中学数学三角形全等和相似问题探究

王正坤

摘要：初中数学三角形全等和相似问题的研究是整个初中几何问题的基础，然而近几年来学生对于三角形全等和相似掌握程度却每况愈下。那么在三角形的全等和相似问题的数学中，教师们应当要注重总结相应的方法以及解体的技巧，从而帮助学生形成完善的数学思维，提高学生的学习效率以及解题能力。引导学生在学习三角形时紧抓几个重点关键词，再逐步细化对应的内容，让学生更加清晰地了解三角形之中边、角的对应关系，通过及时练习达到掌握问题解法的目的。

1 了解三角形全等的表示方法及解题思路

三角形全等的表示方式为△ABC≌△DEF.與形容三角形ABC与三角形DEF全等是不一样的表达内容。全等符号的出现代表者三角形的A点对应另一个三角形的D点，以此类推边对边、角对角。而仅仅说明两个三角形全等只表示两个三角形全等，边角情况无法对应。教师在讲解三角形全等的时候，一定要强调符号的作用，以便学生能够准确找到对用的边和角令解题过程更加清晰明了。

如何判定两个三角形全等。

当已知有两组对角相等，我们可以通过寻找一边相等从而证明两个三角形全等。如果已知有两组对边相等，我们可以寻找两边的夹角来判断两个三角形全等。如果已知一边一角相等，那么我们需要任意一个角相等去证明两个三角形全等。而用数学符号表示分别是“A、S、A”“S、A、S”以及“A、A、S”。

例如：

如图所示，A、C在BD的同一侧，A D、BC相交于E点，且∠ADB=∠CDB，∠ABD=∠CBD。判断 △ABC与△DCB 是否全等。

由题意可知∠ADB=∠ADB=∠CDB，∠ABD=∠CBD。所以，根据“A、S、A”“A、A、S”判定可知，已知两个角相同，只要再有一条边相等就可以判定这两个三角形全等。

解：由题意可知∠ADB=∠ADB=∠CDB，∠ABD=∠CBD，又因BD=BD， ∴ △ABC≌△DCB

例2：

例如：如图所示，AE=DF，∠A=∠D，AB=CD，判断BF和EC的大小关系，并证明。

由题意可知，BF、EC在△AEC和△BDF中，想要判断他俩的关系，可以先判断两个三角形△AEC和△BDF是否全等，由此来判定BF、EC的关系。

解：已知AE=DF，，∠A=∠D，AB=CD，∴ AB+BC=BD+BC，即AC=BD，由“S、A、S”定理可得△AEC≌△BDF，又因，BF、EC在△AEC和△BDF中，∴ BF=EC。

2 了解三角形相似的表示方法及解题思路

2.1 三角形相似的表达方式为△ABC∽△DEF，证明三角形相似的条件与证明三角形全等的条件是相似的。而形容三角形ABC相似于三角形DEF与通过数学公式表达的相似是不一样的。相似三角形的证明可以用平行线的性质方法去做，也可以使用三角形旋转的方法解答相似三角形的问题。相似三角形是全等三角形的推广，学生在做相似三角形的题型时需要以全等三角形的相关定理为基础去解答，

2.2 如何判断两个三角形的相似

两角分别对应相等的两个三角形相似。两边成比例且夹角相等的两个三角形相似。三边成比例的两个三角形相似。一条直角边与斜边成比例的两个直角三角形相似。三边对应平行的两个三角形相似。通过这些基本定义能够求得三角形相似问题的答案。

例如：

问题：如图所示，在∆ABC与∆A¹B¹C¹中，若∠A=∠A¹，∠B=∠B¹，试猜想：∆ABC与∆A¹B¹C¹是否相似？并证明你猜的结论

可以让学生从图形的外观上来讨论思考，根据外观来看，大多学生都会想到这两个三角形应该是相似的。但怎么去证明这一猜想，需要老师去给同学们讲解结论的证明。由题意可知，想要用定义去证明的话，题中给的条件不太充足，因此，教师可以引导学生用定理去证明：

构造出定理证明所需要的图形：在∆ABC中，作BC的平行线，并在∆ABC中截得的三角形与∆A¹B¹C¹全等，教师与学生一同讨论，解题。

证明：在∆ABC的边AB上截取AD= A¹B¹，过点D作DE∥BC，交AC于点E，则有∆ADE∽∆ABC.∵∠ADE=∠B，∠B=∠B¹，∴∠ADE=∠B¹.又∠A=∠A¹，AD=A¹B¹，∴∆ADE≌ ∆A¹B¹C¹.∴∆ABC∽∆A¹B¹C¹.

例2：

如图，要测量一条马路的宽度，可在路的两边找到相对应的两个点A、B，先从B出发与AB成90°方向向前走50米，到C点立一标杆，不改变方向向前走10米到E点，在E点转90°，沿 ED方向走到D点，若A、C、D三点在同一直线上，DE=17米，根据题目所示求出路宽。

解：由题意可知，从B点向同AB成90°角方向出发，

∴ ABC=90°∵BC=50m，CE=10m，DEC=90°

∴△ABC～△DEC， AB=5DE，沿ED方向再走17米，到达D处，即 DE=17，∴ AB=5x17=85.所以路宽为85米。

结语：

三角形相似与全等的问题没有特定的方法，学生在解答相关问题所使用的方法是需要灵活的思考并且通过长时间的积累才能从多层次思考解答，三角形的全等与相似可以说是中学学习数学的一个重点、难点。三角形的全等以及相似的证明需要多加练习并且多看图形养成思路、学会画出辅助线等。解题过程需要语言准确，格式标准。这样才能养成良好的解题习惯，三角形想要提高解题正确率需要多做题总结规律找到解题方法，为学习中学数学其它类型打下基础。

参考文献：

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