深入浅出：数学概念教学的备课历程与教研思考①——以“函数的概念”为例

张 敏

(江苏省沙溪高级中学 215421)

1 问题提出

众所周知，备课对课堂教学具有定向作用，备好课是上好课的一个必要条件. 备课的结果往往是以一份教学设计呈现出来，在“互联网+”时代，教师想获取一份质量较高的教学设计不是一件难事，问题在于拿着这样一份优秀教案未必能演绎一节精彩的课，究其原因，就是呈现出来的教学设计已经扫除了备课时的痕迹，没有亲自经历“深入”备课的研究历程，由此很难做到“浅出”.在平时与同行的交谈中还发现另一种现象，有些教师在备课时确实花了很多时间和精力，可备出的课还是不尽如人意.因此，在当前新课标新教材的背景下，加强备课研究，理应成为提高工作质量和效益的最重要的教研环节.

函数概念是中学数学中最重要的概念之一，其在整个数学发展中具有突出的地位，函数的思想和方法贯穿高中数学课程的始终，并且函数概念因为其高度的抽象性成为师生最难把握的概念之一，是培养学生数学核心素养的良好载体. 有鉴于此，本文以“函数的概念”为例，结合自身备课经历，就如何进行数学概念教学的备课谈一点拙见和思考，敬请同行专家们批评指正.

2 备课历程

《普通高中数学课程标准(2017年版2020年修订)》(以下简称“新课程标准”)强调：要将数学学科核心素养的培养贯穿于教学活动的全过程；要深入理解数学学科核心素养的内涵、价值、表现、水平及其相互联系；要关注数学学科核心素养目标在教学中的可实现性.理解数学概念能较好让数学核心素养落地，重视数学概念已成共识，数学概念的教学研究更要“不惜时、不惜力”. 这是因为数学概念高度凝结着数学家的思维，是数学地认识事物的思想精华，是数学家智慧的结晶，蕴含了最丰富的创新教育素材.

就目前现状而言，针对数学概念，无论是教师的教还是学生的学，都存在诸多困难. 从意义创生的角度，教师对教材的理解可分为意义复原式教材理解和意义创生式教材理解.传统的教师一般只停留在意义复原式教材理解的层面，但优秀的教师会从意义复原式走向意义创生式，这是优秀教师对于教材理解的转向.教师对教材创生式理解的过程同时也是一种教师自我理解的过程，笔者结合自身教学实践，梳理了数学概念的备课历程，就好比建造房屋，需要经历“打地基、搭框架、精装修”三个阶段，也就是说“前理解—理解—自我理解”是意义创生式教师教材理解的逻辑框架，以此实现教师对教材的自我理解.“一切理解都是自我理解”，教师教材理解应在整体性视域中根据数学学科课程标准和学生的需要，从整体上理解教材的编写思路，深入挖掘教材中隐含的思想、观点和方法，从而增强教师对新课标新教材的自我理解能力，提高教学设计的科学性和课堂教学的实施能力.

2.1 打地基——自我理解

这个阶段所做的工作就是广泛学习，以己昭昭才能使人昭昭，实现自我理解. 理解数学概念的意义以及所教数学知识的程度是制约教学设计水平提高的重要因素. 理解什么，怎么理解，下面从三个方面阐述.

(1)理解数学

章建跃博士指出：“理解数学是教好数学的前提. 大量课堂观察表明，数学教学质量低下的原因，追本溯源，主要来自于教师的数学理解不到位. 很难想象一个对所教知识似懂非懂的人能引导学生的数学思考. ”其中，理解数学概念主要从以下几个方面入手.

我们在针对某一数学概念进行备课时，不妨按照以上列表进行资料的收集与整理.真正做到“入乎其内”，深入理解数学概念，为后面进行教学设计打下坚实的基础.

(2)理解学生

理解学生的核心是理解学生的数学思维规律，而数学概念的理解主要让学生经历完整的抽象过程，并概括出概念的本质特征.

对于函数概念而言，学生已掌握了初中函数的概念，集合的基本知识，学生的难处在于从“变量说”到“集合——对应说”的转变，尤其是学生初中时期主要是用解析式表示函数，对图象、表格表示的函数往往认识不到位，所以要想办法帮助学生认识“对应关系”这一函数概念的核心.

(3)理解教学

数学是思维的科学，数学学科的特点决定了数学教学的特点和规律，只有遵循规律，教学质量和效益才能得到保证.

教之道在于度，教师所储备的知识也不是一次性和盘托出.通过“理解数学”环节，获取的是数学知识的“学术形态”，而“理解教学”环节就是基于“理解学生”，开发出数学知识的“教育形态”，从而实现数学知识从“冰冷的美丽”到“火热的思考”.

“打地基”的目的就是以己昭昭，在备课过程中如何获取这些知识，可以围绕新课标、新教材，以及优秀专业论文汲取养分，也可以向优秀教师学习借鉴.当然，这个过程也要循序渐进，螺旋式上升，不断充实与更新.在此阶段，我们还要广泛涉猎，收集一些有利于理解数学概念的试题，以备后用.比如，在“函数概念”备课时，可类举如下备用试题：

试题下列哪些y是x的函数，为什么？

(2)y=1(x∈R)；

(5)如果集合A=B={x|-5≤x≤5}，那么以下四个图像所表示的x与y之间的关系是集合A到B的一个函数关系吗？为什么？

(6)某位学生的几次考试成绩情况如下：

序号数x123456成绩y909390缺考9892

2. 2 搭框架——科学设计

中学阶段学习数学概念，通常采用的是概念形成的方式，即从典型、丰富的具体实例出发，经过自己的实践活动，由具体到抽象，由特殊到一般，从中归纳、概括出一类事物的共同本质特征，从而理解和掌握概念.

就函数概念教学而言，关键是要为学生铺设概括函数概念的通道，模拟数学家们发现概念的过程.基于以上对函数概念的认识和理解，我们搭建如下的框架结构.

其中，创设情境：给出了三到四个具体情境，每个情境的函数表示方法各不相同，让学生感知图象、表格、解析式等都只是函数的表示形式，而非函数的本质属性.归纳共性：分析实例，逐个归纳，提炼共性，重点是让学生理解函数的本质是一种对应关系，这种对应关系就像“住酒店”(每个人只能住一个房间，多个人可以住同一个房间，但一个人不能住多个房间)，为后面从对应关系视角建构新的函数定义做好铺垫.概括定义：三种数学语言准确严谨建构出新的函数概念，当一个核心概念建立后，为了表述和研究方便，往往需要建立相应的辅助性概念，进而给出定义域、值域的定义.深化理解：即数学运用环节，正反举例，及时巩固、深化学生对函数概念的认识.这是一种创造性理解，“理解不是一种单纯重构过程，而始终是一种创造过程”，是需要发挥自己的创造力，显然，没有师生的创造性理解，再好的教材也很难在教学实践中发挥出良好的作用。

2.3 精装修——精致优化

精装修的过程就是一个反复打磨的过程，注重对细节的雕琢.就“函数的概念”一课，主要针对实例的选择和问题的提出进行精雕细琢.

(1)实例的精致

鉴于函数概念的抽象性，教学中应通过具体的、现实的、学生熟悉且感兴趣的情境加深学生对函数概念的理解.在函数概念的引入、表示、性质和应用等各阶段都要注重实例，为学生提供理解函数概念的“参照物”.选取的实例要具有承上启下的作用：既是对初中已学的函数概念的进一步深入，又是为下一步用集合的语言刻画函数概念的本质做好伏笔.此外，实例要符合学生的认知规律，化抽象为直观，使得学生容易理解，有助于学生有效地区分函数的表示形式与函数的实质.

(2)问题的精致

一个好问题胜过一千次说教.教学中设置的问题质量直接决定着课堂的教学效果，设计的问题一定要“基于学生已知，通向学生未知”，能够促进学生理解，揭示问题的本质.问题的提出要“适时适度”.比如，本课例中，设置如下情境引导学生思考.

情境一枚炮弹发射后，经过26s落到地面击中目标. 炮弹的射高为845m，且炮弹距地面的高度h(单位：m)随时间t(单位：s)变化的规律是h=130t-5t2，那么炮弹距离地面的高度h是时间t的函数吗？为什么？

表2

课例中给出的几个实例分析思路一致，不妨教师示范一个，然后让学生尝试独立完成其余的实例，教师适时给予指导，带领学生分析每个实例时要注意强化以下三点：①显化两个集合；②体验对应关系；③揭示共同属性.板书如下：

3 教研思考

3.1 概念教学要紧扣教材

紧扣教材就是要求教学要特别重视对基本概念和课本上的基本问题的研究.教师和教材是一个整体，教师的教材理解应树立整体性观念.教师对教材的理解过程也即教师自我理解、自我精神获得提高的过程.对数学的每一个概念，不仅要讲清它的背景，创设适切的情境，设计相应的问题，还要理解课本上相应的例题、习题和复习题的价值所在.通过这些深入的教材研究，整体把握教学内容，深刻理解教材编写意图，让学生进一步理解新概念的学科价值与育人价值，以及基于课本的对概念的发展而精心设计一个主题、一个单元、一个章节的课堂教学，引导学生用数学的眼光观察现象、发现问题，使用恰当的数学语言描述问题，用数学的思想、方法解决问题.在问题解决的过程中，理解数学内容的本质，促进学生数学学科核心素养的形成和发展.这是一种教学艺术与智慧.比如，本文中表1提及的“函数概念的来源、本质、表述、联系”问题，通过新旧知识的广泛密切联系， 揭示了函数的概念抽象的思维方式，增大了知识的容量， 使概念得到进一步巩固和深化， 增加了知识的灵活运用能力， 有利于数学结构化和系统化观念的形成.此方法若在新授课能加以很好的研究与运用，并进行一定的联系与拓展，那么学生不仅能加深对函数的基本概念的理解，同时也掌握了运用类比思想和发展的眼光看待新旧概念的联系与发展，这样在面对新的数学概念时，就会运用课本上所体现的数学方法和数学思维，对新概念进行深入研究，促使教师把教学活动的重心放在促进学生学会学习上，积极探索有利于促进学生学习的多样化教学方式，引导学生在平凡的问题中发现数学的真善美.

表1

3.2 概念教学要重视生成

教学实践告诉我们，在概念教学过程中，重视并恰当地解决好“生成”是新课程所倡导的返璞归真及努力揭示数学概念、法则、结论的发展过程和本质的最好抓手.其次，课堂“生成”产生和解决是培养学生能力的重要平台.课堂“生成”的基本特质就是“提出问题”和“解决问题”．这个过程更侧重的是人的能力的培养．知识是会遗忘，能力却是永恒的.再次，重视生成的课堂才是本真的课堂.课堂上由于每个个体知识、阅历、认知水平等方面的差异性，使得学生们对同一个问题有不同的思考与认知，由此会产生不同的“生成”．当学生并不完全行走在教学预设的轨道上时，师生进行互动调整，积极利用生成的教学资源，这是一种本真的课堂，是一种以人为本的课堂．概念教学只有重视生成，学生就会尝试用自己的语言阐释数学概念， 结合文字、符号、图形或表格等多种语言来描述概念.反之，如果一堂概念教学新授课只有预设，而无生成，那么数学课堂改革对培养学生创新能力的意义将不复存在.课堂要真正还给学生，必须要让预设与生成形成有机统一，这样才能真正打造出更加真实和精美的课堂．

3.3 概念教学要突出思维

培养学生的思维能力是概念教学的灵魂.概念教学要突出思维，首先要重视数学概念具体化.在具体化世界，个体通过对外部世界的感知和操作认识事物，教学中要将概念与具体情境联系在一起．具体化图形演示可以促进学生对相关知识的认知，提高教学高效性．根据函数概念发展的抽象性，教师可以利用动态几何软件演示函数的概念源于运动，本质是对应关系，对比初中函数的概念定义，高中阶段选择集合语言描述更加科学，并借助精准的数学语言，进一步帮助学生深刻理解函数的定义.因此，随着数学内容变得越来越复杂，由具体化向符号化的转化是必要的．其次，要抓住概念的本质.在中学阶段，函数概念几经扩充已经建立起来.教师所做的工作是进一步深化、揭示它的本质.应该强调指出，函数三大要素之间所必须满足的条件:定义域集合中的任一个元素x，通过对应关系f，在值域集合中有唯一确定的一个元素y和它对应，只有这样，y才是x的函数.在这里唯一确定性是至关重要的.我们还必须指出对应关系f的形式是次要的.不管它具有怎样的具体形式，只要满足构成函数的条件即可.只有这样，我们才能更有效地培养学生把握全局、抓主要矛盾的能力，才能在纷繁复杂的学习过程中领悟数学的内在本质，进一步提升学生思维水平.教育应该是一种慢艺术，缺乏思维空间的学习，正如缺乏空气、缺乏水份的植物，怎会生长出让人赏心悦目的美景？我们必须要从突出思维的角度开展概念教学.

本文所阐述的“备课三步曲”——“打地基、搭框架、精装修”，其实就是撰写出教学设计的三个流程，经历了自我理解、科学设计、精致优化的过程.唯有深入备课，方能“浅出”一份高质量的教案；唯有课前教师的深入，方能在课堂上庖丁解牛般游刃有余的“浅出”.深入浅出，既要做到入乎其内，还要出乎其外.每一步都是一次自我历练和提升的过程，教师的专业素养和教学智慧必将得到很大提升.当然，再好的设计还要到教学实施中接受检验，需要实践后进行反思再优化.