基于新课标理念的数列教学案例研究

广东省广州市天河区教师发展中心(510650) 王西荣

1 问题提出

在深化课堂教学改革中, 高考命题突出立德树人导向,重点考查学生运用所学知识分析问题和解决问题的能力. 在该理念下,数学教学更凸显以发展学生的数学学科核心素养为基本导向[1].

解析近几年全国高考课标卷中对数列板块的考查,大多题目是明确数列类型,如等差、等比数列,通过将题设条件转换为数列基本量之间的方程或方程组,求解后确定首项与公差或公比这些基本量,进而确定所求的等差数列或等比数列,属于常规题型. 而近两年的全国新高考Ⅰ卷中,对数列考查的题型发生改变,例如通过两个不同的等差数列找公共项构造一个新的等差数列进行求和;或根据新定义分类求和;或递推数列与等差数列结合,考查数列的通项及求和,其中涉及到分奇偶项讨论. 可见,高考对数列知识板块的考查注重数列概念的本质及研究数列的策略、方法. 强调对必备知识、关键能力的考查,特别是对数学思维、数学学科素养、情境创设等环节的考查,并在考查中积极渗透和贯彻核心价值.

基于上述理解, 笔者带领高三数学教师进行数列板块的区域备考时, 在一次区模拟测试中, 设计了这样一道题目: 已知数列{an}中,an> 0,其前n 项和为Sn,且对任意n ∈N∗, 都有(1)求a1、a2、a3, 并求数列{an}的通项公式;(2)求数列{(−1)nan}的前n 项和Tn.

阅卷发现,学生对背景常规,难度不大的数列求解存在较大问题,区得分率只有0.55. 错因分析发现: 大部分学生能记住公式,但对其通项公式的形式不理解,如只会用待定系数法求已知等差和等比数列的通项公式,对没有给定数列类型、需要利用形式多变的递推公式求通项公式的,束手无策;还有学生不知道数列是一个特殊的函数,缺乏用函数的思想及归纳的思想解决问题的意识; 还有学生就是计算不过关.难点在分奇偶项讨论上. 这也暴露出新授课教学中,或以教辅材料为蓝本,以题型训练带新知学习,只注重题目训练,不重视概念教学;或重视概念,但为赶进度,强行“投喂”,轻知识与概念的来龙去脉,不注重学生对知识的自主建构.

对此,笔者尝试通过开设相关主题的区域公开课,研究基于新课标及考试评价体系的数列教学.

2 新课标理念下的数列概念和专题教学案例解析

对于主题教学,分概念课和小专题两种课型教学,概念课注重在教学设计上从函数的观点入手,运用观察、归纳、运算等方法研究数列,进而重点研究两种特殊数列的规律;小专题则从数学运算及数据分析中发现数学规律入手,通过列举、归纳和推理证明推导出非特殊数列的通项公式和求前n项和等相关问题.

2.1 概念教学指向必备知识落实

案例1: 人教版选择性必修第二册“4.1 数列的概念”教学过程节选

节选1: 创设情境,构建概念

情境1:《庄子•天下》中提到:“一尺之棰,日取其半,万世不竭”. 意思是如果把“一尺之棰”的长度看成单位“1”,则每天取其一半,永远都取不完[2].

问题1: 如何用数字来表示每一天剩余的单位长度?

第i 天 第1 天 第2 天 第3 天 第4 天 … 第n 天 …剩余单位长度(li)1 2 1 4 1 8 1 16… 1 2n …

情境2: 某种细胞,如果每个细胞每小时分裂为2 个,那么每过1 小时,1 个细胞分裂的个数依次为: 2,4,8,16,32,….

情境3: 王芳从1 岁到17 岁,每年生日那天测量身高. 将这些身高数据(单位: cm)依次排成一列数: 75, 87, 96, 103,110,116,120,128,138,145,153,158,160,162,163,165,168.

情境4: 在两河流域发掘的一块泥版(编号K90、约产生于公元前7 世纪)上、有一列依次表示一个月中从第1 天到第15 天每天月亮可见部分的数: 5,10,20,40,80,96,112,128,144,160,176,192,208,224,240.

情境6: 无穷个1 排列成一列数: 1,1,1,1,….

【设计思路】创设情境,激发兴趣. 利用多媒体呈现教材中和补充的、涉及数学文化、学科间知识融合、生活实际及数学课程学习等6 个情境. 这些情境蕴涵了不同类型的数列,为学生了解数列概念、数列分类、数列是一种特殊的函数及为后续学习等差数列与等比数列提供素材,做好情感体验与认知铺垫. 首先以情境1 为例,通过列表格引出本节课要研究的主题—数列;其次采用师生互动的形式,学生在教师的演示下,模仿情境1 的分析过程,撇开实际背景,口头说出每个情境中蕴含的“具有确定顺序的一列数”,并用数学符号表示数列,教师板书,使学生对数列的概念有一个初步的整体体验;然后,教师引导学生观察、思考、归纳所给出的这6 个情境的共同特征,进而给出数列的定义及其表达形式.

节选2: 类比探究,理解概念

【复习旧知】复习函数概念,以表格形式呈现. (略)

【合作探究】

问题1: 对于具体的数列而言,如情境2 反映的数列2,4,8,16,32,…,仅用记号{an}表示,并不能反映该数列的实际内涵,请尝试用多种方法表示这个数列(引导学生用列表法、图像法、解析式法表示该数列).

问题2:“问题1”用多种方法表示了同一个数列,这些表示法的共同特征是什么? 都涉及哪些量?

问题3:“问题1”采用的多种方法都反映了序号与项之间的对应关系,这种对应关系有什么特征? 你以前见过类似的情况吗[3]?

问题4: 数列是函数吗? 为什么? 数列的要素是什么?

问题5: 结合前面6 个情境,类比函数的单调性,思考数列的单调性.

【设计思路】设置问题链,引导学生通过小组合作、探究发现数列是一种特殊的函数,自主构建起数列与函数之间的联系an= f(n)(n ∈N∗);并通过“问题1”中数列的三种表示方法,进一步体会函数与数列的关系,逐步揭示数列是函数的实质,从而将数列概念成功纳入到函数的概念体系中去,加深对数列概念的理解[4];通过“问题4、5”,类比函数,给出数列通项公式的概念,并对数列进行分类.

节选3: 典例分析,深化概念

例1根据下列数列{an}的通项公式,写出数列的前5项,并画出它们的图象:

变式: 判断66 是不是数列(1)的项? 若是,是第几项?

思考: 结合本题中2 个具体的数列图象,想想它们与以往学过的函数图象有何区别?

例2根据下列数列的前5 项,写出数列的一个通项公式:

例3传说古希腊毕达格拉斯学派的数学家用沙粒和小石子来研究数,他们根据沙粒或小石子所排列的形状把数分成许多类. 如下图中的1,5,12,22 称为五边形数,则五边形数所构成的数列的第6 项为____,请写出它的一个通项公式____.

【设计思路】 设置三道例题, 例1 的意图: 一是通过写前5 项, 熟悉通项公式的定义, 体会对于任何一个自变量n, 都有唯一的f(n) 与其对应; 二是通过画图、观察图象, 发现数列的图象是由一群孤立的点组成, 让学生直观感知数列是离散型函数, 其离散型的根源是自然数的离散性. 并通过反思, 进一步认识到数列的本质是一种特殊的函数,进而发展学生的思维[4]; 例2 的意图在于引导学生通过观察、运算, 发现所给数列的取值规律, 进而抽象出数列的一个通项公式; 同时通过第(2) 题的通项公式可以写成an= 1+(−1)n+1, 也可以写成an=(注:其实也可以写成an=1+ cos(n+1)π),让学生体会以数列的具体项归纳出的通项公式可能不唯一;例3 以数学史的问题为情境,进一步引导学生在解决问题的同时,体会通过运算发现规律的思想在研究数列问题中的重要作用,进而培养学生的数学抽象、逻辑推理与数学运算核心素养.

本教学案例体现用函数的观点研究数列, 通过情境创设、问题链设计,引导学生以自主探究、合作交流等方式展开学习,经历了“情境分析—共性归纳—抽象概念—概念理解—概念应用”的数列概念生成过程,是用“数学的眼光”看事物,用“数学的思维”探究规律的示范,渗透了数学抽象、逻辑推理和数学运算的核心素养,体现数学教学的育人价值.

2.2 专题教学指向关键能力提升

案例2: 2022 届区一模备考研讨课——数列小专题:“数列中分奇偶项求和问题”设计略案

【题组设计】

题组一: 列举归纳,提炼方法.

热身训练: 分别写出以下所给数列的前八项:

(1)已知数列{an}满足a1= 1, a2= 4,an= an−2+2(n ≥3);

(2)已知数列{an}中,an> 0,其前n 项和为Sn,且对任意n ∈N∗,都有

(3)已知数列{an}中,a1=1,an+1=

观察思考:

(1)讨论“热身训练”的这三个数列有什么共同点?

(2)可归纳总结出以上数列的递推公式吗? 怎样求和?

(3)分析这类问题的数学思想方法.

题组二: 典例分析,形成能力

已知数列{an}中a1=1,a2=4,an=an−2+2(n ≥3),其前n 项的和为Sn,求Sn.

变式: 已知数列{an} 满足a1= 2, an+ an+1=3n+2(n ≥1),其前n 项的和为Sn,求Sn.

题组三: 高考体验,提升思维

(2021年全国新高考Ⅰ卷第17 题) 已知数列{an} 中,a1=1,an+1=n为奇数,n为偶数,

(1)记bn=a2n,写出b1,b2,并求数列{bn}的通项公式;(2)求{an}的前20 项和S20.

拓展: 已知数列{an} 中, a1= 1, anan+1=N∗).

(1)求数列{an}的通项公式;

(2)设bn= a2n−1·求数列{bn}的前n 项和Sn.

【操作实施】

题组一采取的是限时训练. 练习、点评及总结后,教师适时引导学生“观察思考”,以此使学生感知解决该类型数列的通项与求和的方法,为后面的例题分析做好方法引导.

题组二采取的方法是: 在热身训练题的基础方法铺垫下,教师通过例题引导学生发现该数列的奇数项和偶数项分别成等差数列,在求和过程中引导学生对n 按奇数和偶数分别进行讨论、求和. 接着通过变式题进行强化: 先让学生自己尝试解决问题,教师巡视、答疑,及时反馈;接着展示学生的答题情况进行针对性地点评. 在该题的训练过程中,教师引导学生模仿例1,推出{an}的递推公式an+1−an−1=3,进而求解.

题组三的“高考题”是本节课学习目标达成度的检测. 从课堂上学生反映及知识落实情况看,这节课的设计与实施是成功的;“拓展”是给学有余力的学生做的,体现分层教学.

【教学启示】

(1)观察特征,灵活运用解题方法.

本节课的3 个递推式: ①a1=1,a2=4,an=an−2+2;②a1= 2,an+an+1= 3n+2(n ≥1); ③a1= 1,an+1=都是同一种类型的数列,即数列{an}的奇数项与偶数项都是有相同公差的等差数列. 若从数列求和的角度,应灵活多变. 不要一味强调把奇数项的和与偶数项的和各自求出再相加. 如“典例分析”的变式题,即②式求Sn,我们可以有两种处理方式:

一是求出数列{an}的通项公式后求和. 此时可以选择“奇数项和偶数项分别求和再相加”,如:

当n=2k 时,

S2k=(a1+a3+...+a2k−1)+(a2+a4+...+a2k)

=[2+5+...+(3k −1)]+(3+6+...+3k)

=3k2+2k.

当n=2k −1 时,

S2k−1=S2k−2+a2k−1

=3(k −1)2+2(k −1)+(3k −1)=3k2−k.所以,Sn=也可以选择“并项相加”,如:

当n=2k 时,

S2k=(a1+a2)+(a3+a4)+...+(a2k−1+a2k)

=5+11+...+(6k −1)=3k2+2k.

当n=2k −1 时,

S2k−1=(a1+a2)+(a3+a4)+...+(a2k−3+a2k−2)+a2k−1

=S2k−2+a2k−1=3(k −1)2+2(k −1)+(3k −1)

=3k2−k.

二是不求数列{an}的通项公式,直接对n 进行奇、偶数分类求得:

当n 为偶数时,

当n 为奇数时,

(2)抓住本质,凸显数学思想引领.

对2021 新高考Ⅰ卷第17 题的处理, 上课教师是通 过bn+1−bn= a2n+2−a2n=a2n+1+ 1 −a2n=a2n+ 2 + 1 −a2n= 3, 证明出{bn} 为等差数列. 该方法体现了数列的函数思想,推理严谨. 但学生对以分段函数及递推公式为背景的数列问题的解决感到困难.

如果引导学生结合题组一的(3)所列举的前八项a1=1,a2= 2,a3= 4,a4= 5,a5= 7,a6= 8,a7= 10,a8= 11,得出b1= 2,b2= 5,b3= 8,b4= 11,学生很容易猜出数列{bn}的通项公式. 这也正是新教材的要求—通过运算发现规律的思想,即归纳的思想,若证明猜想的正确性,还需要借助于数学归纳法.

3 结束语

近几年数列高考题型灵活多变,教师要深入研究新教材,强调数列是一种特殊的函数,突出函数特性;要让学生经历沿用函数中“事实—概念—性质—应用”的研究途径,培养学生观察与归纳的能力,体会从特殊到一般,再从一般到特殊的思维规律,以此发展学生的数学抽象、逻辑推理和数学运算核心素养.