立足概念教学，培养思维概括

徐瑞

数学概念是数学知识之本，解题之源，数学概念学习的成功与否直接影响数学思维以及创新能力的发展.但由于课时紧张、考试压力等种种原因，有些教师在实际概念教学中还是以教师讲解为主，留给学生探索、交流概念形成的时间很少.这种忽视概念形成过程的教学，违背了学生的认知发展规律，学生仅机械识记，导致停留在概念的表面.由于没有深层次的理解概念，学生概念学习不久后便会出现概念混淆、遗忘的现象，不能灵活应用概念解决问题，不利于学生能力的发展.基于此，笔者在反思性研究的基础上，以浙教版教材八年级上册“2.6逆命题和逆定理”为例，对概念学习的设计做了一些探究和尝试，印证“学生先行，交流呈现，教师断后”的教学设计，现阐述如下，以期抛砖引玉.

一、教学设计

1、情境创设，激活思维

环节1：阅读幻灯片内容，独立思考完成

预设问题1：幻灯片上 “绿水青山就是金山银山”这句话，用第一章学过的数学名词来表示，它应该叫什么？

预设问题2：： 观察下列4个句子，依序回答句后三个小问题：

①对顶角相等. ②作一个角等于已知角.③两个无理数的和仍是无理数.④线段垂直平分线上的点到线段两端的距离相等.

（1）下列句子哪些是命题？

（2）若是命题，请判断真假.

（3）若是真命题，请写成“如果…那么…”的形式，并说出命题的条件和结论.

教师活动：顺势给出关于命题的思维导图幻灯片。

设计意图：设计问题，引领复习，既体现学科育人理念，又自然引出命题的概念复习旧知，为课题学习做好铺垫。学生通过对该环节的问题思考、解答、交流，并借助思维导图，经历了与本节课逆命题和逆定理有关的各种因素的再认识过程，触及到了本节课的概念雏形。

2、活动引领，形成概念

环节1：小组交流讨论完成表格.要求组内每位成员先阐述自己的见解，然后交流达成共识，并做好展示交流准备.

预设问题1：观察下面命题的条件和结论，你发现了什么？

①如果a=b，那么a2=b2. ②两内角相等的三角形是等腰三角形.

③同位角相等，两直线平行.④如果a2=b2，那么a=b.

⑤等腰三角形两个底角相等.⑥两直线平行，同位角相等.

环节2：师生共同参与发现可以通过交换命题的条件和结论的方法来构造新命题，并形成逆命题的概念.而这节课的研究对象就是由此产生的新命题（揭示课题），

预设问题2：你能写出“绿水青山就是金山银山”的逆命题吗？

预设问题3：以上命题哪几个是定理 ，它们之间有什么关系？

环节3：师生一起归纳互逆定理的定义：如果一个定理的逆命题能被证明是真命题，那么就叫它是原定理的逆定理，这两个定理叫互逆定理.

设计意图：学生通过自己操作，在打乱的3对命题中找到条件结论互换的特征，充分激发学生学习兴趣，经历了原命题与逆命题是条件、结论互换的过程，进而得出互逆命题的定义.并乘热打铁，以典型、丰富的实例为载体，通过小组讨论的方式，展开观察、分析属性，抽象概括出共同本质特征，自然地引出互逆定理的概念.也体现了“以学为中心”的课改理念.

3、问题驱动，探究本质

预设问题1：写出下列各题的逆命题？并判断原命题和逆命题的真假

（1）如果|a|=|b|，那么a=b.

（2）等边三角形的三个角都是60°

（3）兩个全等三角形的面积相等

（让学生自己动手操作，画出两个面积相等的三角形但不全等，并让学生上台展示，如有不同情况的，还可上来补充，教师则利用几何画板动态演示面积相等的两个三角形不全等.）

预设问题2：下列定理中，哪些有逆定理？如果有逆定理，请说出逆定理：

（1）内错角相等，两直线平行.

（2）对顶角相等.

（3）三边对应相等的两个三角形全等

预设问题3：归纳反思

（1）每个命题都有逆命题吗？（2）真命题的逆命题一定是真命题吗？

（3）每个定理都有逆命题吗？（4）每个定理的逆命题都有真命题吗？

设计意图：概念得出后，学生只是建立了一个抽象、概括的语句框架，只有通过解题，学生才能更完整、更深刻地理解和掌握概念的内涵和外延.本环节设置了3个题组，层层递进，让学生动手、大胆猜想充分激发学生学习的兴趣，全方位调动学生学习的积极性.通过讨论思考，学生经历了定理与逆命题的关系，以及他们之间的真假性没有因果关系的过程，抓住本质.

4、概念应用，拓展提升

环节1：教师引导，学生参与，共同解决教材例1：说出线段垂直平分线的性质定理“线段垂直平分线上的点到这条线段两个端点的距离相等”的逆命题，并证明这个逆命题是真命题.

预设问题1：定理中的条件和结论分别是什么？能不能只是把原命题的条件和结论交换位置呢？（可以提示学生注意组织适当的语句叙述出逆命题.）

预设问题2：（1）过P作PC⊥AB，交于点O.要证明PC平分AB（即OA=OC）只要证明什么？怎么证明？（2）这条直线上有一点没法采用这种方法去证明，是哪一点？这一点怎么证明？

环节2：给出学法指导提示：① 根据题意画出图形. ② 在图形上标注已知条件.③ 写出已知与求证. ④ 分析要证的点P 在线段AB 的垂直平分线上，需要做什么. ⑤ 根据分析结果进行推理证明.教师在学生独立完成任务的基础上，组织学生相互反馈，同时示范证明的过程

环节3：拓展提高，提升自我.

预设问题3：写出定理“等腰三角形底边上的高与中线重合”的逆命题，并证明这个逆命题是真命题

设计意图：例1要直接证明点P在线段AB的垂直平分线上是不常见的，我们可以转化为证明AB的垂线PC平分线段AB.当一种证明过程不能代表全部情况时，需分别讨论，分别叙述.（通过几何画板演示，P点在线段AB上时情况）几何语言：∵PA=PB，∴点P在AB的垂直平分线上（或过点P作AB的垂线平分AB，或过点P和AB的中点的直线垂直AB）.这里需要注意两点：①注意组织适当的语句叙述出逆命题，不能只是把原命题的条件和结论交换位置.②引导学生运用转化思想转化等价命题和分类讨论等数学思想的必要性.

5、回顾反思，小结收获

预设问题1：本节课研究了哪些内容？

借助具体问题的解答过程，通过师生交流梳理出如下图所示的思维导图：

设计意图：用思维导图的形式对概念的学习过程进行回顾与梳理，既让学生明确概念从哪里来，到哪里去，又方便学生从整体上掌握概念，使得学生的认知结构化、系统化.

二、教学立意

在这堂课的教学设计中，笔者紧紧围绕 “立足概念教学，培养思维概括 ”这一主题，在领会教材内涵的基础上，开拓创新，通过让学生动手、大胆猜想、观看多媒体、几何画板演示等，充分激发学生学习的兴趣，全方位调动学生学习的积极性，使学生在整个课堂学习过程中，既动手又动脑，既参与小组讨论又锻炼自己独立的几何言语表达，既提高解决几何问题的能力又培养规范的几何证明书写习惯.

1、突出表現“以本为本”和“以学定教”

在整个教学设计过程中严格按照教材的设计思路，但又不囿于教材，实现了教教材和用教材教的转变.通过整个教学设计可以看出，第一部分的问题1中表格与教材相比多了一对命题，而且在打乱的三对命题中让学生找到条件结论互换的特征.另外所有的题目都来自于教材，但又进行了一定的整合，通过题目为本串起了一条“暗线”------三对互逆命题中有两对原命题和逆命题都是真命题，通过小组讨论的方式，体验互逆定理的定义产生过程.

2、重点落实“学科育人”和“核心素养”

在整个设计环节中对“学科育人”做了初步尝试，具体体现在用“绿水青山就是金山银山”引出命题的概念，渗透了节约资源、保护环境的德育理念.学会学习是中国学生发展的六大核心素养之一，其基本要点就是勤于反思，在整个设计过程中的4个反思性小问题及最后的反思总结把学生对相关知识的理解引入深处，为学生的自主反思作出了一定的努力.

3、精心设计“思维导图”和“过程教育”

在整个设计环节中，一前一后都精心设置了思维导图，首尾呼应以帮助学生梳理知识，使学生认知结构化、系统化.而且该设计还包括概念的形成过程和蕴含的数学活动经验，认知过程既包括在构造具体命题的逆命题基础上的定义，以获得逆命题和逆定理的概念，也包括获得概念之后的反思.这种设计不但能使学生获得逆命题和逆定理的概念，也能使学生积累构造逆命题的经验，做到了“思维”与“导图”齐飞，“过程”与“方法”交融.

参考文献：

[1]王媛媛. 基于“四基”的初中数学概念教学设计研究[D]. 重庆师范大学，2013.

[2]邵光华，章建跃. 数学概念的分类、特征及其教学探讨[J]. 课程.教材.教法，2009（7）：47-51.

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