蝴蝶定理、牛顿定理之间的联系

李伟健

(安徽省滁州中学 239000)

蝴蝶定理过圆内接四边形对角线的交点，作连心线的垂线，该垂线被四边形对边所截线段等长.

文[1]记录了蝴蝶定理的证明、变形与推广，这一发展历程显示了该定理与笛沙格对合定理之间的联系.实际上对角线的交点是一个自对应点，但是另一个自对应点为什么是该垂线上的无穷远点？

当对角线的交点在圆的内部时，该问题是显然的；当对角线的交点在圆的外部时，再从欧氏平面看，直观性就不强了.这也是为什么平面几何中对对角线交点在圆的内部和外部分别予以证明的原因.

从射影平面看，二者是统一的.因为圆内接四边形对角线的交点与圆心连线，其极点恰恰是该垂线上的无穷远点.所以对角线的交点、该垂线上的无穷远点调和分割该垂线与圆相交所成点对.这一点就可以解释另一个自对应点的确是该垂线上的无穷远点.

牛顿定理圆外切四边形的两条对角线的中点，及该圆的圆心，三点共线.

文[2]记录了牛顿定理证明较有代表性的面积法，文[3]更是给出一个异常漂亮的几何方法，文[4]创造性地提出质点法并以非常简洁的方式证明了牛顿定理.本文无意去比较牛顿定理不同证明的优劣，目的是揭示蝴蝶定理、牛顿定理之间的联系.发现牛顿定理与蝴蝶定理的一个变形射影等价.

先从蝴蝶定理的一个简单变形谈起，即：

图1

结论1设圆O的内接四边形ABCD，AB、CD、BC、AD与过圆心O的直线交于点P、Q、X、Y，且OX=OY，那么OP=OQ.

该问题的实质与蝴蝶定理相同，这是因为结论1中也是对合自对应点的性质.一个自对应点是圆心，另一个自对应点是该条直线上的无穷远点.

本文感兴趣的是结论1的另一种等价表述，即：

图2

结论2设圆O的内接四边形ABCD，AD、BC交于点E，AB、CD交于点F，过点E作直线l使得l、EO调和分割EC、ED，过点F作直线m使得m、FO调和分割FA、FD，那么l、m交于无穷远点.

其实，从欧几里得平面看，l∥m.具体的证明，读者可以过O作l的平行线n交直线AB、CD于点P、Q，交直线BC、AD于点X、Y.

因为l、EO调和分割EC、ED，且n∥l，所以OX=OY(一线段被它的中点和这直线上的无穷远点所调和分割[5]).根据结论1可知，OP=OQ.又m、FO调和分割FA、FD，所以n∥m.那么l∥m(欧几里得平面)，即l、m交于无穷远点(射影平面).

前面已经提出，本文的目的是获得蝴蝶定理和牛顿定理之间的联系，结论2作为蝴蝶定理的一种变形，从配极对应的角度看，结论2正是牛顿定理.即：

结论3设圆O的外切四线形abcd，a×d、b×c连线为直线e，a×b、c×d连线为直线f，在直线e上作点L使得L、e×l∞调和分割e×c、e×d，在直线f上作点M使得M、f×l∞调和分割f×a、f×d，那么LM经过圆心.

图3

注:l∞指的是无穷远直线.

其实，从欧几里得平面看，点L、M即为对角线的中点.

所以结论3也就是本文开始提到的牛顿定理，因此牛顿定理与蝴蝶定理的一个变形射影等价.这一例子再一次说明：在欧氏空间里某些不好解释的现象，从射影空间的观点看，就有满意的说明，观点越高，事物就显得越简单[6].