基于命题关系的“线性相关性”教学设计

范爱琴，李 荣

(运城师范高等专科学校 数计系，山西 运城 044000)

高等阶段数学学习较之初等阶段更加的抽象化、复杂化，如何这门复杂的学科更科学化，条理化的学习是当前数学教育者首当解决的问题。关于学习方法的研究，前人已做出了很多研究，本文主要研究的是如何把命题关系融入课堂教学。对于高职师范类学生来说，将命题关系融入教学设计，既是初等数学知识的弥补，又是高等数学教学过程与效果的大胆尝试。

以“线性相关性”的教学为例，将命题关系融入线性相关性的教学设计中。

一、教学分析

在以学生为主体的教学模式下，数学教育应回归“人性”，回归“本真”。对于培养未来小学数学教师的高职师范类学校，在课程教学中，职业面向的理念渗透，观察、分析、猜想、综合思维及数学素养的培养都显得尤为重要。本案例从实际出发，运用命题间的逻辑辩证关系学习新知识，是对学生逻辑推理和数学抽象素养的提升，是对教学内容所蕴含的哲学思想的提炼，从而达到知识与素质的融合，能力与思维的创新。

(一)学情分析

“高等代数”是高职师范类数学教育专业学生一门重要的专业必修课。但由于专科层次的学生数学基础相对较差，如目前笔者所任教的两个班级，共计学生106人，高考数学平均成绩不足60分(满分150分)，及格3人，由此可见学生初等数学“底子”非常薄弱，而且学生在学习数学时，没有太大的兴趣，学习习惯与方法存在的问题也比较多。

(二)教材分析

线性相关性在高等代数中占有重要地位，是用公理化方法研究向量空间的结构。它上承向量空间的定义，子空间及向量组的等价，下启向量空间的基和维数，极大线性无关组和秩，坐标及线性变换。

(三)教学重点与难点

教学重点：掌握向量组线性相关无关定义，会判断向量组的线性相关无关性。

教学难点：利用命题关系推出线性无关的定义，得出判断线性相关与无关的依据，变抽象为具体。

教学关键：复习回顾四种命题关系及逻辑关联词，借助线性相关与无关的互否性，由相关得出无关。学习定义的终极目标是应用，为了应用的简便明确，避开“任意”带来的麻烦，遵循正难则反，转化思想取其逆否命题，达到从无限到有限的思维惯例，归纳总结出相关与无关的判断思路、步骤与方法。

(四)教学目标

1.知识目标：用命题关系掌握线性相关与无关的概念，从而在“初等数学”与“高等数学”间架起桥梁，弥补初等数学知识的缺陷，达到对数学知识体系完整的认识和融会贯通。

2.能力目标：掌握“正难则反、类比、互逆”的思想方法，将数学思想落实到学习和应用数学的思维活动上，提高思维能力和创新能力。

3.情感目标：命题关系的回顾复习，培养了逻辑推理和数学抽象素养，提高了数学应用意识；在对数学概念的理解、数学思维的升华过程中激发了学习热情和专业自豪感；在利用初等数学知识巧妙地解决高等数学知识的过程中，提炼了初步的哲学思想。

(五)教学方法

1.教法：任务驱动。根据内容引导学生一步一步完成，不但让学生参与数学知识的应用，注重学生主动参与知识的总结提炼，而且让学生在教师的指导下，根据不同任务主动探索、分析的过程中完成对数学知识的意义建构。通过任务驱动，最主要的是整个教学过程，老师可以察觉学生对数学思维的认识。

2.学法：类比、探究、归纳、思维导图。

二、教学过程

教学内容师生活动设计意图创设情境、导入新课1.出示命题间的思维导图2.线性相关与线性无关间的关系:两者互为否定提出问题学生回答讲解预习时学生画出自己对命题关系的思维导图,既帮助了对命题间关系的理解,也为接下来寻找线性相关与无关间的命题关系做了铺垫。任务一:利用命题间关系,由线性相关定义5.8推出线性无关定义5.91.特称量词“存在”变为全称量词“任意”;2.结论否定:k1x1+k2x2+…+ksxs≠0教师讲解定义5.8,引导学生思考和寻找条件、结论以及特称量词的转化,提出否定结论。明确命题转化的思路,培养学生严密的逻辑思维能力和解决问题的能力。对概念理解的过程,教师可以觉察学生对数学思维的认识。任务二:把任务一中线性无关定义5.9转化为逆否命题5.10注意:原命题成立,逆否命题一定成立。通过类比、探究寻求线性无关的另一定义逆否命题的提出,解决了原命题的“任意性”问题,化无限为有限,让问题的解决更直观。任务三:比较定义5.8与5.10,启发学生归纳总结:1.线性相关与无关的联系与区别;2.定义法判断线性相关性的方法与步骤 师生通过比较,总结共性,得出判断方法,实质是解线性方程组从分析到归纳,细化了知识结构,充分拓展了学生的思维空间,提高了分析问题的能力。任务四:方法拓展问题提出:定义法求解的实质是解齐次线性方程组,那么能否利用齐次线性方程组的解的情况判断线性相关性。学生尝试,教师引导,得到利用齐次线性方程组的解情况判定线性相关性的充要条件:只有零解,线性无关;有非零解,线性相关。向量组的相关性与齐次线性方程组巧妙的结合,使学生对知识的掌握和理解达到前后贯通,化抽象为具体。在步步为营的思维认识过程中,也能发现学生专注力如何发展变化,从而为学生数学成绩的提升,转变对数学的认识,甚至喜欢上数学都搭建了平台。练习中总结,归纳出性质判断下列向量组的线性相关性:1.含有零向量的向量组;2.含重复向量的向量组;3.向量组部分与整体相关性联系学生分组讨论解答,师生共同探讨,总结出性质推论。强化重点 ,提高应用能力;加深理解,探索应用规律;巩固内化,完善知识体系。布置作业习题5.4、学习平台本节的测试学生作答,有问题平台留言,教师及时答复巩固课堂学习成果,拓展题型,培养学生逻辑推理和数学抽象素养。

三、教学反思

(一)教学过程反思

由于学生基础薄弱，对四种命题间的关系认识不是非常到位，所以在课堂时间分配上有点倾斜。把命题关系融入教学过程本案例并不是第一次，在克莱姆法则一节关于齐次线性方程组解的情况讨论时也用过。有意识这样来安排教学，一个主导思想就是尽量弥补“初等数学”内容的欠缺，从而达到对整个数学系统认识的完整性和关联性。

通过任务驱动教学，不但学生能逐级深入理解所学知识，而且教师也可以及时察觉学生思维的认识过程，及时调整教学内容的重难点及时间分配，达到该课程教学标准中查缺补漏的目的。更可喜的是通过这样的教学设计，学生对本节抽象内容的理解应用达到了预期的目的，本节测试成绩超出了预期目标。

(二)利用命题关系设计教学的优点

1.通过命题关系对定义进行言语和意象双重编码，有利于学生对知识的长时记忆；

2.关联定义间通过命题关系推出，可以在知识间建构认知图式，从而整体把握数学内容，检索和融会贯通；

3.教材在给出“线性相关性”定义时，没有明确指出命题关系在整个系统中赖以存在的价值，本着师范教育是培养未来人的事业，因此发展学生认知观念，有意识地引导学生建构或大或小的命题系统应是数学教育教学的核心素养之一。

四、结语

基于命题关系的“线性相关性”教学设计把知识与实践、思维与理念相融合，不但促进数学知识间的渗透，而且对学生未来从事的职业也起到示范与引领的作用，从而达到学以致用、理论指导实践的目的，并将其“师范性”的教学特点凸显出来。