试论数学运算的水平与教学

沈良

摘  要：以平面向量数量积为研究载体，探讨了数学运算的四个水平——理解、运用、综合、创新. 这些运算水平可以从运算的种类、情境和方法三个方面分析特征. 运算水平的提升，主要受结构的复杂性、情境的动态性、表征的抽象性、元素的多样性等因素影响. 教学中，要“根据不同要求，开展不同水平教学;落实算理教学，提升运算设计能力;加强推理培养，提升运算求解能力”，从而有效提升学生的数学运算素养.

关键词：数学运算;理解;运用;综合;创新;平面向量

根据《普通高中数学课程标准（2017年版）》（以下简称《标准》），将数学运算素养划分为三个水平，分别从情境与问题、知识与技能、思维与表达、交流与反思四个方面阐述了不同水平的考查要求. 例如，从情境与问题来看，水平一要求能够在熟悉的数学情境中了解运算对象，提出运算问题;水平二要求能够在关联的情境中确定运算对象，提出运算问题;水平三要求在综合的情境中，能够把问题转化为运算问题，确定运算对象和运算法则，明确运算方向. 国内一些学者和教师也对数学运算水平进行了研究，如有学者根据喻平教授从知识的角度切入，参照布鲁姆的学习目标分类、PISA模型和SOLO模型等对数学运算能力在三级水平上的具体表现给出操作性定义：水平一，知识理解;水平二，知识迁移;水平三，知识创新. 有学者根据对特定数学运算的理解与运用情况，将学生在特定数学运算方面的水平分为五级：潜在概念水平，数学概念水平，简单运算水平，运用算理水平，综合运算水平. 也有学者用布鲁姆教育目标分类学指导数学运算素养，从知识维度和认知过程维度研究数学运算素养. 这些研究对于一线教师开展数学运算素养教学都有良好的启发.

如何结合一个具体的运算研究数学运算素养的水平，这是笔者思考的问题. 若从“构建、选择、设计、推进和优化”等全过程考虑数学运算，会涉及整个解题系统，这样就不利于具体数学运算水平的研究. 因此，笔者尝试选择平面向量数量积运算开展数学运算水平的探究，从一个相对封闭的环境开始研究，且不涉及数量积运算在实际问题中的运用，因为这又会关系到数学建模素养.

选择平面向量数量积作为研究对象有下述理由：（1）数量积运算内涵丰富，既包含代数属性，又蕴含几何意义，可以用定义、坐标、几何等形式计算求值;（2）数量积与向量线性运算等构成混合运算，有一些良好的运算律;（3）平面向量是高中学生学习的一个新对象，它的运算相对独立，便于考查研究;（4）平面向量数量积运算的发展十分丰富，既可以类比到空间向量数量积的学习，也可以类比到向量外积的学习.

一、数学运算的水平划分

选定研究对象之后，需要思考如何进一步划分数学运算水平. 综合《标准》和学者专家的观点，笔者将数学运算水平划分为四个层次：理解，运用，综合，创新.

其一，布鲁姆教育目标分类学中的第一层次是记忆，由此笔者以为数学运算是一种推理活动，只有理解之后才能推进，只有理解数学概念、掌握运算法则后，才能展开数学运算. 数学运算的起步水平就是理解. 理解水平上的数学运算种类比较单一，或是简单的混合运算.

其二，运用是指对运算概念和运算法则比较灵活的运用. 它往往涉及多种运算，需要借助转化、数形结合等思想方法进行. 这里需要说明的是，为何选择“运用”这个词而不选择“迁移”这个词，笔者认为，数学问题的解决、数学运算的进行都是迁移，只是有“近迁移”“远迁移”“横向迁移”“纵向迁移”的区别，所以要选择一个介于“理解”和“综合”水平之间的词，“运用”更恰当.

其三，综合是指在相对复杂的情境中找到运算解决的路径，它不仅涉及多种运算，而且运算的方向也不是那么明朗，需要分析条件中的各个要素，以数学思想为指导，找到条件与运算结果之间的联系，实现问题的解决.

其四，运算的创新指向什么？运算的学习是可以类比的. 例如，可以从指数运算类比到对数运算，可以从数的加法类比到向量的加法，等等. 创新在数学运算中体现的是通过运算的学习、经验的积累，引导学生用编程的视角自己创造新的运算，并在一套体系中实现运算建构. 这有助于激发学生的创造力，使学生的学习成为一种创造学习，教师要创设这样的机会让学生实现这种创造.

二、数学运算各水平的特征

实践中，可以从运算种类、运算情境和运算方法三个维度刻画每个水平的具体特征，如下表所示. 理解水平中，运算种类相对单一，运算规则比较清晰，静态问题居多，直接运算求值，它是运算概念与运算规则的直接应用;运用水平中，运算一般以混合形式出现，研究问题动静结合，但以单变量为主，一般需要借助概念、定理、公式等进行转化，从而推进下一步计算;综合水平中，以混合运算为主，问题情境综合程度较高，动态居多，渗透多变量，要求学生能够灵活运用知识和方法设计运算路徑，实现运算的探究求值;创新水平中，教师引导学生创造运算，类比学习，这是一种高级数学思维活动，对学生的要求极高.

三、数学运算水平的问题设计

根据研究需要，笔者以“平面向量数量积”为素材设计了四个水平的试题，提供给高一、高三学生进行抽样测试，并对测试结果进行分析.

1. 理解水平的设计

问题1：已知平面向量[a，b]满足[a=1， b=2]，且[a，b]夹角为[60°]，试计算下列各值.

（1）[a · b];

（2）[a+b · ∙a-b];

（3）[2a+3b · 4a-5b].

问题2：已知平面向量[a，b]满足[a=1，1]，[b=][2，3]，试计算下列各值.

（1）[a · b];

（2）[a+b · a-b];

（3）[a+3b · 2a-7b].

2. 运用水平的设计

问题3：已知[△ABC]中，[AB=4，AC=3]，[∠BAC=][60°]，[BD=13BC]，則[AB · AC]的值为      .

问题4：已知[△ABC]中，[AB=4，AC=2]，且点[O]为[△ABC]外接圆的圆心，则[AO · AB]的值为       ，[AO · BC]的值为       .

问题5：在[▱ABCD]中，已知[AB=4，AD=3，∠BAD=][60°]，[P]为[▱ABCD]内一点（含边界），则[AP · AB]的最大值为      .

3. 综合水平的设计

问题6：已知平面向量[a，b]满足[a=1]，[b+a=][2b-a]，则[a · b]的最大值为      .

问题7：已知平面向量[a，b，c]满足[a=1]，[b=][3]，[a · b=0]，[c-a]与[c-b]的夹角为[π6]，则[c · b-a]的最大值为      .

问题8：在平面凸四边形[ABCD]中，[AB=2]，点[M，][N]分别是边[AD，BC]的中点，且[MN=32]，若[MN ·][AD-BC=32]，则[AB · CD]的值为      .

4. 创新水平的设计

问题9：平面向量数量积（内积）定义为[a · b=][abcosθ]（其中[θ]为[a]与[b]的夹角）. 类似地，我们也可以定义两个向量的叉乘（外积）[c=a×b]，且[a×b=][absinθ]（其中[θ]为[a]与[b]的夹角）. 结合图1可知，向量[a，b]的叉乘表示一个向量[c]，其方向垂直于[a]和[b]，指向符合右手规则，如图2所示. 且[c=absinθ].

根据上述材料，试回答下列问题.

（1）求值：[a×a]的值为      .

（2）求值：向量[a，b]满足[a=1， b=2]，且[a，b]的夹角为[60°]，则[a×b]的值为      .

（3）[a×b]的值为      .（填[b×a]或[-b×a].）

（4）若空间向量[a，b]的坐标分别为[a=1，0，0]，[b=0，1，0]，则向量[a×b]的值为      .

四、数学运算结果的测评分析

从检测数据总体来看，学生在解答不同水平试题的过程中具有不同表现. 例如，学生解答问题1、问题2的正确率显然高于问题8和问题9，即运算水平要求低则正确率高，运算水平要求高则正确率低. 将复杂运算和简单运算对照，可以发现所谓运算复杂性至少包含这些因素：结构的复杂性，情境的动态性，表征的抽象性，元素的多样性，等等.

1. 结构越复杂混合运算越多

运算通常由一些代数式经过相应的程序操作得到结果，而代数式的简洁与复杂程度会影响学生的运算. 如上所述，面对[a+b · a-b]和[2a+3b · 4a-5b]时，学生计算[a+b · ∙a-b]的正确率会更高. 其原因是两个运算式相比，[a+b · a-b]的结构式更简洁，而简洁的本质是混合运算更少，或者说中间需要经历的化简过程更少. 事实上，[2a+3b · 4a-5b]比[a+b · a-b]多了些系数，本质上便是多了数乘运算的过程. 又如，同样计算加法[17+96]和[17+12]，显然[17+96]的错误率会更高，其原因就是[17+96]涉及进位问题，学生更容易出错. 因此，结构式的复杂性是混合运算多样性的反映.

2. 情境的动态性关联变量研究

数学问题情境一般可以分为静态与动态. 静态问题学生更容易把握，而动态问题往往需要引进变量去刻画，这就给问题研究带来了困难. 例如，运用水平中问题5与问题3的差异，就是情境的动态性. 问题5中学生若能发现[AP · ABmax=AC · AB]，运算反而更加简单，但问题5的难点恰好在于动态之中如何借助数量积的几何意义等方法找到点[P]位于点[C]处时[AP · AB]最大，这就涉及运算转化等问题. 从这个角度来看，从一个相对封闭的研究起点开始可以发现，影响运算的不仅仅是运算本身. 如果问题5改为直接计算[AC · AB]的值，正确率势必会比问题3高很多. 因此，运算的困难正是源于它贯穿数学问题解决的始终.

3. 抽象程度越高模型越难建构

对于综合水平中的问题6，有些学生也显得束手无策，主要是不知道如何转化条件[b+a=2b-a]，这就涉及问题的抽象性. 事实上，对[b+a=2b-a]的处理，一种是转化为点与点之间的距离，可以表征为阿波罗尼斯圆. 设[OA=a]，[OB=b]，作图得[BA=2BA]. 根据阿波罗尼斯圆的定义，可知点[B]的轨迹为以[A1A2]（[A1，A2]分别为内分点和外分点）为直径的圆，如图3所示. 故[a · bmax=3].

当然，也可以将[b+a=2b-a]两边平方，得[3b2-][10b · a+3a2=0]. 有[b-3a · b-a3=0]，故[b]的终点是以[A1A2]为直径的圆，如图4所示. 故[a · bmax=3].

4. 研究对象越多综合程度越高

情境复杂性的一个重要表现就是元素的多样性，从运算角度来看，就是运算对象的多样性. 问题7和问题8，对学生而言比较畏惧，主要是因为都涉及三个以上向量，研究清楚这些向量的位置关系是首要的. 问题7中，由“[c-a]与[c-b]的夹角为[π6]”知[c]的终点[C]在弦[AB]所对的圆上，[∠ACB=π6，AB=2]，根据正弦定理，得[△ACB]外接圆半径为2，故终点[C]落在以[E2， 3]或[F-1，0]为圆心、半径为2的圆上，如图5所示.

由此得圆的方程为[x-22+y-32=4]或[x+12+][y2=4]. 利用投影的幾何意义、三角代换或设直线联立方程等方法，求得[c · b-a]的最大值为5. 同样，问题8主要是基于基底思想，将条件中的向量转化为[AB]和[CD]，从而解决问题. 由问题7和问题8可以看到，当有多个运算对象时，总是需要固定一些运算对象，即视作常量，再用动态视角研究其他对象.

五、数学运算水平的教学启示

1. 根据不同要求，开展不同教学

将数学运算素养落实到教学中，不同的发展水平应有不同的教学要求. 具体要把握好以下两个方面.

一是根据学生的能力把握教学要求. 学生的数学能力存在差异，考核的要求与目标也有所不同. 教学中，教师要根据学生的实际，从学生思维的最近发展区设计问题，有针对性地将“理解、运用、综合、创新”四个层次融入教学，提升学生的数学运算素养和数学运算思维.

二是根据学生的发展时期把握教学要求. 事物都是在发展的，随着学习的深入，学生也在发展变化. 例如，同样是向量数量积教学，放在高三年级与高一年级具有较大的差异，高一年级更多关注理解水平和运用水平，而高三年级则需要兼顾综合水平和创新水平. 特别是当我们在寻求学生创新能力的培养时，就需要在夯实学生基础的同时，开放学生思维，创新问题设置方式，夯实学生创新能力培养的土壤.

2. 落实算理教学，提升运算设计能力

不管开展哪个水平的运算教学，都离不开落实算理教学. 算理即运算的道理，它是指导学生设计运算方法和运算程序的一种观念. 学习中经常会遇到一些学生对某些运算问题“不开窍”，总是想不到怎么算. 这个问题的本质就是学生对算理的理解不够深刻. 如上，学生在计算问题4中的[AO · AB]时，就不知道如何结合外接圆圆心的特征有效寻找数量积[AO · AB]的几何意义. 在这个问题中，学生对算理的理解不深刻即表现为对数量积几何意义的理解不深刻. 因此，在数学运算教学过程中，很多时候教师需要点通那个“理”，从而使学生的运算有明确指向，再结合具体运算方法，使数学运算素养的培养成为现实. 因此，平面向量数量积的教学，就是要构建好概念内涵、几何意义和坐标形式的联系，沟通好数量积运算与线性运算的联系，理解数量积的应用等，从而使学生在具体运算中能依据算理、设计算法、执行运算等.

3. 加强推理培养，提升运算求解能力

运算的本质为推理，即根据运算的定义，由一个量或几个量得到其他量，这个定义就是一个设计的程序. 如上，向量[a]和[b]的数量积即为[a]，[b]和其夹角的余弦值三者的乘积，得到一个具体的值. 根据定义，结合条件，运用推理，实现求值. 例如，在上述问题8中，如图6，因为目标指向为[AB · CD]，故可以尝试将条件中的向量转化为[AB]和[CD]的形式. 由[MN=MA+][AB+BN]，[MN=MD+DC+CN]，两式相加，得[2MN=][AB+DC]，且[AD-BC=AB+BD-BD+DC=AB-DC].所以[MN · AD-BC=12AB+DC · AB-DC=32]. 得到[AB2-DC2=3]. 故[DC2=1]. 再由[MN=32]，将[2MN=][AB+DC]两边平方，通过计算可以得到[AB · DC=2]，故[AB · CD=-2].

[N][M][D][C][B][A][图6]

问题8中，通过线性运算实现向量转化，通过平方运算将长度转化为数量积运算，逻辑推理是手段，概念、定理、公式等是基础，而运算是工具和目标，最终实现问题解决. 教学中，需要将运算和推理紧密结合起来，运用推理的眼光看运算，通过运算建立已知量与未知量的联系.

数学运算具有不同水平，这个水平一定程度上体现了学生的解题水平，因为数学解题的核心是推理运算，故运算贯穿于解题的始终. 本文以平面向量数量积这个相对封闭的运算系统为研究载体，探讨了运算的四个水平和特征，但运算的落脚点并不局限于此. 在实际教学中，还要考虑运算的整体，即从运算的构建、选择、设计、推进和优化等全过程进行考虑.

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