例谈数学教学中“四基”的落实

周洁 王小霞

摘 要：“四基”是在数学教学目标“双基”的基础上发展而来的，反映了人们对数学的认识的提高。数学的教学目标由原来的计算、证明等知识和技能学习增加到思想方法和做数学的高度。在数学教学中，教师要钻研落实“四基”的方法策略，从而提高学生的数学学科核心素养。

关键词：数学教学;“四基”;数学活动

中图分类号：G427             文献标识码：A         文章编号：2095-624X（2021）51-0067-03

作者简介：周洁（1993.3—），女，延安大学，硕士研究生学历。

王小霞（1978.7—），女，延安大学，副教授。

引 言

《义务教育数学课程标准（2011年版）》（以下简称《课程标准》）在“双基”的基础上提出了“四基”的要求，即基础知识、基本技能、基本思想、基本活动经验。它们是一个有机的整体，是互相联系、互相促进的。基础知识和基本技能是数学教学的主要载体;数学思想是数学教学的精髓，统领课堂教学的主线;数学活动是不可或缺的教学形式。教师在数学教学中应把“四基”作为贯穿于教学始终的线索，使其体现在教学的各个环节。

一、探寻本质，扎实基础知识

扎实的基础是前进的基石。基础知识是进一步学习数学的基础和必要条件，是学习过程中最基本也是最重要的部分，是影响学生深入学习的主要因素。基础知识的掌握情况直接影响学生深入学习的效果。因此，教师在教学过程中要加强基础知识的教学，引导学生深入理解和掌握基础知识，不断探寻数学知识的本质。

例如，在教学“算术平方根的概念”时，教师可以从几何中的正方形入手，提出问题：如果三个正方形的面积分别为4，16，25，那么这三个正方形的边长分别是多少？教师也可以从几何中的正方体入手，提出问题：如果三个正方体的体积分别为8，27，64，那么这三个正方体的棱长分别是多少？

学生可以根据这些较简单的数据逆向思维得出正方形的边长及正方体的棱长，从而感受到平方根及立方根的现实意义，并且理解平方与开平方互为逆运算，立方与开立方互为逆运算。教师通过情境引入本节课，能够引导学生感受到数学知识的本质。

二、循序练习，提炼方法技能

《课程标准》指出：“在基本技能的教学中，不仅要引导学生掌握数学技能的操作程序和步骤，还要使学生理解这些程序和步骤的原理。”[1]也就是说，数学基本技能的训练不仅是让学生会写解题步骤，还要让学生理解所学的哪些数学知识可以作为实施这些步骤的逻辑依据。例如，对于计算题目的基本技能，教师不仅要让学生明白如何进行计算，还要让学生明白相应的算理;对于证明的基本技能，不仅要让学生理解证明的步骤，还要让学生了解每一个步骤的依据。

这里说的数学基本技能，指的是通性通法，而不是特殊的数学解题技巧。基本技能应当具有广泛的适用性，而不是机械的重复训练。这样，学生的思维才会被训练得更加敏捷，更容易领悟到不同类型题目的解题方法，根据题目条件的每一个细微的改变转变解题思路，从而真正达到举一反三的学习效果。因此，教师要设计出知识层层递进的题目，让学生可以循序渐进地进入解题的状态，感受数学题目的变化，以培养学生严谨的思维，最终达到提升数学方法技能的效果。

以“数的绝对值”的教学为例，教师可以出一道基础题，并进行讲解，如|-5|=5，。这样的简单题型学生可以很快就能掌握，但是当绝对值符号里面为多项式时，学生往往思维混乱，容易出错，如有理数a，b，c在数轴上的对应点分别为A，B，C，试化简|a|+|a-b|+|c-d|。

学生认为此题难解主要体现在两个方面：第一，不知道如何求多项式的绝对值;第二，不会表示多项式的相反数。因此，教师可以从这两方面入手设计相关的习题，如|b|=b（b≥0），|b|=-b（b<0），引导學生逐步理顺思路。例如，教师可以从习题入手，然后加入多项式的绝对值的化简习题，如|m-n|=m-n（m>n），|c-b|=-（c-b）=b-c（c<b）。通过此类练习，学生会发现求多项式的绝对值的问题，其实在于判断多项式的正负，尤其当多项式为形如a-b的减法运算时，解题关键就在于比较a和b的大小。当a>b时，|a-b|=a-b。通过这样的训练，学生便能把绝对值的基本知识转化为解题技能，再遇到此类问题就能快速解决。

再如，已知a，b，c是一个三角形的三边长，试化简：|b+c-a|+|b-c-a|+|c-a-b|-|a-b+c|。这道题目考查的知识点是三角形的三边关系，即三角形的两边之和大于第三边，两边之差小于第三边。这道题的解题方法便是去绝对值符号，因为a，b，c是三角形的三边长，所以b+c-a>0，b-c-a=b-（c+a）<0，c-a-b=c-（a+b）<0，a-b+c=a+c-b>0。学生可对原式进行化简并得出公式，|b+c-a|+|b-c-a|+|c-a-b|-|a-b+c|=b+c-a-b+c+a-c+a+b-a+b-c=2b。有了前面知识点的铺垫，学生解答这道题目便容易多了。

三、思考分析，领悟数学思想

数学思想是从数学知识中提炼出来的数学学科的精髓，是将数学知识转化为数学能力的纽带。通过教材体系，我们可以看出整个初中数学教材中的数学知识是按照由浅入深，后面以前面为基础的原则设置的，每一个章节的知识都渗透着数学思想方法。因而，教师在教授知识的同时要注重渗透数学思想方法，将基础的、零散的知识点串联起来，在讲解知识的过程中提炼解题思路和方法，并升华为数学思想，逐步形成数学知识体系。这样，学生才会感受到数学知识的“枝繁叶茂”，从内心深处体会到数学的艺术和数学之美。

中学阶段常见的数学思想有数形结合、分类讨论、函数与方程、化归与转化、类比、数学建模、整体思想等。对于整体思想，初中生在初步接触时往往会感到抽象难懂，很难想到要把知识看作一个整体，因而难以找到解题的突破口。其实整体思想就是要求学生从问题的整体性质出发，对问题的整体结构进行分析和改造，发现问题的整体结构特征，把某些式子或图形看成一个整体，把握它们之间的关联，进行有目的、有意识的整体处理。整体思想在代数式的化简与求值、解方程（组）、几何求解或证明等问题中都有广泛的应用。整体代入、叠加叠乘处理、整体运算、整体设元、几何中的补形等都是整体思想方法在数学问题中的具体应用。

例如，已知x2-2y+2的值是3，求-3x2+6y+2的值。部分学生可能会有一个方程如何解出两个未知数x，y的疑惑，其实本题无法直接求出x与y的具体值，而是将x2-2y看作一个整体，由已知可得x2-2y的值为1，将要求的式子变形为-3x2+6y+2=-3（x2-2y）+2，然后把x2-2y的值代入变形后的式子，即可求出原式的值。

又如，若实数a，b满足，试求分式的值。这道题目可以用整体代入法求分式的值。学生可以先将待求值的式子变形，使其含有条件中的式子，再将条件中的式子整体代入求值;也可以先将条件中的式子变形，再将变形后的式子整体代入求值。

解法一：由可得a≠0，b≠0， 所以ab≠0。所以

===。

解法二：同样由可得a≠0， b≠0，所以a2+b2=2ab。所以= ==。

再如，如图1所示，在四边形ABCD中，AB=2， CD=1，∠A=60°，∠B=∠D=90°，求这个四边形ABCD的面积。

我们可以看到这是一个不规则的四边形，要想求它的面积，就要设法将它补成我们熟悉的三角形或者規则的四边形，找出补全的图形与题设图形之间的关系，再通过求补全的图形与多余部分的差即可求得所求图形的面积。

补全方法一：如图2所示，我们可以延长AD、BC使其相较于点E，而此时图形构成了一个直角三角形。

在RT△ABE中，因为AB=2，∠A=60°可得BE=AB·tan∠A=。

在RT△CDE中，因为CD=1，∠ECD=180°-∠EDC-∠CED=180°-90°-30°=60°， 所以DE=CD·tan∠ECD=1×tan60°=。四边形ABCD的面积就等于三角形ABE的面积减去三角形CDE的面积，即S四边形ABCD=S△ABE-S△CDE=AB·BE- CD·DE=×2×-×1×=。

下面再展示一些其他的补全方法。

补全方法二：将原四边形补成一个矩形，如图3所示。

补全方法三：将原四边形补成一个直角梯形，如图4所示。

补全方法四：将原四边形补成一个等边三角形，如图5所示。

补全方法五：将原四边形补成一个平行四边形，如图6所示。

我们可以根据题目的已知条件找出较为简便的补全方法，找到最优化的解题方法。在解决以上这些数学问题时，学生要站在整体的角度去思考，将局部放在整体中去观察、分析，从而探究问题的解决方法，使问题得以巧妙解决。

四、动手操作，积累活动经验

教育家苏霍姆林斯基说过：“儿童的智慧就在他的手指尖上。”数学活动经验是学生在学习的活动过程中所获得的，而不亲身经历实践活动就谈不上经验。学生只有动手操作、体验数学活动的过程，才能将积累的经验最终沉淀到内心深处，使其转化为一种素养。因此，在设计数学活动时，教师可以学生活动为主线，激发学生主动参与、思考探索的动力。这样学生便可以通过各种动手操作，直观有效地分析、解决数学问题，从而在活动中学习和感悟数学。

以“勾股定理的实际应用”为例，教师可设计以下数学活动。

如图7所示，甲为棱长为10 cm的正方体盒子，一只蚂蚁沿着表面从A处爬到B处，需要爬行的最短路程是多少呢？如果将盒子换成长为3 cm，宽为2 cm，高为1cm的长方体（乙），蚂蚁沿着表面需要爬行的最短路程又是多少呢？

对于第一个题问，由于正方体的六个面都是正方形，学生可以根据正方体的展开图确定边长，然后用勾股定理求出最短路径是 cm。

对于第二个问题，由于长方体的面不相同，我们会得到以下三种展开方式，如图8所示。但是学生不容易想出不同的两个面展开有什么区别，对所有展开形式，理解起来就有一定困难。

因此，教师可以引导学生动手操作，将长方体纸盒沿着不同的棱剪开，分别展开前面和右面、前面和上底面、左面和上底面。学生就可以直观地看到不同的展开方式下它们的展开图各不相同，并且差异很大，连接对角线AB，然后运用勾股定理进行计算便可以得出三种不同展开方式的路径长度分别为cm ;

cm ;

cm ;

学生通过比较便可得出最短路径为cm，即cm。

结 语

总之，从“双基”到“四基”，是一个提升的过程，后者对前者不是否定，而是发展和深化。学科核心素养的培养是一个日积月累的过程，教师不能急于一时，更不能一蹴而就。教师要在数学教学中，以基础知识与基本技能为载体，强化思想方法的渗透和活动经验的积累，引领学生经历“做数学”的过程，从而促进学生思维的发展、能力的提升。

[参考文献]

[1]中华人民共和国教育部.义务教育数学课程标准（2011年版）[S].北京：北京师范大学出版社，2012.