参数型Marcinkiewicz积分在一些含变指数空间的有界性

朱诗红

(安徽省铜陵学院 数学与计算机系，安徽 铜陵 244061)

(1)

1962年,A.Benedek.,A.P.Calderon与Panzone[3]给出了μΩ在Lebesgue空间的(p,p)有界性(1

假定p:Rn→[1,)是可测函数，记对每个x∈Rn如果1

(2)

(3)

我们就称p∈Plog(Rn)。

设Ω∈Lr(Sn-1)，r≥1，称

(4)

引理1.1[7]设Ω∈Lr(Sn-1)且满足(4)式。若存在正数a0使得|x|a0R,则有

引理1.2[8]存在1

(a).p(.)∈log(Rn); (b).p′(.)∈log(Rn);

(c).p(.)/r∈log(Rn); (d).(p(.)/r)′∈log(Rn)

引理1.3[9]若f∈Lr(.)(Rn),r+<,下列不等式成立

引理1.4[9]存在常数C>0使得对于任意权函数ω和任意满足|{x:f(x)>λ}|<的可测函数f(其中λ>0),我们有

引理1.5设0<ε<1,p(.)∈Ρlog(Rn)。若‖f‖p(.)<，则

‖f‖p(.)

引理1.6[10]若a>0,1r,0

当φ=0,上式变为

(5)

引理1.7[3]设Re(ρ)=β>0,p∈(1,),Ω∈H1(Sn-1)且满足(1)。则存在与f无关的C>0,使得C‖f‖p。

注1.8注意到Lr(Sn-1)(r>1)⊂Llog+L(Sn-1)⊂H1(Sn-1),故我们可直接在条件Ω∈Lr(Sn-1)和Re(ρ)=ρ>0下利用引理1.7。

定理1.9设Ω∈Lr(Sn-1)是零次齐次函数(r>1)，r/(r-1)d

任选一球B=B(x0,s)⊂Rn并记f=fχ2B+fχ(2B)c=f1+f2和Bj=B(x0,2js),可得

ⅠCMd(f)。

接下去我们考虑Ⅱ。

由于x,x0∈B,y∈(2B)c故有|x0-y|～|x-y|。应用平均值定理可得

Ⅱ1

对任意j∈N,y∈BjBj-1,x∈B总存在正数a使得|y|a|x|,因此取d′≥r,应用不等式和(5)式,可得

Ⅱ1CMd(f)。

Ⅱ2

根据引理1.2,引理1.5可得

‖fg‖p′(.)

引理2.2[12]假设p(.)∈Ρlog(Rn),则存在常数C>0使得对任何球B⊂Rn有下式成立,

‖χB‖p′(.)‖χB‖p(.)C|B|。

引理2.3[12]设p(.)∈Ρlog(Rn),则存在对所有球B⊂Rn和可测子集Q常数C>0,有

其中0<δ1,δ2<1是常数。

引理2.4[13]设α(.)∈L(Rn),s1,s2>0。若α∈Ρlog(Rn),则对于x∈B(0,s1)B(0,s1/2),y∈B(0,s2)B(0,s2/2),我们有

定义2.5设0λ<,p(.)∈Ρ(Rn),0

引理2.6[14]假定α(.)∈L(Rn),q∈(0,),0λ<。若α(.)在原点和无穷远处连续,则

定理2.7设Ω∈Lr(Sn-1)满足(4),p(.)∈Ρlog(Rn)及r/(r-1)d

定理2.7的证明仅证明齐次Herz-Morrey空间的情况。

由引理2.2,2.3得

(6)

简记M=α++n/d′-nδ2，当0

U1

U1

为估计U2我们设

运用定理2.9和引理3.6,易得到G′CG及H′CH，故有

U2≈max{G′,H′}Cmax{G,H}

最后估计U3。注意到x∈Ck,y∈Cj,j≥k+2,|x-y|～|y|。类似于不等式(6)的计算可得

(7)

所以,若记N=α-+nδ1+n/d′,则由(7)式可得

U3

Case10

U31

考虑到

(8)

和j>k0>k,λ

U32

Case2q>1

U31

再次利用(8)式,可得

U32

综合U1-U3,我们完成定理3.7的证明。

定义3.1[12]设p(.)∈Ρ(Rn) 0q<,α(.):Rn→R且α(.)∈L(Rn).变指数齐次Herz空间定义为且满足的所有函数组成,记

引理3.2[12]设α(.)∈L(Rn),q∈(0,].若α(.)在原点和无穷远处是连续的,那么

定理3.3设Ω∈Lr(Rn)满足(4),p(.)∈Ρlog(Rn),r/(r-1)d

定理3.3的证明由于

对V1,利用不等式(6)，注意到α+<-n/d′+nδ2,我们有

CaseⅠ 0

V1

CaseⅡq>1

V1

基于引理3.2和定理1.9,可知

V2

最后我们估计V3。由不等式(7),我们得到

V3

CaseⅠ 0

V3

CaseⅡq>1。

V3

定理3.3证毕。