核心素养立意下的高中数学变式教学案例探析

广东广雅中学(510160) 何 智

1 核心素养视角下变式教学的使命与价值

在高中新课标的修订中,最大变化是提出每一个学科应具备核心素养,学生在接受相应学段的教育过程中,逐步形成适应个人终身发展和社会发展需要的核心素养与关键能力.《普通高中数学课程标准》对数学核心素养的定义进行了界定,它包括六大要素——数学抽象、逻辑推理、数学建模、直观想象、数学运算、数据分析. 学生的数学核心素养实质是其数学思维的个性特征,并由其数学思维的灵活性、广阔性、深刻性和批判性等所直接影响. 在新高考背景下,传统的授课模式已难以适应时代的发展,如何提高课堂效能,培养思维能力,提升核心素养,成为了高中数学教师需要不断思考与实践的课题.

顾泠沅、黄荣金等教授在“变式教学: 促进有效的数学学习的中国方式”中指出,变式教学是对数学教学内容进行不同角度、不同层次、不同情形、不同背景的变式,以暴露问题的本质特征,揭示不同知识点之间内在联系的一种教学设计方法. 题目的形式可以千变万化,但本质不变: 或考察内容的基本概念不变,或考察内容的思想方法不变,或考察内容的技巧思路不变. 顾明远教授说过:“变式教学是在教学中用不同形式的直观材料或事物说明事物的本质,或变换同类事物的非本质特征以突出事物的本质特征. ”可见,通过变式教学,能使学生对数学概念、技能、思想方法等有多角度的理解,提升数学思维品质,进而发现问题的本质,从而有效提升数学核心素养.

教师在课堂教学时应该充分运用多种形式的变式教学策略,有意识地引导学生从“变”的现象中发现“不变”的本质,从“不变”中探求规律,逐步培养学生的反思意识与求异思维,增强其应变能力,激发其学习数学的积极性和主动性,培养其探索精神和创新意识,从而真正把对核心素养的有效训练和能力培养落到实处. 下面根据笔者多年的教学实践,对基于核心素养的高中数学变式教学进行了典型案例探析,以期给广大教师提供一些借鉴和参考.

2 核心素养立意下的变式教学案例探析

2.1 数学概念变式

数学概念是构建数学理论大厦的基石,是数学学科的精髓与灵魂,是提高数学解题能力的重要前提. 所谓概念变式,就是教师针对概念的内涵与外延精心设计问题让学生辨析概念,或是寻找概念的等价形式或是明确变式含义,并探讨等价形式及其变式的应用,达到透彻理解概念,灵活应用概念的目的.

例1关于抛物线定义的应用,设计下述变式:

[变式1] 已知抛物线y2=2px,点P(4,m)在抛物线上,若P 到焦点的距离等于6,求P 和m 的值.

[变式2] 若动点P 到定直线x+6=0 的距离比它到点A(3,0)的距离多3,求点P 的轨迹.

[变式3] 已知顶点在原点的抛物线, 其焦点在x 轴上,又抛物线上一点M(3,m)到焦点的距离为5,求此抛物线的方程及m 的值.

[变式4] 已知点P 是抛物线x2=4y 上的动点,B(6,4),则点P 到点B 的距离与点P 到x 轴的距离之和的最小值是____.

[变式5] 已知点A(x1,y1),B(x2,y2),若直线AB 经过抛物线y2=2x 的焦点,且x1+x2=3,求点A,B 的坐标.

通过例1 的变式,可有效澄清学生对抛物线定义这一数学概念的模糊认识,绕过错综复杂的概念误区,从而发现并理解概念本质,能有效提升学生在数学抽象、数学建模方面的核心素养.

2.2 数学命题变式

在数学教学中,很多公式定理的推导和证明过程都具有典型性,常常代表某类比较典型的解题方法和解题思想. 所谓命题变式,就是在接触一个新的定理或公式时,将其还原并剖析其本质属性. 许多定理公式都有变式,这些变式为我们培养学生的核心素养提供了广阔天地,有利于学生更深刻地理解数学定理公式的本质, 有利于培养学生的辩证思维,形成良好的核心素养.

例2在复习椭圆性质时,设计下述变式:

例2 由“原题”引申出来的四道变式题有较好的代表性和开放性,可在课堂上采用分小组合作交流讨论,让教学过程有效培养学生思维能力,能有效提升学生在逻辑推理、直观想象方面的核心素养.

例3在复习两角和与差的余弦公式时,设计下述变式:

2.3 数学语言变式

数学思维方法的掌握和运用, 离不开数学思维的载体-——数学语言. 数学语言可分成文字语言、图形语言、符号语言. 数学语言的掌握情况是一个人数学能力和数学素养的主要反映,也是影响其数学学习的重要方面. 数学语言变式就是对此三种数学语言之间进行转换,从而培养学生的“语言”转换能力和分析问题、解决问题的能力. 实践证明,学生数学语言的运用能力已成为数学核心素养发展的关键要素.

例4[原题] 方程2sin2x −cos x −a = 0 有实数根,求参数a 的取值范围. 常规思路是令x = cos θ,x ∈[−1,1],原方程可化为2x2+x+a −2=0.

[变式1] 方程2x2+x+a −2 = 0 在[−1,1]至少有一个实根,求参数a 的取值范围. (原题转换为代数方程语言)

[变式2] 求函数a(x)=−2x2−x+2,x ∈[−1,1]的值域. (原题转换为函数语言)

[变式3] 若直线y =a 与抛物线y =−2x2−x+2(−1 ≤x ≤1)相交,求参数a 的取值范围. (原题转换为图形语言)

例4 从不同角度对问题进行重新表述和刻划,几种数学语言的互译,往往可以成功地启迪思维、探寻到解题的思路和方法,能有效提升学生在数学抽象、数学运算方面的核心素养.

例5[原题] 10 个相同的小球,全部放入3 个不同的盒子中,每个盒子至少一个,一共有几种放法.

[变式1] 高一年级共有10 个三好学生名额,现在要把名额全部分配到三个班中,每班至少一个,一共有几种分法.

[变式2] 方程x+y+z =10 的正整数解有多少组.

例5 的原题和两个变式题解决的方法都可同样用“插板法”,虽然表述不同,但题目有根本的共同点: ①所要分的元素是完全相同的; ②元素必须全部分完; ③每个地方至少分到一个,这让学生对题目的本质有了深刻理解,能有效优化学生在数学建模、数据分析方面的核心素养.

2.4 数学解题变式

在问题解决的教学过程中,当学生获得基本解法后,可通过改变问题的条件设置,改变问题所求结论、改变问题情境等多种方式,使学生对知识、方法的理解与掌握得到强化,以便学生形成对问题的多方面、多角度的思考,让学生的思维跳出某一固定模式,避免形成思维定势,从而提出新问题或获得同一问题的多种解答或多种结果,让学生在解决问题的过程中获得知识和技能,有效提升核心素养.

例6[原题] 已知{an} 满足an+1= an+ n + 1, 且a1=2,求an.

[变式1] 已知{an}满足an+1=an+n+1,且a1=2,求an.

[变式2] 已知数列{an}满足an+1=an+3·22n−1,且a1=2,求an.

[变式6] 已知数列{an}满足nan+1=(n+1)an+1,且a1=1,求an.

[变式7] 已知数列{an}满足nan+1= (n+2)an+1,且a1=1,求an.

作为高考常考内容的“递推数列”, 是变式教学的极好素材,向特殊数列(等差、等比数列)转化与利用特殊数列的性质求通项是主要渠道. 例6 的变式为多题归一, 即不管题目条件怎么改变,最终指向只有一个,就是用累加法求解an=a1+f(1)+f(2)+···+f(n −1),学生真正做到举一反三,有效提升了学生在逻辑推理、数学建模方面的核心素养.

3 核心素养观下数学变式教学的实施意义

实践证明,要提升学生核心素养,利用变式教学是一种很有效的方法, 变式教学可以在一定程度上降低学习难度,让课堂变得生动高效. 教师通过变式教学创设问题情境,为学生提供创造的环境;在解题中教师通过变换题目的条件、结论、图形,引导学生从不同的方面考虑问题的解答,发挥学生创造的潜能,激发创造的动机,培养创造的品格;教师通过一题多证变式即对同一数学问题,引导学生在所学的知识范围内尽可能地提出不同的解题构想和方法,从而发展学生创造的潜能,鼓励创造的行为;对例题、习题进行变通推广,让学生在不同角度、不同层次、不同情形、不同背景下重新认识,激发学生的思维, 有助于培养学生的探索精神和创新意识,同时利用“变式”能将知识由特殊到一般,由浅入深,由“旧”到“新”层层递进;学生可多层次、广视角、全方位地认识数学问题. 在“双减”背景下,数学教师要站在时代前沿,用核心素养的理念实践高中数学变式教学,积极引导学生探索问题的变化、发现问题的本质、揭示蕴含的数学思想,有效地激发学生的学习兴趣,从而使学生真正提高分析问题、解决问题的能力与方法,养成自主学习、自我构建的积极学习方式和态度,切实让学生从题海中走出来,有效提升数学核心素养.