以问题为抓手，引领学生对乘法分配律的深度建构

鲁乐芳

摘 要：乘法分配律是运算定律教学的难点，也是学生的易错点。本文直面学生对分配律知识掌握欠缺这一现象加以分析，在教学实践中践行了以问题为抓手，将直观图形与抽象的定律有机的融合：“在导入中，问题自提，追本溯源，立足本质;在探究中，问题引导，分類对比，抽象模型;在运用中，问题质疑，多维思考，全面认知;在反思中，问题激活，转换视角，形成体系”。引导学生积极主动的探寻运算定律的内涵，精准地把握乘法分配律的本质，进而深度建构乘法分配律。

关键词：乘法分配律;问题;融合;深度建构

一、常规教学的困惑与思考

“乘法分配律”相比乘法交换律、结合律这两种包含单一运算的定律，其内容和外在的形式都比较复杂，造成学生对知识不宜归纳总结，更难的是乘法分配律拥有丰富的变式、宽广的范围，又促使学生难以理解、苦于应用。那如何突破难点？我们从教与学两个方面加以分析。

1.学之难，教之困

从四年级学生的年龄特征看，建立分配律的概念并不是一件容易的事。学生不了解分配律两边的算式为什么会相等，也不知道分配律可以用在什么地方？

内在因素：来自分配律本身的复杂性——除了运算符号与数字排列的不同外，分配律有四种不同的形式：（a+b）×c=a×c+b×c，a×c+b×c=（a+b）×c，（a-b）×c=a×c-b×c，a×c-b×c=（a-b）×c，包括“合”和“分”的双向关系，以及左右分配的差异性，每一种形式的背后，代表着不同的含义。学生常误以为从“合”到“分”的展开过程是分配律，而“分”到“合”的还原过程则是结合律。此外，学生对乘法分配律进行学习时，外部刺激对其学习所产生的干扰相当的大，学生很少会去主动地深度剖析乘法分配律的本质，而更多的在关注乘法分配律的“形”，忽视对“神”的理解，因此在实际计算和应用时错误百出，给乘法分配的掌握造成了极大的困难。

外在因素：一方面受到教材与教学的影响。人教版数学乘法分配律的引入是从解决问题中用两种方法解答，然后利用结果相等来画上等号，这样的方式并不足以建立两式相等的关联性，学生也不能借此了解分配律的意义;另一方面，从教师方面看，虽然教材中涵盖了许多分配律的相关内容，但老师未必仔细研读和思考过：“问题出在哪里，应该怎么教？”有些含有分配律“影子”的内容，我们老师往往一笔带过，从而使学生也不了解分配律的用法又从何而起。在引导分析和感知运算定律内涵的时，目光也通常被工具性层面所束缚，对关系性层面缺乏解读。

2.教学思考

教师在围绕乘法分配律组织和开展教学工作的时，通常将与乘法分配律特征相符合的若干等式展示出来，让学生对这些等式进行观察，对其相似之处进行找寻，但对其本质解读不多，学生只能模仿知识点却不知道此知识点的由来。因此我们有这样的思考：

思考一：可否用乘法的意义来说理，对于学生来说，用乘法意义说理是不是最容易理解？能不能把课本情景与几何直观相结合，借用已有几何图形的知识，使说理直观化，帮助学生真正理解乘法分配律的内涵。

思考二：可否引入面积的含义来直观帮助学生理解，着重引导学生借用数形结合的方式，在有效之形的辅助下，通过猜想、验证解释所发现的规律，打通新旧知识的纵横联系，进一步抓住知识间的共性与对其本质的认识。

带着这样的思考，我们进行了新课的尝试。

二、教学改进与思考

让学生清晰地架构起乘法分配律的知识模型，这是教学的本质，也是学生理解的基础。但从现行人教版教材的编排体系看，教材所彰显出的情景对学生理解知识的促进功效相当有限。因此在教学实践过程中，我们对教材情景进行了适当的改编，让学生在问题的驱动下，独立自主的参与富有挑战性的学习活动，使其经历乘法分配律知识的形成过程，进而促其对乘法分配律有清晰、深刻的理解。

1.问题自提，追本溯源，立足本质

在设计教学活动的时，教师要对学生既有知识经验有一个精准的把握，既让教学活动真正成为教学的起点，又能使学生根据已有的知识自我提出问题，充分表达自己的思考和发现。

（1）从学生已有经验提出问题，激活思维

问题是学生思维的起点，教学中，教师应根据学生已有知识与经验合理设置情景，让学生自提问题，激发其探索欲望。

教学片段一【问题导入，引发思考】

出示图片，提问：（1）从图中你得到哪些信息？（2）根据这些信息，你能提出什么数学问题？

生：芍药花一共有几朵？牡丹花一共有几朵？

生：两种花一共有多少朵？芍药比牡丹多了多少朵？

师：同一情景，大家从不同视角提出了不同问题，棒极了。我们先来研究芍药和牡丹花一共有多少朵。该怎么解决呢？请独立思考，在汇报交流。

学生汇报。

通过交流得到两个综合算式：（12+8）×9，12×9+8×9。

师：同学们说说每一步表示什么意思？对比一下，这两个式子有什么相同的地方？

生：三个数相同，结果也相同。（12+8）×9=12×9+8×9。

师：如果不计算，你还能知道他们的结果相同吗？（引导学生结合图形圈一圈，从纵向和横向观察，发现20个9可以分成12个9和8个9。）

师：现在看来，纵向和横向观察都可以通过乘法意义对两个算式的相等关系做出解释。

在学生提出的问题中选出与本课新知有关的问题让学生自主解答，通过圈一圈领悟乘法的意义。立足于“形”的角度进行“数”的刻画，以简单形象化方式来处理抽象化的数学概念，使其能够结合生活经验对乘法分配律的形成过程有所感悟。

（2）基于数学知识内在结构，合理猜想

算法的不断延伸形成了运算定律，重新构建了四则运算的顺序。教师要架构一些辐射性问题，让学生进行合理的猜想，准确迁移，沟通知识间的本质联系。

教学片段二【探究交流，提出猜想】

师：刚才同学们用圈一圈的方式解释了两个算式的相等关系。下面我们继续研究。如果我把图一抽象成长方形（投影逐渐抽象成如下图二）你能求出两地面积之和吗？

师：请你画一画，能用长方形面积知识解释为什么（15+10）×8=15×8+10×8等式成立吗？

生：15×8、10×8分别算出两个小长方形的面积，合起来就是整个图形的面积。（15+10）×8是将两个长方形视作一个大的长方形来计算其面积。15+10是大长方形的长，8是大长方形的宽，所以（15+10）×8=15×8+10×8。

将课件以动画的形式将两个长方形向一个大长方形变形的过程展示出来。

师：为什么能够合成一个长方形？

生：因为两个长方形的宽是相同的。

师：你能透过此图能将不同列式思路找出来吗？这两种列式的结果怎么样？

师：根据长方形的面积不同计算我们找到了解决问题的新思路，一眼就看出两道算式得出的结果是一样的。

师：那大家是否思考过，可否利用面积的思路来解释例题（12+8）×9=12×9+8×9结果大小为什么相等呢？

依次出示图示中的两个长方形，学生用面积意义解释两个算式的结果为什么相等。

师：长方形的长和宽还可以换成其它数吗？

生：可以换成任何一组合适的数。比如（17+13）×12=17×12+13×12，也可以换成56×9+44×9=（56+44）×9......

学生先从解决问题和乘法的意义去解释等式成立，再把直观的示意图图抽象成长方形，引导学生从长方形的面积角度去说明乘法分配律是否成立。长方形的面积与乘法分配律貌似不相关，但它们的本质内涵是相通的。通过问题层层引导，充分运用数形结合和逆向求证的教学策略，沟通数与形之间的关联，为其规律的探索，模型的创建提供有效思维途径。

2.问题引导，分类对比，抽象模型

在概念形成教学时，要以数学方式来思考感知素材，在引导性问题介入下，有序分类的探讨，追其根源，究其本质。

教学片段三【多元表征，验证猜想】

师：刚才我们用长方形的面积来解释两个算式，同时又写出了一些不同的算式，请你观察这些算式，他们是否有共同之处？

生：每个算式都有一个共同的因数。

师：同学们很快找出了问题的关键点，这类式子结果相等，主要原因在于其两边都有相同因数，但这些不同算式之间有没有其它内在联系呢？

研究数据中存在的规律

请你仔细观察：

问1：相等的算式，其左右两边数据所呈现出来的是何种特征呢？

问2：是不是在此种结构和数据特征同时具备的情况下，两个算式所得结果一定相等呢？

b.研究规律的合理性

师：这样的现象是巧合吗？还是客观存在的事实？你能用学到的知识解释这一现象。

c.抽象概括乘法分配律

师：看来，此规律具有普遍性，那你能否像乘法交换律和结合律一样，用一个式子来表示规律吗？

生：如果我把上面的长方形的数据改写成a、b、c，这些算式就可以写成（a+b）×c=a×c+b×c。

（a+b）×c=a×c+b×c。

师：你们太棒了，这个就是我们今天要学的乘法中的一个重要定义——乘法分配律。看来大家今后要理解乘法分配律，脑子中只要有这个图，它既直观好记，也容易理解。

从实例出发，以抽象方式向字母公式转化，借零散个例来推导数学结论，让学生遵从问题的指引，在不完全归纳过程中，有效的进行数学模型的构建。

3.问题质疑，多维思考，全面认知

每个学生学习能力不同，导致对知识的理解、运用能力也有所不同，所以课堂练习的设计既要适合每个学生的需求，使每位学生对知识有一个完整、全面的认知，又要让学生学会多维思考，为后续学习提供思维的动力。

教学片段四【分层递进，应用猜想】

（1）猜一猜。粗心的小婧在学完乘法分配律时，也试着写了几组等式，可是不小心被漏墨的钢笔弄脏了，猜一猜她写的等式左右两边原来是什么数？

（26+ ）×5=26×5+54×5

×（4+8）=25×4+25×8

32×7+×7=（32+68）×7

（2）帮一帮：开开和星星参加口算抢答比赛，两人实力相当，你知道谁赢的可能性大，为什么？

第一轮：开开（46+54）×9 星星：46×9+54×9

第二轮：开开4×（25+12） 星星：4×25+4×12

（3）选一选：下面选项中的计算结果跟¨×32计算结果相同？

a、×30+×2 b、×32+1 c、×31+

d、×4×8   e、×2+×10+×20

在学习活动中增强学生的问题意识，有助于学生求知状态的改善和学习成效的提升。这组练习的设计注重回顾旧知，整合知识。问题（1）对乘法分配律的起点给予重點关注。问题（2）关注乘法分配律在生活中的运用，了解乘法分配律的最终归宿—-简便计算。问（3）从不同的视角解读乘法分配律，在这样的问题中每个学生都能积极主动参与，尽情地表达自己的想法，从而进入更广阔的探索空间。

4.问题激活，转换视角，形成体系

教师在引导学生的过程中。既有纵向透视，也要横向沟通，由点入线，由线入面，由面入体。把知识置于旧知网络体系中，然后利用问题，激活思维，帮助学生寻找新旧知识之间的本质与共性，建立结构联系。这样的数学学习活动不仅有利于学生全面深刻地理解数学知识，而且有利于学生对数学知识的整体认识和宏观把握，促使学习走向深度。

（1）打通知识通道，感受新旧知识的联系

学生对于运算运用两数之和乘一个数等于这个两个数分别乘同一个数，再求和这个运算定律进行计算是有经验的，只不过在本节课学习之前并不知道叫做乘法分配律。所以教师在引导学生学习新知的同时，回顾已学知识，使新旧知识有机融合，构成一个知识网络。

教学片段五【反思回顾，沟通联系】

师：乘法分配律对于我们而言并不陌生，它在现实生活中是无处不在的。观察这些过程，你发现了什么？

三上《两位数乘一位数笔算》

三下册《两位数乘两位数笔算乘法》

三上册——《长方形周长》

此教学片段依托于乘法分配律，以设问为切入点，指引学生全面整合两位數与一位数乘积的口算及笔算法则，三位数与两位数乘积等数学运算知识点。借用新知对旧知进行重新审视，将新旧知识关联彻底打通。

（2）回归内容体系，完成规律的拓展

教学的关键就是把知识的结构化和体系化，从更高的视角全面的看知识的地位和作用，明白知识的来龙去脉，让学生深刻的探究和了解知识的本质。不仅可以让知识简单易理解，方便迁移，而且能逐渐的形成整体结构，去学习的方式和能力，慢慢的学会学习，最终形成素养。

教学片段六【拓展提升，发展猜想】

师：在这些长方形当中，哪两个长方形可以拼成一个较大的长方形？拼成后的图形面积是多少？请大家拼一拼。

然后教师追问。如果要把（1）（2）（3）长方形拼成一个较大的长方形，（2）号的图形该怎么变化？如果要改变（3）呢？（根据学生回答出示）

师：要求整个图形的面积怎么列式？

生：12×7+12×7+10×7=（12+12+10）×7

12×7+12×7+12×4=（7+7+4）×12

师：观察算式你又有什么发现？如果我在添几个图形，求它的面积还能这么算吗？

看来乘法分配律不仅适用与两个加数的和，还可以换成三个加数，四个加数也同样成立。

追问：如果括号里的加号改成减号，这个规律还成立吗？这是一个全新的猜想，大家能否按照刚才上课的思路，课后自己去求证。

让数学模型得以升华，引导学生对乘法分配律的运用范围进行进一步的探索，再次拓展乘法分配律，既两数之差与某数的乘积，更加全面，深刻的认知乘法分配律，最终再在乘法分配律的辅助下，对问题进行分析和解读，并最终获得更为丰富的知识储备。

上述研究只是立足于自身所面临的实践问题所展开的思考，虽然所得观点并不一定正确，然而思考才是最重要的。我们相信，一节课的成败与否，真正的灵魂在问题上，作为引导者，我们要静下心来，认真审视教材，抓住每节课的教学目标、重点、难点，教材中任何涉及到与分配律有关的内容，都要放慢脚步加以停留，并重视分配律相关教材内容之间的内部连结，站在大系统中宏观把握，整体设计适合学生的教学，方可真正的领悟到知识的灵魂。

参考文献：

[1]巢洪政，解决问题的策略及其教学简论，2009.6

[2]郭立峰，《小学教学参考》， 2021.2

3266500338218