论数形结合思想在初中数学中的应用

何贤庆

数学家华罗庚说过“数缺形时少直觉，形少数时难入微;数形结合百般好，数形分家万事休.” 可见数形结合思想在中学教学中有着重要的研究意义。

首先，“数形结合”能更好帮助学生对所学知识的掌握与记忆。

例如：在研究函数时，可以利用函数图形来记忆有关函数的知识点.

其次，应用“数形结合”能培养学生的数学直觉思维.

第三，数形结合思想有利于培养学生的发散思维能力.

第四，应用“数形结合”有益于培养学生的创造性思维能力.

体现在数学解题中， 包括“以数助形”和“以形助数”两个方面.此外还应该注意体会“数”与“形”各自的优势与局限性，相互补充.在数学教学中，数形结合对启发思路，理解题意，分析思考，判断反馈都有着重要的作用.

一、 “以形助数”思想的应用

几何图形具有直观易懂的特点，所以在谈到“数形结合”时，更多的老师和学生更偏好于“以形助数”，利用几何图形解决代数问题，常常会产生“出奇制胜”的效果，使人愉悦.几何直观运用于代数主要有以下几个方面：

利用数轴或坐标系将一些代数表达式赋予几何意义，通过构造几何图形，依靠直观帮助解决代数问题，或者简化代数运算.比如：

绝对值的几何意义就是数轴上两点之间的距离;

数的大小关系就是数轴上点的左右关系，可以用数轴上的线段表示实数的取值范围;互为相反数在数轴上关于原点对称（更一般地：实数a与b在数轴上关于对称，换句话说，数轴上实数a关于b的对称点为2b-a）;

利用函数图像的特点把握函数的性质：一次函数的斜率（倾斜程度）、二次函数的对称轴、开口、判别式、两根之间的距离，等等;

一元二次方程的根的几何意义是二次函数图像与x轴的交点;

函数解析式中常数项的几何意义是函数图像与y轴的交点（函数在x=0时有意义）;

锐角三角函数的意义就是直角三角形中的线段比例.

例1.已知抛物线y=2x2+x-2m+1与x轴的两个交点，在原点的两侧，则m的取值范围是（ ）

A m> B m<

C m>- D m>

【分析】按常规，此题要用判别式、根与系数的关系列出不等式组解之，若用数形结合的方法，先画出抛物线y=2x2+x-2m+1的草图，易知当x=0时，y<0，因此，只要解不等式-2m+1<0即可，即m>，故选A

例2.设方程|x2-1|=k+1，试讨论k取不同范围的值时其不同解的个数的情况.

【分析】我们可把这个问题转化为确定函数y1=|x2-1|与y2=k+1的图像（图4）交点个数的情况，因函数y2=k+1表示平行于x轴的所有直线，从图像可以直观看出 ：

①當k<-1时，y1与y2没有交点，这时原方程无解;

②当k=-1时，y1与y2有两个交点，原方程有两个不同的解;

③当-1

④当k=0时，y1与y2有三个交点，原方程不同解的个数有三个;

⑤当k>0时y1与y2有两个交点，原方程不同解的个数有三个。

二、“以数辅形”思想的应用

要在解题中有效地实现“数形结合”，最好能够明确“数”与“形”常见的结合点，从“以数助形”角度来看，主要有以下两个结合点：（1）利用数轴、坐标系把几何问题代数化;（2）利用面积、距离、角度等几何量来解决几何问题，例如：利用勾股定理证明直角、利用三角函数研究角的大小、利用线段比例证明相似等.

例3. 某游客为爬上3千米高的山顶看日出，先用1小时爬了2千米，休息0.5小时后，再用1小时爬上山顶，游客爬山所用时间t（小时）与山高h（千米）之间函数关系用图象表示是（ ）

【说明】建立坐标系，利用坐标及相关公式处理一些几何问题，有时可以避免添加辅助线（这是平面几何的一大难点）.

从以上例子可以看出，利用“数形结合”可以使数学问题简单化、具体化，使复杂问题轻而易举得以解决。在数形结合时，既要进行几何直观的分析，又要进行代数抽象的探索，两方面相辅相成，仅对代数问题进行几何分析（或仅对几何问题进行代数分析）在许多时候是很难行得通的.找到解题思路之后，至于用几何方法还是用代数方法、或者兼用两种方法来叙述解题过程，则取决于哪种方法更为简单.