情境模式下的数学知识串讲

黄王华

单元整体教学，打破知识结构原有的禁锢。针对广东中考取消了考试大纲，深度挖掘教材的思想方法，一元二次方程的应用是历年广东中考的热点问题，而对于课本习题中的围栏问题也是一元二次方程与几何图形的结合综合性较强的小压轴题，基于单元整体教学的方式，本教学案例特利用情境模式对一元二次方程应用问题进行一系列的知识串讲，让学生在整体上把握一元二次方程的应用的解題思路，形成整体感观。同时在数学教学中渗透劳动教育思想，让学生体会到数学源于生活，更要服务于生活，逐步从学数学到用数学的过程。

一元二次方程的应用——围栏问题的分析教学设计

课标表述       学习内容       具体要求       学习水平

抽象出实际问题中的数量关系，布列一元二次方程，运用一元二次方程的解法求得方程的解（根），进而解决实际问题，是一元二次方程的中心问题，要进一步深化数学的模型思想。      一元二次方程的解法  会运用适当的方法解一元二次方程（直接开方法、配方法、公式法、因式分解法）  C

会运用根的差别式判断方程是否有根          C

一元二次方程的应用模型     能理解、运用实际问题中的几何构图模型    B、C

能理解、运用实际问题与数学模型之间的转化运用 B、C

能理解、运用一元二方程根的实际意义       B、C

能综合运用一元二次方程思想构建函数问题 B、C、D

序号    知识与技能目标        学习水平

1        会运用适当的方法解一元二次方程（直接开方法、配方法、公式法、因式分解法）       □识记（A）□理解（B）

运用（C）□综合（D）

2        会运用根的差别式判断方程是否有根          □识记（A）□理解（B）

运用（C）□综合（D）

3        能理解、运用实际问题中的几何构图模型    □识记（A）理解（B）

运用（C）□综合（D）

4        能理解、运用一元二方程根的实际意义       □识记（A）理解（B）

运用（C）□综合（D）

5        能综合运用一元二次方程思想构建函数问题 □识记（A）理解（B）

运用（C）综合（D）

序号    过程与方法目标        能力水平

1        由一元二次方程实际问题抽象几何模型       运算求解推理论证空间想象

数学表达数据处理数学建模

2        由几何模型还原对生活进行服务      运算求解推理论证空间想象

数学表达数据处理□数学建模

序号    情感态度与价值观目标        育人价值的视角

1        通过对一元二次方程的应用构建模型，体会从直观感到理性说理的的探究历程，体验一元二次方程在实际生活中的应用，形成数学说理的意识   数学与理性数学与思维

数学与方法数学与美学

数学与社会

2        在探究建模的过程中，积累数对实际问题产生的影响，体会严谨、准确和简明地开展数学活动的的重要意义，提高数学思维的品质  数学与理性数学与思维

数学与方法数学与美学

数学与社会

活动主题       一元二次方程的应用与二次函数最值问题----围栏问题的实际探讨

活动目标       经历由一元二次方程的应用“操作实验---归纳总结---说理验证”的探究过程，体会数学建模思想，体会直观感知与理性思考的联系和区别，懂得直观观察结论需说理论证，发展推理能力;体验解决问题方法的多样性，养成积极探究的态度、独立思考的习惯和团队全作的意识

活动任务       任务：（六人小组合作，每个小组提前准备直尺、三角尺、量角器与20m长的篱笆）

1.小组合作，制定20m长篱笆围矩形花圃方案;

2.如何使材料尽用，面积最大;

3.如何利用好实际的条件限制数据;

背景说明       为获得足够的花卉顺利进行生物实验，茶山中学生物老师邹裕容老师联系学校总务处，准备利用课外时间在学校围墙外开辟一块矩形地方，种植生物实验所需的一些花卉植物，请同学们利用自己所学数学知识（一元二次方程）及函数的最值问题帮邹裕容老师解决一些实际问题。

【教材原题呈现】（人教版九年级上册P25，综合运用第8题）如图，利用一面墙（墙的长度不限），用20m长的篱笆，怎样围成一个面积为32m2的矩形花圃区？ （数据有变）

【数学建模】解：如图，设AB=xm则CD=xm，BC=AD=（20-2x）m，

依题可列：x（20-2x）=32

解得：x2-10x+16=0，（x-2）（x-8）=0，x1=2，x2=8

当x=2时，BC=20-2x=20-2╳2=16m

当x=8时，BC=20-2x=20-2╳8=4m

答：垂直墙的长度为2米，平行墙的长度为16米或垂直墙的长度为8米，平行墙的长度为4米时可以围成一个面积为32m2的矩形花圃区。

【说  明】此类题，学生在设未知数的表达上比较模糊，常见错误直接设长为xm，这样不方便表达，因为长与宽是一个相对的概念，所以建模时把实际问题转化为几何图形、数学符号化的表达。

【问题1】此时有同学说太小了，能不能围成一个面积为54 m2的矩形花圃区呢？

【解  答】解：如图，设AB=xm则CD=xm，BC=AD=（20-2x）m，依题可列：

x（20-2x）=54

解得： x2-10x+27=0  ∵△=102-4╳1╳27=100-108<0  ∴此方程無实数根

答：不能围成一个面积为54的矩形m2的矩形花圃区.

【问题2】此时又有同学提出建议，没有门，进出不方便，如果建一个宽1m的门，怎样设计才能围成一个面积为32m2的矩形花圃区呢？

【解  答】解：如图，设AB=xm则CD=xm，BC=AD=（20+1-2x）m，依题可列：

x（20+1-2x）=32

解得： 2x2-21x+32=0  ∵△=212-4╳2╳32=441-256=185

∴x=  ∴x1=8.56   ∴x2=1.85

当x=8.56时，BC=21-2x=21-2╳8.56=3.88m

当x=1.85时，BC=21-2x=21-2╳1.85=17.3m

答：垂直墙的长度为8.56米，平行墙的长度为3.88米或垂直墙的长度为1.85米，平行墙的长度为17.3米时可以围成一个面积为32m2的矩形花圃区.

【问题3】此时有同学说这样会不会围的面积太小了，没有尽量使用20米的篱笆，如果场地够用，建一个宽1m的门，最大可以围成多大面积的矩形花圃区呢？

【解  答】解：如图，设AB=xm则CD=xm，BC=AD=（20+1-2x）m，依题可列：

S= x（20+1-2x）= -2x2+21x

令S=0时，x1=0，x2=，所以对称轴为x=

∴当x =时，S最大值=（21-2╳）=55.125 m2

∴当x =，BC=20+1-2x=

答：垂直墙的长度为米，平行墙的长度为米，最大可以围成多大面积为55.125 m2的矩形花圃区.

【问题4】同学们在讨论得差不多了，大家带好工具前往工地，准备施工，却发现，场地受限，围墙的长度最多只有10米可用，同学们感觉到之前计算讨论的结果被现实困住了，接下来同学们放下工具，重新考虑场地受限的条件。（补现场图片）

如图，利用一面墙（墙的长度不能超过10米），用20m长的篱笆，怎样围成一个面积为32m2的矩形花圃区？

【解  答】解：如图，设AB=xm则CD=xm，BC=AD=（20-2x）m，依题可列：

x（20-2x）=32

解得： x2-10x+16=0，（x-2）（x-8）=0，x1=2，x2=8

当x=2时，BC=20-2x=20-2╳2=16m>10m，不符合题意，舍去

当x=8时，BC=20-2x=20-2╳8=4m

答：垂直墙的长度为8米，平行墙的长度为4米时可以围成一个面积为32m2的矩形花圃区.

【问题5】如图，利用一面墙（墙的长度不能超过10米），用20m长的篱笆，如果场地够用，建一个宽1m的门，最大可以围成多大面积的矩形花圃区呢？

【解  答】解：如图，设AB=xm则CD=xm，BC=AD=（20+1-2x）m，依题可列：

S= x（20+1-2x）= -2x2+21x=-2（x-）2+

∵x>0， 20+1-2x≤10  ∴x≥5.5

∴当x=5.5时，S最大值=5.5（21-2╳5.5）=55 m2

此时当x=5.5时，BC=21-2x=21-2╳5.5=10m

答：垂直墙的长度为5.5米，平行墙的长度为10米，最大可以围成多大面积为55 m2的矩形花圃区.

【动手实践】在同学们经过集体讨论，验证的基础上，得出实践的操作方式，做到材料尽用，适用性面积最大化，垂直墙的长度为5.5米，平行墙的长度为10米制作矩形花圃区，同学们分小组合作作，一部分同学建花圃，一部分同学开始松土、除草等劳动工序。

活动反思       整个活动中，学生以小组合作的形式进行项目式问题递进的的探索与研究，同学们从实际生活的便利性、适用性、合理性等方面进行考虑。再根据一元二次方程的应用，构建具体的可操作数学模型，进行科学有效的论证，再到实践中的具体问题进行问题的拓展，得到合理的解决问题的方法。后续将利用信息技术的融合，把活动制作成视频，利用视频进行现场的勘探，把数学服务实际生活的劳动场面制作成视频，作为一份宝贵的的资源供其它同学参考学习，增加学生的研究兴趣，同时也能增加数学学科的育人功能。

【案例點评】

这节数学课的设计体现了高品质课堂----高尚、本真、灵动、丰厚的基本要素，又符合我校“劳动教育”的生命课堂，从课堂走向课外，再从课外实践走向课堂，再由课堂服务课外生活。

1.项目式背景，问题驱动

本节数学课利用生物实验需要的花卉培植入手去，设计矩形花圃为背景，项目式的构建数学问题，由解决问题的层层深入，思考的逐步完善，而面对的生活中的实际数学问题，使得数学问题有血有肉，有感情。并在数学教育中渗透劳动教育思想，让学生体会数学源自生活，服务于生活，为我们的更好的品质生活去服务。

2.数学思想方法运用得当

学生经历了情境问题的依托，经历了从课堂到课外，再从课外到课堂，再从课堂到课外的探究过程。通过探究，学生对一元二次方程构建数学模型有了充分的认识，并会利用单元整体的数学思想对数学知识问题进行串联学习，从而完成了从课程评价到课程目标，课程过程实施的逆向思维过程，让过程更好的为评价服务。在教材处理上，既尊重了教材，又开发了教材。特别是学生根据自己的想法，给问题设定了一定的限定条件，从而很好的解决数学问题。

3.教学设计独具匠心

本教学设计知识体系清晰，设计思路新颖。从背景导入，问题逐步升级，层层递进，步步深入。特别是学生问题由一元二次方程的应用问题转化为二次函数最值问题的过渡，为学生深层次的掌握二次函数的最值问题探讨做了很好切入，这种打破常规的教学思路，让人耳目一新。

4.学生的数学思维品质得到了很大的提升

教学是开放的，学生学习是自主的、合作交流的。由项目式问题背景，问题驱动为导向，这样有利于培养学生的思维能力。学生展示也是多样性的，在展示过程中学生的思维在层层递进。学生经历上课堂的参与，从经历独立的冥思苦想到经历合作交流的激情碰撞，加深了对问题的理解，提升了分析问题与解决问题的能力。

3738500338207