的概括和升华。

二、学情分析

该课程的授课对象是机电一体化技术专业一年级的学生。具有一定的数学素养和团队协作沟通能力。同时，已经掌握了不定积分概念及运算、定积分概念及几何表示，定积分计算等，为本任务的学习打下了良好的基础。但学生对抽象知识的理解能力相对较弱，学起微元法会很吃力，而且数形结合意识不强，利用微元法求解一些曲边多边形面积问题还是有一定的难度。

三、目标分析

1.知识目标

使学生掌握定积分微元法解决几何问题的基本技巧，并使学生学会用微元法（元素法）去解决各种领域中的一些求平面多边形的面积问题;

2.能力目标

培养学生数形结合的思想，以及观察问题、提出问题等方面的能力。

3.情感目标

通过任务驱动，合作探究的学习过程，培养了学生思考、探究等方面的数学素养。

4.思政育人目标

激发了学生学习的兴趣;增强了学生团队合作意识;培养了吃苦耐劳的精神。

四、重点难点

重点：用微元法求平面图形的面积;

难点：如何选择积分变量和确定被积函数。

五、教法学法

教法： 任务驱动法和演示法;

学法：小组探究法和合作学习法。

六、教学过程

6.1  创设情境，激发学生兴趣（课件同步展示）

1）百岁山的广告你们知道其中的寓意吗？（教师讲述）

2）心形线围成的封闭图形面积如何求得？（学生讨论，教师总结）

求心形线面积不能像中学求圆、矩形、梯形等面积，可利用现有的公式，但我们知道定积分概念是通过求曲边梯形面积过程获得的，所以及时设疑：

3）你们能从定积分概念的获得过程，探讨一种求心形线面积的方法吗？（学生讨论，教师总结）

总结：

学习定积分概念时，是通过分割、取近似、求和、取极限这四步得来的，通过这个过程不难发现能用定积分解决的问题每次都用分割、取近似、求和、取极限过程非常复杂，而且关键是取近似、取极限，那么有没有什么较好的方法去实现这两步呢？（及时提出问题，引出微元法。）

6.2  微元法（课件同步展示）

1）复习前面学习的微分，引出概念。

假如A是非均匀连续分布在区间上的量，在区间上任取一点x，我们把分布的量记为，则：

，

且在上  ，有：

利用微分定义，即有：

又由牛顿-莱布尼茨公式：

定义：这种将所求的量表示成微元积分的方法称为微元法（元素法）

在实际应用时，我们根据具体问题选取一个适当的自变量（积分变量）例如x，若用 表示任一小区间（区间微元）上的窄曲边梯形的面积，取点x处的函数值为高，dx为底的小矩形面积为（面积微元，也称面积元素记为dA），所以：

即：

也即：

同学们，到此，你能讲出利用微元法求平面图形面积的步骤吗？（进一步加深学生对微元法的理解，并为后面处理具体问题埋下伏笔。）（学生分组讨论，教师和学生共同总结，）

总结：用微元法解决实际问题的关键步骤是：

第一步：在分布量区间上找一个小区间，找这个区间上的微元，即写出;

第二步：微元积分。

6.3 解决课堂一开始提出的问题，首尾呼应，而且让学生深刻感受数学课堂的逻辑性，应用性。（课件同步展示）

求心形线所围成平面图形的面积？（学生分组解答，教师最后点评）

总结：通过了解数学文化，进而解决实际问题，使得学生和老师共同感悟数学之美。

6.4 练习反馈，巩固新知。（课件同步展示，学生分组练习，比速度，比正确率，激发学生学习兴趣）

例1：求抛物线   与x轴所围平面图形的面积.

解：求抛物线与x轴所围平面图形如下图，它与x軸交点为（0，0），（2，0），取x为积分变量，则  在 任取一小区间 对应的面积微元为 ：

，

于是所求面积：

例2：求椭圆    与x轴所围平面图形的面积.

解：椭圆的参数方程    ，由对称性知总面积等于4倍第一象限部分面积，于是所求面积

例3：求曲线 与直线 x=0，x=π所围平面图形的面积.

解：如图所示，它们交点为  ，取x为积分变量，则 ，在取一小区间，对应的面积微元为，在任取一小区间 ，对应的面积微元为，于是所求面积：

例4：求摆线 一拱与直线 x轴所围平面图形的面积.

解：如图所示，取x为积分变量，则 ，在上任取一小区间，则对应的面积微元为，

于是所求面积：

总结：用微元法求平面图形面积具体解题步骤：

1）画出草图，求得曲线的交点坐标;

2）根据图形特点选择适当的积分变量;

3）把函数变形成积分变量的函数，从而确定被积函数和积分区间;

4）找微元;

5）计算定积分，求出面积。

（利用微元法去解决实际问题，让学生充分体会到比“分割，取近似，求和，取极限”要方便得多。）

6.5 知识拓展。（培养学生发现问题，用数学去解决自己专业问题的能力。）

你们专业中遇到有求面积问题吗？请举出实例，并用微元法加以求解。

6.6 课堂结束语。（为学生学习数学指明方向，并且认识到数学与生活息息相关。）

定积分这个概念尽管抽象难懂，似乎与我们的生活相距甚远，但通过本节课的学习，我们知道它可以解决生活中的一些实际问题，且作为一种工具，与我们的生活紧密相连。所以，数学无处不在，定积分无处不在。

6.7 教后反思。（“教然后知不足”，不仅有利于提高教学水平，而且认识也会提高到一个新的高度。）

课堂一开始同学们就对“一封另类的情书”产生浓厚的兴趣，通过教师的讲解引发他们对数学问题的思考，循序渐进，一环扣一环像画布一样展开课堂，最终完成了本节课的教学任务。

本节课教学流程符合学生的认知发展规律。通过教师设疑，教师与学生探讨，学生分组讨论，教师和学生共同总结等环节，让学生轻松理解微元法，并学会了用微元法求不规则平面图形的面积。

经验始于实践。在以后的课堂教学中，我将从以下几个方面持续改进：一是从生活实例出发，将“枯燥乏味”的数学知识尽可能与实际生活充分联系，让学生身临其境，感受到数学不仅来源于生活，而且用于生活;二是多了解学生的专业知识，课堂尽量引入专业实例，发掘数学为其专业服务的职责;三是充分利用网络学习资源，尽可能发挥互联网对学生学习的积极作用。

参考文献：

[1]薛利敏，高等数学[M].北京：教育科学出版社，2020.7

[2]代瑛，關于信息化教学设计的一个案例：定积分的应用[J].科技视界，2016（7）.

[3]何克抗，教学结构理论与教学深化改革（上）[J].电化教育研究，2007（7）：5-10.

[4]石红芳，“引、思、探、练”模式在定积分教学中的尝试：定积分应用的教学设计[J].数学教学通讯，2017（02）.

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