滞后型测度泛函微分方程的Φ-有界变差解*
2021-03-05李宝麟丁利波
李宝麟,丁利波
(西北师范大学数学与统计学院,甘肃 兰州 730070)
1 问题的提出
为了求解微分方程,1957年Kurzweil首次提出了广义常微分方程理论[1].由英国数学家Kurzweil和捷克数学家Henstock定义的Henstock-Kurzweil积分(简称为H-K积分)包括Newton积分、Riemann积分和Lebesgue积分,H-K积分是处理高度无限振荡函数的有效工具.Φ-有界变差函数理论[2-3]是有界变差函数理论的发展与推广,学者对Φ-有界变差函数理论进行了比较广泛的讨论.例如,李宝麟等首次将Φ-有界变差函数理论与Kurzweil方程理论结合起来,建立了Kurzweil方程的Φ-有界变差解的存在性定理[4],然后建立了一类脉冲微分系统Φ-有界变差解的局部存在性定理[5];肖艳萍等[6]建立了一类不连续系统的Φ-有界变差解.滞后型测度泛函微分方程是泛函微分方程理论的一个分支,Federson等[7]建立了滞后型测度泛函微分方程
Dy=f(yt,t)Dg,
(1)
其等价的积分方程为
(2)
并建立了在一定条件下方程(2)与广义常微分方程的等价关系.(1)式中Dy,Dg分别表示函数y和g的分布导数;(2)式右端积分是关于不减函数g的Kurzweil-Stieltjes积分.
笔者将讨论滞后型测度泛函微分方程初值问题
(3)
2 预备知识
定义1[8]2-3称函数U:[a,b]×[a,b]→Rn在[a,b]上是Kurzweil可积的,如果存在I∈Rn及正值函数δ:[a,b]→R+,使得对于[a,b]上的任何δ-精细分划
D={(τi,[αi-1,αi]),i=1,2,…,k},
其中τi∈[αi-1,αi]⊂(τi-δ(τi),τi+δ(τi)), 有
设Φ(u)是对于∀u≥0定义的连续不减函数,且满足Φ(0)=0.对于∀u>0,Φ(u)>0,假定Φ(u)满足下列条件:
(C1)存在u0,L>0,使得对于∀0