高考试题中的应用性研究

周先华 李峤

摘  要：《中国高考评价体系》中的“四翼”，即基础性、综合性、应用性、创新性. 应用性试题的情境具有真实性的特点，它包括跨学科情境、生产实际情境、现实生活情境三类. 应用性试题的考查内容在价值引领方面，突出健康情感，注重劳动精神;在素养培育方面，突出数学运算，强化数学模型;在关键能力提升方面，突出阅读理解，深化信息处理;在必备知识方面，突出概率统计，注重函数板块的应用.

关键词：四翼;应用性;高考数学;情境

《中国高考评价体系》（以下简称《体系》）中构建了“一核”“四层”“四翼”的用于指导高考改革与高考命题工作的测评体系. 其中，“四翼”是素质教育的评价维度在高考中的体现，是高考考查的要求，是回答“怎么考”的问题. 它包括四个方面，即基础性、综合性、应用性、创新性.

学以致用是素质教育的根本目的. 因为素质教育就是要培育德智体美劳全面发展的社会主义建设者和接班人. 在高中数学知识、能力与素养的培育过程中，要关注与社会发展、科技进步、生活实际相关联的内容. 而高考数学在命题时，就会选取贴近时代、社会和生活的情境，针对生产生活、国家发展及社会进步中的实际问题来考查学生运用知识与素养解决实际问题的能力.

从近几年的高考数学全国卷来看，应用性试题所占分值基本上维持在20%左右. 以2020年高考数学全国卷理科为例，全国Ⅰ卷中，第3题、第5题和第19题为应用性试题，共22分，占总分值的14.7%;全国Ⅱ卷中，第3题、第4题、第14题和第18题为应用性试题，共27分，占总分值的18%;全国Ⅲ卷中，第4题和第18题为应用性试题，共17分，占总分值的11.3%. 而不分文、理科的全国新高考Ⅰ卷和Ⅱ卷（分别供山东、海南使用）中，均有4道选择题和1道解答题为应用性试题，共计32分，占总分值的21.33%.

下面以2020年高考数学全国卷为例，对应用性试题的特点、情境及考查内容进行详细分析，以期对高中数学教学所有启示.

一、应用性试题的特点

应用性试题最主要的特点就是活动情境的真实性，即试题的问题情境与学生的实际生活密切相关，是来源于生活的真实问题，以此考查学生把课堂中所学的知识同生活实际问题相联系的能力，即理论联系实际的水平. 在解决贴近生产生活实际的问题中，学生能体会到课内所学数学知识、数学思想与方法中所蕴含的应用价值.

例1 （全国新高考Ⅰ / Ⅱ卷·6）基本再生数[R0]与世代间隔[T]是新冠肺炎的流行病学基本参数. 基本再生数指一个感染者传染的平均人数，世代间隔指相邻两代间传染所需的平均时间. 在新冠肺炎疫情初始阶段，可以用指数模型：[It=ert]描述累计感染病例数[It]随时间[t]（单位：天）的变化规律，指数增长率[r]与[R0]，[T]近似满足[R0=1+rT]. 有学者基于已有数据估计出[R0=3.28，T=6]. 据此，在新冠肺炎疫情初始阶段，累计感染病例数增加1倍需要的时间约为（    ）.（[ln2≈0.69.]）

（A）1.2天 （B）1.8天

（C）2.5天 （D）3.5天

在2020年高考數学试卷中，根据我国抗击新冠肺炎疫情的真实素材设计了大量问题情境. 例1用新冠肺炎疫情初始阶段的研究设计了问题情境，通过统计模型，描述在疫情初始阶段累计感染病例数与时间的关系. 考查对数式与指数式的关系，以及学生的信息搜索与整理能力、数学建模素养，体现应用性. 通过对例1的求解，学生了解了传染病的初期传播规律，并感受到了党和国家为新冠肺炎疫情防控所做出的努力. 这种贴近生活的应用性试题，让学生体会到了数学知识来源于生活且应用于生活.

《普通高中数学课程标准（2017年版）》（以下简称《标准》）倡导在高中数学教学中引导学生认识数学知识的本质. 而在对数学本质的认识中，很重要的一个方面就是对数学知识应用价值的认识. 它主要包括两个方面：一是引导学生认识数学知识在生活中的功能;二是感悟数学知识在历史发展过程中所蕴含的丰富的情感. 例如，德国数学家康托尔创立集合论、概率论在买彩票中的应用、北斗定位系统中应用勾股定理测量距离、回归方程的预测功能等，这些数学家的故事或者数学在现实与科学研究中的应用，都会指引学生自觉地走近数学，领悟数学并热爱数学. 数学是一类常青的知识，是一种科学的语言，是现实生活中的有力工具，是很多学科特别是自然科学学科学习的基础，是一门关键的技术和先进的文化.

例2 （全国Ⅰ卷·文 / 理3）埃及胡夫金字塔是古代世界建筑奇迹之一（如图1），它的形状可视为一个正四棱锥，以该四棱锥的高为边长的正方形面积等于该四棱锥一个侧面三角形的面积，则其侧面三角形底边上的高与底面正方形的边长的比值为（    ）.

（A）[5-14] （B）[5-12]

（C）[5+14] （D）[5+12]

例2以人造建筑的世界奇迹——胡夫金字塔为背景，考查正四棱锥的相关概念，以及直观想象素养. 我们知道，在修建金字塔的过程中，采用了大量的数学方法，更重要的是，胡夫金字塔作为人类古建筑的代表，体现了数学美. 学生能通过此题感受到黄金分割之美. 认识数学的美，也是认识数学价值的一种体现，是数学应用性的重要呈现方式.

二、应用性试题的情境

高考“四翼”考查要求的实现，通过情境和情境活动这两类载体. 任子朝先生根据数学学科的特点，把高考数学试题的情境，按照其出处和作用分为三类，即数学课程学习情境、数学探索创新情境和生活实践情境. 而其中的生活实践情境就出自生活中的实际问题，主要体现为对应用性层次的要求，考查学生运用所学数学知识解释生活中的现象、解决生产实践中的问题的能力. 为便于教学研究，我们把应用性试题的情境细分为跨学科情境、生产实际情境、现实生活情境三类.

1. 跨学科情境

跨学科情境是指来源于数学与其他学科的关联的情境. 例如，在一些学术科研问题中，常常通过大量实验或观测数据建立适当的数学模型，以达到对未来进行预测的目的. 在其问题解决过程中，数学往往作为一种基本的研究工具得以应用.

例3 （全国Ⅲ卷·文 / 理4）Logistic模型是常用数学模型之一，可应用于流行病学领域. 有学者根据公布数据建立了某地区新冠肺炎累计确诊病例数[It]（[t]的单位：天）的Logistic模型：[It=K1+e-0.23t-53]，其中[K]为最大确诊病例数. 当[It*=0.95K]时，标志着已初步遏制疫情，则[t*]约为（    ）.（[ln19≈3.]）

（A）60   （B）63   （C）66   （D）69

该题结合医学中的Logistic模型，让学生运用数学知识解释其意义，主要考查学生的数学阅读能力和数学运算素养，着重体现应用性，考查指数式、对数式运算和方程的思想，以及学生分析问题和解决问题的能力. 流行病学中的数学模型建立是一个非常严谨而漫长的过程，对流行病的防控起着重要的作用. 该题重点关注利用数学知识解释“初步遏制疫情”状态下的确诊病例数，即考查学生运用所学知识解释生活中的现象的能力，是比较简单的跨学科情境.

2. 生产实际情境

生产实际情境来源于国家经济社会发展、科学技术进步等生产实际的内容与问题.

例4 （全国Ⅱ卷·文4 / 理3）在新冠肺炎疫情防控期间，某超市开通网上销售业务，每天能完成1 200份订单的配货，由于订单量大幅增加，导致订单积压. 为解决困难，许多志愿者踊跃报名参加配货工作. 已知该超市某日积压500份订单未配货，预计第二天的新订单超过1 600份的概率为0.05，志愿者每人每天能完成50份订单的配货，为使第二天完成积压订单及当日订单的配货的概率不小于0.95，则至少需要志愿者（    ）.

（A）10名 （B）18名

（C）24名 （D）32名

同样是与新冠肺炎疫情防控相关的试题，与例3不一样的是，这道试题来源于生产实际. 根据新冠肺炎疫情防控期间的超市志愿者人数的计算设置问题，考查学生从真实的生产情境中提取重要信息的能力和数学推理能力、数学阅读理解能力，以及函数、方程与不等式思想，体现应用性层次的要求.

3. 现实生活情境

现实生活类情境取材于日常生活，让学生在对背景材料的组织过程中，感悟数学是现实生活问题的抽象，并在现实生活中大量运用. 在数学与现实生活的联系中，体会数学学习的意义.

例5 （全国Ⅲ卷·文 / 理18）某学生兴趣小组随机调查了某市100天中每天的空气质量等级和当天到某公园锻炼的人次，整理数据得到表1（单位：天）.

（1）分别估计该市一天的空气质量等级为1，2，3，4的概率;

（2）求一天中到该公园锻炼的平均人次的估计值（同一组中的数据用该组区间的中点值为代表）;

（3）若某天的空气质量等级为1或2，则称这天“空气质量好”;若某天的空气质量等级为3或4，则称这天“空气质量不好”. 根据所给数据，完成如表2所示的[2×2]列联表，并根据列联表，判断是否有95%的把握认为一天中到该公园锻炼的人次与该市当天的空气质量有关？

附：[K2=nad-bc2a+bc+da+cb+d].

该题属于现实生活情境，试题结合空气质量与到公园锻炼的人次关系设置数学问题情境，考查应用性. 针对现实生活中人们普遍关注的空气质量问题和锻炼问题，在试题中有数据、表格等数学信息，需要学生从试题的文字叙述中提取有用的信息，收集和整理数据，理解和处理数据，并获得和解释结论，考查学生的数学阅读能力，以及数据分析和数学运算等素养.

在高中数学教学中，教师要引导学生理论联系实际，密切关注日常生活、工业生产、国家发展和社会进步中的实际问题，并在实际问题的解决过程中，学习以数学抽象和直观想象的方式观察客观世界，以逻辑推理和数学运算的方式思考客观世界，以数学建模和数据处理的方式表达客观世界，从而真正实现全面提升数学学科核心素养的高中数学课程目标.

三、应用性试题的考查内容

《体系》中规定了核心价值、学科素养、关键能力、必备知识的“四层”的考查内容. 其中，必备知识关注的是基本的数学知识;关键能力强调观察、思考和解决数学问题所必备的能力;学科素养是关键能力和必备知识的融会贯通;核心价值起着价值引领的作用.

1. 价值引领层面：突出健康情感，注重劳动精神

与近几年的高考试题相比，2020年的高考数学试题在落实立德树人、倡导五育并举方面发挥了重要的引领作用. 其中，应用性试题的表现更为突出.

例6 （全国新高考Ⅰ / Ⅱ卷·15）某中学开展劳动实习，学生加工制作零件，零件的截面如图2所示. [O]为圆孔及轮廓圆弧[AB]所在圆的圆心，[A]是圆弧[AB]与直线[AG]的切点，[B]是圆弧[AB]与直线[BC]的切点，四边形[DEFG]为矩形，[BC⊥DG]，垂足为[C]，[tan∠ODC=35]，[BH∥DG]，[EF=12 cm]，[DE=2 cm]，[A]到直线[DE]和[EF]的距离均为[7 cm]，圆孔半径为[1 cm]，则图5中阴影部分的面积为        .

例6以劳动实习为情境，在考查三角函数的应用、扇形与三角形的面积等必备知识的同时，也对学生应用数学知识解决生活问题的能力进行了考查，以引導学生热爱劳动，达到劳动教育的目的.

高考要服务于德智体美劳全面培养的教育体系，特别是在教育部2020年7月印发的《大中小学劳动教育指导纲要（试行）》中明确指出，要对学生进行劳动教育，要弘扬勤俭、奋斗、创新和奉献的劳动精神. 应用性试题特别突出对健康情感和劳动精神的考查. 例如，全国Ⅱ卷文（理）科第18题以治理沙漠为素材，在考查学生数据处理能力的同时，让学生体会到了我国在环境治理方面取得的成就，体现了立德树人的教育导向;在全国Ⅰ卷理科第19题中，以羽毛球比赛为背景，在考查学生逻辑推理能力的过程中，体现了体育的教学功能;在上述例5中体现了美育的教育功能;等等. 这些试题，来源于真实的生产生活，展示了数学与生活的联系，在考查学生数学学科核心素养的过程中，体现了高考立德树人的价值导向.

2. 素养培育层面：突出数学运算，强化数学模型

（1）突出数学运算.

在数学学科核心素养的培育方面，应用性试题突出了对数学运算素养的考查. 数学运算是小学和初中数学学习的主要内容. 而在高中数学课程中，不仅要进一步提升数、式的运算能力，还要学习新的运算对象——向量与复数等. 数学运算是一种演绎推理，也是利用计算机解决一切问题的基础. 因此，数学运算是解决数学问题的基本手段，而通过数学运算来解决数学和其他学科的问题，也是数学解决问题的基本方法. 而应用性，就是要考查学以致用的能力. 因此，应用性试题在素养培育方面，突出了对数学运算素养的考查.

例7 （全国Ⅱ卷·理4）北京天坛的圜丘坛为古代祭天的场所（如图3），分上、中、下三层，上层中心有一块圆形石板（称为天心石），环绕天心石砌9块扇面形石板构成第一环，向外每环依次增加9块，下一层的第一环比上一层的最后一环多9块，向外每环依次也增加9块，已知每层环数相同，且下层比中层多729块，则三层共有扇面形石板（不含天心石）（    ）.

（A）3 699块 （B）3 474块

（C）3 402块 （D）3 339块

此题以计算北京天坛的圜丘坛所铺设的石板数为试题背景，展示了我国古代悠久而灿烂的文明成就，考查了学生分析问题的能力和数学文化素养. 解题的关键是利用等差数列的通项与求和公式进行计算，突出了对运算能力的考查.

（2）强化数学建模.

数学建模是指对现实生活中的问题进行抽象，运用数学方法，对其发展变化规律建构出一般模型的一种素养. 正是由于数学模型在数学和现实世界之间搭建起了一座联系的桥梁，所以数学模型是数学应用性的重要体现形式. 在考查应用性层面的试题中，以数学模型为素材的试题占有相当大的比例.

例8 （全国Ⅰ卷·理 / 文5）某校一个课外学习小组为研究某作物种子的发芽率y和温度x（单位：℃）的关系，在20个不同的温度条件下进行种子发芽实验，由实验数据[xi，yi i=1，2，…，20]得到如图4所示的散点图.

由此散点图，在10 ℃至40 ℃之间，下面四个回归方程类型中最适宜作为发芽率y和温度x的回归方程类型的是（    ）.

（A）[y=a+bx] （B）[y=a+bx2]

（C）[y=a+bex] （D）[y=a+blnx]

该题以种子的发芽率和温度之间的关系为背景，要求学生根据散点图的分布情况选择最恰当的函数模型，是典型的数学模型的应用. 而上述例7，是等差数列模型的应用;全国Ⅱ卷理科第14题考查排列组合问题中典型的“先选后排”模型的应用，而第18题考查相关系数的计算和对简单随机抽样模型的选择应用.

3. 能力提升：突出阅读理解，深化信息处理

与数学课程学习情境类试题相比，来源于生活实践的应用性试题，其材料文字和符号更多，数据更复杂，解决问题的先决条件是要通过阅读理解问题情境中的各种文本、符号和相关数据，并提取有效的信息进行处理. 因此，在对关键能力的考查中，应用性试题往往在阅读理解和信息处理能力方面的要求更为突出.

例9 （全国Ⅱ卷·文 / 理18）某沙漠地区经过治理，生态系统得到很大改善，野生动物数量有所增加. 为调查该地区某种野生动物的数量，将其分成面积相近的200个地块，从这些地块中用简单随机抽样的方法抽取20个作为样区，调查得到样本数据[xi，yi]

（[i=1，2，…，20]），其中[xi]和[yi]分别表示第[i]个样区的植物覆盖面积（单位：公顷）和这种野生动物的数量，并计算得[i=120xi=60]，[i=120yi=1 200]，[i=120xi-x2=80]，[i=120yi-y2=9 000]，[i=120xi-xyi-y=800].

（1）求该地区这种野生动物数量的估计值（这种野生动物数量的估计值等于样区这种野生动物数量的平均数乘以地块数）;

（2）求样本[xi，yi]（[i=1，2，…，20]）的相关系数（精确到0.01）;

（3）根据现有统计资料，各地块间植物覆盖面积差异很大. 为提高样本的代表性以获得该地区这种野生动物数量更准确的估计，试给出一种你认为更合理的抽样方法，并说明理由.

附：相关系数[r=i=1nxi-xyi-yi=1nxi-x2i=1nyi-y2]，[2≈1.414].

该题共计约350个字，文字阅读量大. 以沙漠治理为背景，考查学生的阅读理解能力、分析和解决问题能力、数据处理能力，以及创新应用能力，既要发挥演绎推理能力进行相关的计算，还要运用直觉思维进行抽样方法的选择. 实际上，阅读理解就是基于思维的一种认知活动：它既是获取知识的一种能力，又是影响思维和认识的一种重要能力.

4. 必备知识：突出概率统计，注重函数板块

与关键能力一样，必备知识也是学科素养的基础性支撑. 从近三年的高考试题统计分析中发现，应用性试题所考查的知识主要围绕函数、概率与统计两大主线内容进行. 在前面的例题中，例1、例3均考查指数函数和对数函数，例6考查三角函数的应用，例7考查特殊的函数——数列的应用，例8考查各类递增函数模型，而例4、例5和例9均考查概率与统计板块的知识. 科学地调控高考试题的整体难度，命制出适合不同地区、不同学生水平的高考数学试题的一贯做法就是采用“低起点、多层次、高落差”的命题策略. 以全国Ⅰ卷、全国Ⅱ卷和全国Ⅲ卷为例，“低起点”体现在对选择题的前6道题、填空题的前2道题和解答题的前2道题的设计中，一般考查数学的基本概念或常见的数学方法，从而让绝大多数学生能顺利地解决. 而函数和概率与统计这两大板块，均属于《标准》中规定的高中数学课程的四大主线内容，是高中数学的基础性内容，是高质量地认识、分析和解决数学问题所必须具备的数学知识. 因此，在教学中，要进一步提升对函数知识的理解和应用能力，并夯实概率与统计知识应用，特别要强化对各种概率与统计模型的构建和熟练应用.

四、结束语

数学从生活中来，但又广泛应用于生活，并时时刻刻引领着我们的生活. 应用性試题对学生关键能力、学科素养与核心价值的考查，给师生提出了更高层次的要求. 这就需要教师在学习《标准》的同时，深入研究《体系》中“四翼”的内容. 同时，还要在做好高中数学课程内容教学的同时，与学生一起提高数学阅读能力，包括提升知识获取能力，特别是语言解码能力、符号理解能力、阅读理解能力、信息搜索与整理能力等，让学生积累解决应用性问题的经验，提升解决应用性问题的能力.

参考文献：

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[2]教育部考试中心制定. 中国高考评价体系[M]. 北京：人民教育出版社，2019.

[3]教育部考试中心. 以评价体系引领内容改革 以科学情境考查关键能力：2020年高考数学全国卷试题评析[J]. 中国考试，2020（8）：29-34.

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