粗糙模糊集上重截集及下重截集的运算性质

何天荣 胡春梅

【摘要】通过引入“领域”和“重域”两个概念，由此引入了粗糙模糊集的新截集：λ-下重截集，λ-上重截集.本文给出了粗糙模糊集的上重截集和下重截集的运算性质，性质的证明可以参照粗糙模糊集上截集的运算性质的证明方法，将在另文中讨论.

【关键词】粗糙集;模糊集;粗糙模糊集;截集

【基金资助】云南省教育厅科学研究基金教师类项目《粗糙模糊集构造性质的推广研究》（项目编号：2019J0384）

一、粗糙集的基本概念

1.知识与知识库

定义1 设U≠是一个有限非空集合，集合的元素是我们所感兴趣的对象，我们称U为论域，称满足条件XU的U中的任何子集称为U的一个概念.为理论表述上的规范化起见，将空集也称为一个概念，U中的抽象知识表示的是U中的任何子集族，即称U中的任意子集族皆为U中的抽象知识，简称为知识.粗糙集理论只对论域U上可以形成划分的那些知识感兴趣，为理论表述的严谨性，将划分定义为：σ={X1，X2，…，Xn}，Xi∈U，Xi≠，Xi∩Xj=，规定：i≠j;i，j=1，2，…，n，∪ni=1Xi=U.

所谓U的一个知识库（Knowledge Base）表示的是U上的一族划分.由此可见，一个知识库表示的就是一个关系系统K=（U，R），其中，U表示某个非空的有限集合，称其为论域，R表示的是U上的某個等价关系.

2.基本范畴

设R为U上的某一个等价关系（或者称为不可分辨关系），将由R的所有等价类构成的集合记为 U/R.[x]R表示的是包含满足关系x∈U的所有元素的R等价类.

设PR，且P非空，则称∩P（P中所有等价关系的交集）为P上的不可区分关系，记为ind（P），显然有如下关系：[x]ind（P）=∩R∈P[x]R.

称ind（P）的等价关系为知识P的基本概念或称为基本范畴.

3.粗糙集

令X是U的某个子集，即XU，R表示U上的某个等价关系，若X可以由R的某些基本概念（或称范畴）并集，我们将X称为可定义集或精确集，否则称X为粗糙集.

设K=（U，R）为一给定的知识库，对U的任意子集XU及任何等价关系R∈ind（K），将以下两子集R-X={x∈U|[x]RX}及R-X={x∈U|[x]R∩X≠}分别称为X的R下近似集和X的R上近似集.

二、模糊集的基本概念

1.模糊子集

设A是论域，映射A：Y→[0，1]称为Y的一个模糊子集，简称为F集.称映射A为F集A的隶属函数，称A（x）为y关于A的隶属度.

2.截集

设A∈F（Y），λ∈[0，1]，我们称Aλ={y∈Y|A（y）≥λ}为A的λ-截集，称Asλ={y∈Y|A（y）>λ}为A的λ-强截集.

三、粗糙模糊集及截集

1.粗糙模糊集

粗糙模糊集是在Pawlak近似空间（U，R）的论域U上定义一个等价关系 R，对论域U上的某个模糊集合A用粗糙集理论方法来研究，即定义该模糊集合的下近似A及上近似A;可得A关于（U，R）的下近似A以及上近似A其实就是（U，R）上的一对模糊集合，将这对模糊集合的隶属函数分别定义为

A（x）=inf{A（y）|y∈[x]R}x∈UA（x）=sup{A（y）|y∈[x]R} x∈U

其中，[x]R表示元素x在关系R下的等价类.若A=A，则称A是可定义集，否则称A是粗糙模糊集（Rough Fuzzy Sets）.

2.粗糙模糊集的上重截集及下重截集

设A是论域U上的一个模糊集，λ∈[0，1].

（1）A[λ]={x|x∈U，A（x）≥λc}，

As[λ]={x|x∈U，A（x）>λc}，

A[λ]={x|x∈U，A（x）≥λc}，

As[λ]={x|x∈U，A（x）>λc}，

分别称为A，A的λ-下重截集，强λ-下重截集.

（2）A[λ]={x|x∈U，A（x）<λc}，A[λ]s={x|x∈U，A（x）≤λc}，

A[λ]={x|x∈U，A（x）<λc}，A[λ]s={x|x∈U，A（x）≤λc}.

分别称为A，A的λ-上重截集，强λ-上重截集.其中λc=1-λ.

四、粗糙模糊集截集的运算性质

以下运算指的是Zadeh算子定义的运算，A，At，At表示U上的粗糙模糊集，α，λ，λ1，λ2表示[0，1]中的实数，∨=sup，∧=inf.

粗糙模糊集共有四种截集形式，对应于四种截集形式，都有相应的运算性质成立.关于上截集和下截集形式的运算性质我们将在另文中讨论，本文性质可以根据粗糙模糊集上截集运算性质的相关证明方法及参考相关文献资料类似证明.

为了节省篇幅，对以下两个运算性质只给出上重截集形式的粗糙模糊集运算性质的证明，下重截集形式的粗糙模糊集的运算性质可以用完全类似于上重截集形式的运算性质加以证明.

1.粗糙模糊集上重截集的运算性质

（1）（A∪B）[λ]=A[λ]∪B[λ]，（A∪B）[λ]=A[λ]∪B[λ];

（A∩B）[λ]=A[λ]∩B[λ]，（A∩B）[λ]=A[λ]∩B[λ];

（A∪B）s[λ]=As[λ]∪Bs[λ]，（A∪B）s[λ]=As[λ]∪Bs[λ];

（A∩B）s[λ]=As[λ]∩Bs[λ]，（A∩B）s[λ]=As[λ]∩Bs[λ].