求解Robin边值下Poisson问题的修正弱有限元方法

张秀锋,焦 媛

(长治学院 数学系，山西 长治 046011)

0 引言

Poisson方程是一类经典的偏微分方程,常见于理论物理、机械工程等领域.目前,求解Poisson方程的方法有很多,比如有限元法[1,2]、弱有限元方法[3]等.近几年来,许多学者也提出来了有限元方法相关的各种新的数值计算方法.而Robin边值条件下的Poisson问题为:

-Δu=f在Ω，

(1)

(2)

其中f(x)∈L2(Ω),g(x)∈L2(Ω)，β(x)∈L2(Ω),且β(x)是一个非零函数,Ω是R2上的一个有界区域.问题(1)～(2)的变分形式是：对于∀v∈H1(Ω),求u∈H1(Ω),使得

(u,v)+〈βu,v〉=(f,v)+〈g,v〉,∀v∈H1(Ω).

(3)

本文采用修正弱有限元方法来求解Robin边值条件下Poisson问题,其主要思想是：用离散弱算子代替(3)式中的梯度算子,重要的是逼近函数用分片弱函数来构造,这样使得基底函数的构造更加灵活,从而在偏微分方程数值解方面的运用较为广泛,但是这样会增加边界自由度,所以为了降低自由度,我们将采用{v0}替代单元边界函数vb,最后用稳定子来刻画单元与单元之间弱函数的联系,这样不会硬性地施加某种连续型.最重要的是使用修正后的弱有限元方法能消去边界自由度,这就能提升计算速度.因此修正弱有限元方法[4]具有重要的理论意义.本文首先给出Robin边值条件下的u的修正弱函数空间,进一步给出了问题(1)～(2)的数值格式以及误差方程,最后分析在H1范数和L2范数下的误差,且这两种范数下的误差阶数都能达到最优.

1 符号说明及其常用不等式

文中采用标准的Sobolev空间[5]中的Hs(Ω)，(.,.)s,D用来表示Hs(Ω)中的内积,用〈.,.〉s,D表示其边界积分,用‖.‖s,D来表示Hs(Ω)中的范数.

(4)

(5)

接下来需要给出全文所用到的投影算子:Qhu={Q0u,Qbu}，θhu={Q0u,θbu}

(6)

引理2[6](迹不等式) 对于∀T∈Γh以及e⊂∂T,存在常数C,使得对∀θ∈W1,2(T),成立

(7)

引理3[6](投影不等式) 对∀T∈Γh,存在常数C,对∀q∈Hk+1(Ω)，有

(8)

(9)

2 修正弱有限元方法

根据修正弱有限元方法的思想以及离散弱梯度的定义，修正离散弱梯度的公式为:

(10)

由于问题(1)～(2)的等价变分形式为式(3),那么在修正弱有限元空间Vh中,引入如下的双线性形式:

如果记as(,.,)是双线性形式a(,.,)的稳定化格式,则有:as(u,v)=a(u,v)+s(u,v).

所以,对于∀v∈Vh,可以定义如下的范数

从而双线性形式as(v,w)有下述性质：

引理4[6]对于∀u,v∈Vh,成立as(u,v)≤|||u|||·|||v|||.

3 修正弱有限元格式

算法1原问题(1)～(2)的修正弱有限元数值格式为:求uh={u0,{u0}}∈Vh,满足:

as(uh,v)=(f,v0)+〈g,{v0}〉∂Ω∀v={v0,{v0}}∈Vh.

(11)

引理5对于∀v∈Vh，|||v|||是一个范数.

引理6算法1中的数值格式(11)只有唯一解.

证明 由于(11)是满秩的线性方程组,故只需要证明其解的唯一性.故当f=0，g=0时,且令v=uh时,方程(11)为as(uh,uh)=0,即|||uh|||2=0,结合引理5,得uh=0,则结论显然成立.

4 误差方程

引理7若定义误差函数为eh=θhu-uh,其中u∈H1(Ω)表示(1)-(2)的解,uh∈Vh表示数值格式(11)的解,则误差函数eh满足以下方程

as(eh,v)=l1(v,u)+l2(v,u)+l3(v,u)+l4(v,u)+s(θhu,v),

(12)

证明 对于∀v={v0,{v0}}∈Vh,运用式(10),分部积分法,成立

(13)

(14)

将(14)式代入(13)式,得到

(15)

而用v0测试原方程得:

-(·(u),v0)=(f,v0).

(16)

将(16)代入(15)得:

(17)

(18)

即

as(θhu,v)=(f,v0)+l1(v,u)+l2(v,u)+l3(v,u)+s(θhu,v)+

〈g,{v0}〉∂Ω+〈β(θbu-u),{v0}〉∂Ω

(19)

再由(12)可得:as(eh,v)=l1(v,u)+l2(v,u)+l3(v,u)+l4(v,u)+s(θhu,v).

引理7得证.

5 误差分析

引理8假设u∈[Hk+1(Ω)]d，v∈Vh,则有以下不等式成立

|l1(v,u)|≤Chk||u||k+1|||v|||,

(20)

|l2(v,u)|≤Chk||u||k+1|||v|||,

(21)

|l3(v,u)|≤Chk||u||k+1|||v|||,

(22)

|l4(v,u)|≤Chk||u||k+1|||v|||,

(23)

|s(θhu,v)|≤Chk||u||k+1|||v|||.

(24)

证明 根据Cauchy-Schwarz不等式,投影不等式(8),(9)以及不等式||v||≤|||v|||[4],估计l1(v,u)如下:

Chk||u||k||v||≤Chk||u||k+1|||v|||.

利用等式(5),Cauchy-Schwarz不等式,迹不等式(7)以及投影不等式(8),(9),有:

运用投影算子θh和Qh的定义,修正离散弱梯度的定义(10)，Cauchy-Schwarz不等式,投影不等式(8)，(9)，得到:

2||Q0u-u||∂T||wv||∂T≤Chk||u||k+1|||v|||.

使用在∂Ω上,θbu=Qbu，{v0}=v0，Cauchy-Schwarz不等式,迹不等式(7)，投影不等式(8),(9),有:

根据Cauchy-Schwarz不等式,迹不等式(7),投影不等式(8),(9),有:

定理1假设uk∈Vh和u∈[H1(Ω)∩Hk+1(Ω)]分别是(11)和(1)-(2)的解，则有以下估计成立

|||θhu-uh|||=|||eh|||≤Chk||u||k+1.

证明 在(12)中,令v=eh,则有:as(eh,eh)=l1(eh,u)+l2(eh,u)+l3(eh,u)+l4(eh,u)+s(θhu,eh).

即|||eh|||2=l1(eh,u)+l2(eh,u)+l3(eh,u)+l3(eh,u)+l4(eh,u)+s(θhu,v)，所以根据引理8中(20)-(24)有:

即有:

|||eh|||≤Chk||u||k+1.

接下来来分析L2误差,我们先来考虑这样一个问题

-Δφ=f,在Ω

如果以上对偶问题具有H2(Ω)正则性,那么,存在常数C,成立

||φ||2≤C||e0||.

定理2令u∈[H1(Ω)∩Hk+1(Ω)]与uh∈Vh是方程(1)-(2)和(11)的解，则存在常数C,满足

||Q0u-u0||≤Chk+1||u||k+1.

证明 将等式(19)中的u换成φ，f换成e0=Q0u-u0，v换成eh,则有:

进一步,得到:||e0||2=(e0,e0)=a(θhφ,eh)-l1(eh,φ)-l2(eh,φ)-l3(eh,φ)-s(θhφ,eh)-

〈g,{e0}〉∂Ω-〈β(θbφ-φ),{e0}〉∂Ω.

且有〈g,{e0}〉∂Ω=0.所以有:

而as(θhφ,eh)=l1(θhφ,u)+l2(θhφ,u)+l3(θhφ,u)+s(θhu,θhφ)+l4(θhφ,u),那么有:

||e0||2=φu(θhφ)-φφ(eh)

其中φu(θhφ)=as(θhφ,eh)，φφ(eh)=l1(eh,φ)+l2(eh,φ)+l3(eh,φ)+s(θhφ,eh)+l4(eh,φ),

运用引理8中的估计(20)～(24),令v=eh,k=1,得:

|φφ(eh)|≤Ch||φ||2|||eh|||≤Ch|||eh||·|||eo||≤Chk+1||u||k+1.

(25)

下面估计φu(θhφ),首先估计l1(θhφ,u),利用Cauchy-Schwarz不等式，投影不等式(8)，(9)，有:

(26)

使用等式(5),Cauchy-Schwarz不等式，迹不等式(7)，投影不等式(8)，(9)，得到l2(θhφ,u)的估计如下:

Ch||φ||2Chk||u||k+1≤Chk+1||u||k+1||φ||2.

(27)

l3(θhφ,u)可以分解为m1(u,φ)和m2(u,φ),如下:

先来估计m1(u,φ),由Cauchy-Schwarz不等式,迹不等式(7)，投影不等式(8)，(9)，得:

Chk||u||k+1Ch||φ||2≤Chk+1||u||k+1||φ||2.

为了估计m2(u,φ),将(15)式中的u用φ代替,v用w(θhu-Qhu)代替,f用e0代替,则有:

由Cauchy-Schwarz不等式,迹不等式(7),投影不等式(8),(9)，有:

综上可得

(28)

(29)

类似于以上的证明方法,我们仍然使用Cauchy-Schwarz不等式,迹不等式(7),投影不等式(8),(9)，得到:

Chk+1||u||k+1||φ||2.

(30)

综上(25)～(30)，定理2结论得证.

6 小结

本文主要探究了Robin边值条件下Poisson方程的修正弱有限元解法,同时也分析了相应的H1和L2误差,在理论上,都达到了最优阶.因此,它是求解Poisson问题的一种好的计算方法.