中学数学教科书中问题设置的分析与启示

王 嵘 王翠巧

(人民教育出版社 课程教材研究所 100081)

问题在数学中的重要性不言而喻.最新课程文件《普通高中数学课程标准(2017年版)》[1]首次明确了数学课程的“四能”：从数学角度发现和提出问题的能力，分析和解决问题的能力.那么教科书中关于问题及问题能力构建的情况如何呢？为此，我们从教科书中问题设置数量的历史性变化入手，分析问题设置的变化以及新变化带来的学习机会，以期在义务教育数学教科书修订之际，为数学教科书中的问题设置及问题能力构建提供一些有益的启示与建议.

1 问题设置的历史变化

对于基础教育课程，2000年是教学大纲向课程标准的变化节点.鉴于此，通过统计人教版九十年代和2000年之后共三个版本的中学数学教科书[2-7]中的问题数量，我们发现初中教科书中问题的数量逐套减少，而高中教科书中问题的数量逐套增加.为了进一步了解问题数量变化之处，根据问题在教科书中所处的位置，我们又将教科书划分为正文和习题部分，而正文又进一步划分为知识讲解和例题部分，这三部分的问题数量统计数据如图1和图2所示.

图1

图2

可以看到，无论是初中还是高中，九十年代教科书中的问题，基本就是题目，其中又以习题，即用于学生练习的题目为主，比重达到了81%；2000年以后，习题的比重下降了近20%，而知识讲解部分比重增加了近20%.

事实上，作为教科书主体问题的例题和习题，因其在知识学习和能力培养方面的重要价值，一直是我国数学教科书的特色之一，而教师由教科书中的众多经典例题和习题出发编制变式问题进行教学，也成为我国中学数学教学的特色之一[8].如今，与以往教科书相比，在2000年后的中学教科书中，问题不仅是例题和习题，知识讲解部分增加了大量的新问题.那么这些新问题作为数学学习活动的载体，它们为数学学习提供了哪些机会，又从哪些角度培养了数学能力呢？

2 新问题及其类型的分析

数学问题能够把学生的注意力引向特定的学习内容，促使他们积极思考、理解和运用数学.不同认知要求的问题往往会带来不同的学习机会，而高认知要求的问题需要学生进行有联系、综合地思考.教科书中的知识讲解本身就是一个新知识学习的过程，那么知识讲解中的问题必然承担着为学生提供学习机会的任务.因此，我们采用从一个问题所提供的学习机会角度对问题进行分类，将知识讲解中的问题分为两种机会五种类型：如果是让学生拥有一项知识，根据认知水平，分为了解和理解两类；如果是让学生经历一个思维过程，根据思维方式，分为抽象与概括、探究与发现、反思与归纳三类.

根据这种分类方法，我们从类型分布和知识领域分布两个角度分别统计了现行中学教科书[4][7]中这五类问题的数量，来分析新问题为学生提供学习机会的情况.

2.1 知识讲解部分问题的类型分布

图3是初中和高中知识讲解部分中不同类型问题数量的百分比，可以发现初中阶段了解和理解并重，高中阶段更加注重知识的理解；同时，初高中都很注重让学生去探索与发现.

图3

具体到每一类，在初中，探索与发现占比最高，将近40%，其次是了解和理解，这三者之和占比约85%；在高中，探索与发现、理解的占比几乎一样高，这两者占比达到了70%.同时，无论是初中还是高中，反思与归纳占比都最低，分别为3%和6%.

2.2 知识讲解部分问题类型的知识领域分布

图4和图5分别是初中和高中知识讲解部分问题在不同知识领域的数量百分比.结合各个领域的课时量，四个知识领域中问题数量的分布很均衡，每课时约2个问题.

图4

图5

在初中阶段，函数和概率统计领域为拥有知识和经历思维过程提供了几乎同等的学习机会，而代数和几何领域为经历思维过程提供了更多的学习机会；四个领域为经历思维过程提供的学习机会，主要都是探究与发现，尤其是概率统计，“经历思维过程”就是探究与发现，几乎没有抽象与概括、反思与归纳.

在高中阶段，函数和几何领域为拥有知识和经历思维过程提供了几乎同等的学习机会，而代数和概率统计领域则为拥有知识提供了更多的学习机会，特别是代数领域；函数领域更加偏重探索与发现，代数、几何、概率统计中理解、探究与发现并重.

总的来说，初中阶段的四个领域一致偏爱探究与发现；高中阶段，代数领域更偏爱拥有知识，而函数领域对拥有知识和经历思维过程则同等对待.

3 问题设置的启示与建议

问题及问题能力培养一直是我国数学课程的关注点.相应地，教科书编者也在培养学生问题能力方面不断地做出努力，从例题、习题到知识讲解部分新问题的设置.可以说，在问题设置上，教科书已经发生了巨大的变化，这种变化给我们带来了一些启示，同时由于这种变化比较新，需要未来教科书编写研究的关注和完善，我们也提出一些相关的建议.

3.1 启示

(1)教科书的新特征：问题引导学习

近三十多年来，教科书中问题的分布和关注点在改变.九十年代及以前，问题基本上就是题目——例题和习题，教科书示范如何解决问题和为学生提供解决问题的机会；2000年以后，问题遍布了教科书的各个角落，特别是知识讲解部分，增加了大约500个问题，这些问题为学生提供了与拥有知识同等比重的经历思维过程的机会，即让学生知道如何去思考.

从初中到高中教科书的知识讲解部分，四个知识领域中问题数量的分布也很均衡，大约都是每课时2个问题；而且呈现问题的方式比较多样化，既有专门的问题栏目，如“观察”“思考”“探究”“归纳”，又有穿插于正文的问题和作为旁注的思考小贴士.这都说明“问题引导学习”已经成为2000年后教科书的一个较为稳定又显著的特征.

(2)丰富的问题类型：提供多种学习机会

知识讲解部分的问题，不仅类型丰富，而且每一类型下又有各种不同的表现形式.其中，很多形式的问题改变了我们对教科书的固有认识，让我们意识到问题可以很丰富，理解和做数学的方式可以多样化，而且多种学习机会还可以满足不同水平学生的需求.

例如在理解型问题中，教科书有两种特别的表现形式：举例说明和多元表示(意义)之间的解释和转换.对于前者，教科书在给出一个概念后，要求学生举各种例子：数学例子和实际例子，正例和反例.例如集合知识讲解部分有4个这类问题，“举几个空集的例子”“举例说明，用自然语言、列举法和描述法表示集合时各自的特点”等. 举例说明的一个好处是学生为了给出适切的例子，就需要思考“概念的内涵是什么”，有助于概念的理解.对于后者，随着年级的上升，这种多元表示(意义)之间的解释和转换的要求越来越多，特别是高中后期，在学习解析几何、向量、复数、概率统计时，这类问题很常见，“联系地”学习成为一种常态.

再如在探究与发现型问题中，有这样一类问题，它们通常出现在教科书的节引言中，例如问题“同一直线上的向量可以由位于这条直线上的一个非零向量表示，类似地，平面内任一向量是否可以由同一平面内的两个不共线向量表示呢？”，我们认为这是一个“大问题”，即可以引出或分解成几个问题，产生一些新知识或方法，具有一定的延展性.类似于这样的大问题，可能会为有能力的学生打开自主探究的一扇门，另辟蹊径，突破教科书已有的学习路线.

3.2 建议

虽然问题引导学习成为教科书的一项特征，但是问题类型的分布存在差异，特别是有的问题类型在某些领域中就没有；而且，研究过程中分析问题时，有些现象也让我们感到困惑，例如，某些问题在教科书中似乎并没有起到引导思考的作用等.因此，我们认为无论是问题类型的分布还是问题本身，都需要进一步精致化.

(1)问题设置：一种系统的规划

数学教科书中知识讲解部分的问题，需要一个系统的考虑.就像教科书中的习题有不同的层次一样，各类问题的比例也需要一种系统规划.我们认为至少可以考虑如下两点：一是调整某些问题类型的占比，比如初中教科书中“探究与发现”型占比近50%，“反思与归纳”型占比才3%.每一种类型对学生的思维有不同的作用，带给学生的学习机会也不同，就像反思与归纳，既是提高问题解决能力的关键环节，也有助于问题提出能力的培养.因此，各种类型问题的占比需要系统考虑，就目前状况而言，反思与归纳型问题、抽象与概括型问题需要加强.二是突破某些知识领域中问题类型的空白，比如初中概率统计领域中几乎没有抽象与概括、反思与归纳，高中代数领域几乎没有抽象与概括.虽然知识领域对于问题类型的偏好和知识的特点有一定的关系，但是偏好到几乎空白的程度仍然是不恰当的.因此，各个知识领域也需要系统考虑问题的类型，以实现合理配比.

(2)问题设置：提升问题的有效性

在教科书中，有些问题似乎是为了引出下文，而不是在于引发学生的思考，例如，紧随问题“怎样判断直线与平面平行呢？”之后就是“根据定义，判定直线与平面是否平行，只需要判定直线与平面有没有公共点”.类似于这种自问自答方式下的问题，我们感觉更多地是改变平铺直叙的行文方式，至多激发学生的一点兴趣，并不能为学生提供充分的思考机会，没有充分发挥知识讲解部分“问题引导学习”的作用.因此，类似于这种问题，我们建议改变问题的呈现方式，提升问题的有效性，以保持教科书问题引导学习特征的一贯性.