高三数学“微专题”教学的误区举隅及对策

2021-02-25江苏省南京市第九中学210018尤荣勇

中学数学研究(广东) 2021年23期

江苏省南京市第九中学(210018)尤荣勇

1 问题提出

“微专题”是高三数学复习特别是二、三轮复习经常采用的课型.所谓“微专题”就是指聚焦一个具体考点如重点、难点或热点,以专题的形式组织教学活动,帮助学生内化知识,构建结构,再进行知识的迁移、整合和运用的课堂授课的模式.在高三复习课教学实践中,在采用微专题课型时有部分教师还存在一些误区,笔者结合这几年在高三一线的上课和听课学习情况,对微专题课型中的一些误区和同仁们探讨.

2 误区举隅及对策

2.1 只顾题型训练,忽略思维关联,“反复弄小技”,“丹青妙处不可传”.

有些老师认为,高三复习微专题教学的基本模式就是:先梳理这节微专题知识点或有关题型,接着进行类题训练.这种做法无可厚非,但只顾套用题型,忽略或缩略题型本身的分析过程和模式识别的思维过程,只是“反复弄小技”式的就题论题而没有变式拓展,不能点破题与题之间关联的那层纸,不去突破“类”的束缚进入深度的探究学习,就一直停留在“丹青妙处不可传”的层面,对提高解题能力着实没有多大帮助.

对策对于微专题教学,指导学生要从最基本的题型出发,不是追求简单“形”上的相似,而是要挖掘思想上的“神似”,解题时擦亮眼睛、抽丝剥茧,寻找有价值的解题线索,在拓展、延伸中类化方法,提升数学素养,努力使学生从“云深不知处”到“不畏浮云遮望眼,只缘身在最高层”.

2.2 只顾结构完整,忽略学生接受能力,“蜀道难,难于上青天”.

教学实践中,有些老师多年任教高三,对高考的命题耳熟能详.因为自己站得较高,过于甚至过早瞄准高考要求,力图使自己的教学能一步到位,在复习工作中不经意间就会定位过高、选题过难来提高教学的起点.特别是在复习函数与数列等内容,老师很容易使微专题走上将教学难点堆积之路.事实上,这些曲高和寡的专题是“专”而不“微”,对大多数同学来说都是望尘莫及.这样做不但不能准确解答类似问题,还会给学生的心理造成很大的压力.

笔者曾在一个中等层次的学校学习观摩一节“函数极值点偏移问题的处理策略”微专题复习课.教者将一些极值点问题进行归类,选择3 道按照是否含有参数进行一级分类,将极值点偏移问题分为含有参数类和不含有参数类,再进行二级分类,按照极值点表现形式,将其分为极值点之和、之差、之积、之商几类.解决问题方法进行套路化:构造齐次式换元、构造新函数、分离变量、借助对数平均不等式等.当然函数极值点问题无论是在高考还是模考中,作为热点题型往往以压轴题的形式给出,但是此类问题变化多端,优秀学生掌握都有一定难度,这样一个专题在中等层次学校而且放在一节课上处理,学生很难接受,大多数学生望题兴叹!

课后我随机询问了该班的同学,问是否明白了课堂上老师的讲解,结果大多同学回答说,“这个太难了,考到我也放弃!”教者这种急于求成、好高鹜远的现象,往往会产生两种结果:对于一些喜欢钻难题的同学,遇到这类问题会爱不释手、眼高手低而忽视基本题的训练,事实上高考压轴题灵活性大,不是通过这种刷题就能解决的,最终难题不得分、基础题丢了分;对于中等生甚至基础薄弱的学生反正听不懂、干脆就不听了,长期以往极容易使他们对数学产生畏难情绪,打击他们的信心、丧失了对数学学习的兴趣与爱好,迷失了数学的复习方向.事实上,学生接受知识、掌握知识、运用知识需要一个过程,他们的认知水平和分析问题、解决问题的能力与我们老师的预想存在很大差距.

对策我们的微专题复习,应该研究学情,根据学生实际情况,在他们的“最近发展区”确定微专题的教学内容和教学难度.对于过难非重点的内容直接不用讲,对于过难却又重要的内容可以根据实际情况循序渐进、各个击破、分散进行,要从“难于上青天”到“随风潜入夜”.

2.3 只顾特殊技巧,忽略通性通法,“是非成败转头空”.

我们都知道,高考试题强调以能力立意,尽管能力型试题没有固定解法,但不会过分强调解题的特殊技巧.通常情况下,技巧性越强,适用范围就越小,只有上升到思想、观念的层面,才能具有普适性.因此,即使是技巧,也应该置于相应的思想方法的统领之下,使之成为实施通性通法的思维策略下的具体手段与方式.有些老师在专题教学时,会倾向于应用解题技巧,而忽略常规的解题方法与解题思想,这样的微专题复习课往往变成了教师自我炫技的表演,结果反而会弄巧成拙,问题变化了学生便一筹莫展,到头来只能是“一场游戏一场梦”.

案例2微专题“三角函数的最值复习课”教学片断:

已知函数f(x)=2 sinx+sin 2x.则f(x)的最小值是____.

师:这个题大家可以研究函数的导函数,根据其单调性研究最小值,课上就不再赘述,我们不妨换两个角度.

不难看出,方法1 是通过把函数最值构造为圆的内接三角形面积的最值,方法2 是借助三个正数的基本不等式,把积的最值转化为和为定值来处理.应该说,这两个解法的确是用时少、准确性也高,但这两个解法对解决其他三角函数最值的借鉴作用可能有限,而且方法2 的知识点也明显超出了课程标准要求.我们说不掌握通性通法,提高能力也将是一句空话.当我们过分关注解题技巧时,反而连基本的解题思维都弱化了,非常容易导致学生遇到基本数学问题时,也无法利用规律及普适性的方法加以解决,出现“大道如青天,我独不得出”的窘况也就不足为怪.

对策在微专题教学中,应加强基本方法的教学,探求解决问题路径的一般思维方式,注重通性通法,夯实基础,淡化巧解特法.课堂涉及到的解题方法一定要接地气,既要能“跳一跳够得到”,也要能“旧时王谢堂前燕,飞入寻常百姓家”.

2.4 只顾课前预设,忽略问题生成,“种豆南山下,草盛豆苗稀”.

由于微专题涉及的知识点是学生以前学过的,因此许多教师就认为:复习课不像授课那样具有较大的探究空间,师生间互动的不确定性也较新授课要小,这使得复习课教学过程往往遵循着教师预先设定线路进行,把专题的每一个环节都设想得细致人微,涉及到哪些知识点,有哪些方法,通过设计好的例题逐个解决,把教学内容也规划得清清楚楚,以期上课时能一帆风顺.这些所谓精心的设计却忽视了学生的学习需要,让学生产生一种被教师牵着走的感觉,失去了学习的主动性和创造性,这也是很多课堂缺乏生命活力的原因之一.

案例3微专题“求曲线的轨迹方程复习课”的同课异构片断:

教者1 通过问题串,将求动点轨迹问题一般方法:直译法、定义法、代入法(相关点法)、参数法、交轨法,通过例题逐个对号入住.这种把自己构建好的“标准”直接“捧给”学生,要求学生亦步亦趋地按自己预想的“科学程序”进行“填空”,当学生“不到位”时,教师想方设法引其“上位”,当学生“越位”时,教师或强行拉回,或不了了之.

教者2 通过一个小题:在ΔABC中,BC=2,顶点A满足.则顶点A的轨迹方程为____.

学生通过“直译”得到方程后,老师突然话锋一转:你能改变题目中的条件来提出新的问题,并尝试解答吗?

学生2 把B,C看成平面两个定点,A看成动点,根据圆锥曲线的定义,把条件“AB=λAC(λ >0)”改为“AB+AC=λ(λ >2)”,顶点A的轨迹方程是去掉与x轴交点的椭圆方程;把条件“AB=λAC(λ >0)”改为“AB−AC=λ(0<λ <2)”,顶点A的轨迹方程去掉与x轴交点的双曲线一支.

教者2 把该问题抽象为动点到两个顶点距离之和、之差、之比,有没有之积呢?

同学们通过运算,发现之积不是熟悉的曲线方程,但有生3 发现若AB、AC长度之积改为−→AB·−→AC=λ(λ>0),曲线的方程是去掉与x轴交点的圆的方程.的条件还可以改为哪些?

教者2 若我要求顶点A的轨迹方程是圆或圆弧,这个θ <π)”.

......

教者2 通过抛转引玉,一石激起千层浪,学生在改变题设条件时自然的用到了求曲线方程的直译法、定义法、代入法等方法.这种生成是课堂教学的宝贵资源,使复习课的教学不是刻板灌输而是顺学而导,体现了教师的教学智慧.

对策在运用微专题模式教学时,教师在精心预设好问题时,要兼顾学生的生成,要能为学生提供展示自己的舞台,使课堂灵动充溢,精彩飞扬.授之以鱼不如授之以渔,我们给学生一片天地,他们会还我们一串惊喜!由以往的“草盛豆苗稀”发展到“忽如一夜春风来,千树万树梨花开”.

2.5 只顾纠正错误,忽略错因破析,“不识庐山真面目,只缘身在此山中”.

在采用微专题教学中,我们会发现,有一些错误始终是学生的共性.甚至前面复习也已三番五次强调了,到头来仍然“不断重复昨天的故事”.不可忽视的一个原因就是在学生出现错解、在相关知识理解与应用方面有缺失时,我们漠视了它.

案例4某节微专题“函数的最值与极值复习课”片断:

已知函数f(x)=x3+ax2+bx+a2在x=1 处有极值10,则a+b=____.

教师投影了某位学生的解法:f′(x)=3x2+2ax+b,因为x=1 时函数有极值10,所以有

得

教者发现了学生的错误,于是反问学生,两组解是否都可以吗?学生便通过回代检验,发现a=3,b=−3 是增根.于是教者提醒学生以后碰到两组解要注意检验.学生求解过程中出现这种函数极值点即为导数为0 时的解的外现错误,教者没有进行深层次挖掘.

笔者认为,以后再碰到类似问题,学生恐怕还是会出问题.显然,上述错解产生的根源在于对函数极值的定义认识还不全面:导数等于零的点只是函数的驻点,它只是函数在该点处取得极值的必要条件而非充要条件.那么,如何借助上述错解,不仅要加深学生对函数极值点这一知识的理解与掌握,还要完善学生在解决函数极值点问题的相关思维呢?教者不妨继续追问:

(1)a=3,b=−3 为什么是增根?一定需要检验回代吗?有无其它途径?

(2)函数f(x)在x=1 处有极值10 的充要条件除了f(1)=10 之外,究竟还需要什么?

(3)如何保证x=1 是f′(x)的变号零点?

(4)对于常见三次函数y=f(x)有极值点x0,还有什么特殊的处理办法?

通过这样系列问题串,让学生真正理解函数f(x)在x=x0处有极值的充要条件为x=x0是f′(x)=0 的解,且这个解是导函数f′(x)的变号零点,若f(x)是三次函数还有f′(x)=0 中的Δ>0 这种个性化的处理方法.为了巩固函数极值点这个难点,不妨再借题发挥一下,增加两个变式:

变式1f(x)=x3+2x2−ax+1 在区间(−1,1)上恰有一个极值点,求实数a的取值范围.

变式2已知函数f(x)=(x2−2ax+a2)lnx,若f(x)不存在极值点,求实数a的取值范围.

这种通过错解剖析、以错纠错来、变式拓展,有利于学生对知识的深刻理解、训练学生思维批判性来改善其思维品质,反之,如果学生出现错解我们只是一味强行拉回,并把正确的解法抛给他们,尽管暂时学生会理解它,但时间一长,往往又所剩无几.若能在数学微专题教学中,从根本上寻找错解的原因,认清什么是错误的,错在何处,为何产生这种错误,从而探索避免错误发生的对策以及解决问题的正确思路、提高解答数学问题的准确性.

对策微专题教学时,对于易错题,在课堂上要舍得花时间,给予学生充分展示的机会,尽可能暴露其完整的思维过程,甚至让全班同学共享“错解资源”,让出错的同学经历由“误”到“悟”的蜕变,从源头上防范错误的再次发生,真正做到“不识庐山真面目”到“君自故乡来,应知故乡事”.

2.6 只顾一题多解,忽略题之源头,“岸势犬牙差互,不可知其源”.

微专题教学中注重一题多解可以开阔学生思路、发散学生思维,使学生学会多角度分析问题、解决问题,其好处毋庸置疑.但我们在微专题教学实践中发现,有些老师采用一题多解的训练中存在着一些问题:对各种解法的联系和蕴含的数学思想挖掘不够,多解之后没有反思总结,没有发现规律、找出问题本质,对问题本身的源流不清,仅仅使多解成为解法的罗列,一题多解正面临着诸多偏离初心的问题,使得教学效益大打折扣.

案例5一节微专题“圆中的定点定值问题”的教学片段:

已知圆C:(x−3)2+(y−4)2=4.过定点A(1,0)的直线若l1与圆相交于P,Q两点,线段PQ的中点为M,又l1与l2:x+2y+2=0 的交点为N,判断是否为定值?若是求出其定值,若不是,请说明其理由.

对策在微专题教学中采用一题多解时,不仅要关注多种解法的获取,还要善于寻求多解之“源头”在哪里,挖掘出知识的联系性、系统性,题目哪些条件改变会导致哪些方法不适用,而哪些方法又会显得更容易求解.只有这样正本清源,才能有利于学生对知识深刻理解、掌握,改善思维品质,促进学生的深度学习,“问渠那得清如许,为有源头活水来”.