基于“一题一课”的微专题复习课探究与再生长*——以“二次函数下的线段长度与和差最值综合问题”为例

广东省中山市坦洲中学(528467) 郭日康

广东省中山市坦洲实验中学(528467) 李伟红

生成教学是近年课堂教学改革所倡导的新型教学形态,相对于传统预成教学,是一种集开放、互动、个性及动态于一体的多元化教学形式[1].数学微专题复习课是初中数学专题复习教学的重要组成部分,是学生知识的升华、生长和能力的提升,也是方法的提炼、总结以及思维能力的培养和发展学生数学核心素养的重要阵地.在一次教学研讨活动中,笔者以“二次函数下的线段长度与和差最值综合问题”为内容,以“一题一课”为载体,执教了一节微专题复习课.利用具有知识生成逻辑的“问题串”加深拓宽学生对二次函数下的线段长度与和差最值综合问题的理解及应用,让学生在数学活动中通过经历、体验、内化,力求突出中考疑难问题复习教学中的系统性、纵深性、生成性.促进了学生函数建模、数形结合、化归转化、分类讨论等数学思想方法及数学素养的形成,取得了较好的效果.现将本节课的教学实录与思考整理成文.本文尝试从初中数学微专题复习课的教学维度,谈谈“一题一课”微专题复习课探究与再生长的实践与思考.

1 教学简录

1.1 引例铺垫,积累求线段长度及线段和差最值的解题经验

引例1“白日登山望烽火,黄昏饮马傍交河”,这是唐代诗人李颀《古从军行》里的一句诗.而由此却引申出一系列非常有趣的数学问题,通常称为“将军饮马”.

师: 请根据以内容,自编数学问题,并用数学语言进行问题描述.

生1: 如图1,将军在图中点A处,现在他要带马去河边l喝水,之后返回军营B处,问: 将军怎么走能使得路程最短?

师: 能否将问题再简化?

生1: 如图2,在直线上找一点P使得PA+PB最小?

师: 如何确定点P? 依据是什么?

生1: 如图2,作点A或点B关于l的对称点,连接对称点与另一点交l于点P,则点P为所求作的点.依据为轴对称及两点之间线段最短.

师: 不错.同学们还有其它自编的数学问题吗?

生2: 如图3,在直线l上求作点P,使|PA −PB|最大.

师: 如何确定点P? 依据是什么?

生2: 如图3,连接A、B交l于点P,则点P为所求作的点.依据为三角形两边之差小于第三边.

生3: 如图3,在直线l上求作点P,使|PA −PB|最小.

师: 很好.同学们发挥了自己丰富的想象力.接下来请大家一起完成以下在平面直角坐标系下的变式:

变式①: 如图4,在平面直角坐标系中,A(0,3)、B(1,0),直线l:x= 2,请在直线l上找点P,使得PA+PB最小,并求出点P的坐标.

变式②: 如图4,变式①中的条件不变,请在请在直线l上找点M,使得|MA −MB|最大,并求出点M的坐标.

变式③: 如图4,变式①中的条件不变,请在请在直线l上找点N,使得|NA −NB|最小.

教学分析引例1 通过以“将军饮马”问题为情境,让学生感受生活处处有数学,从而激发学生的学习兴趣,在探寻路程最短过程中经历现实问题数学化的过程,同时从问题中抽象出两个数学基本模型,理解模型本质(让学生发现求两线段之和最小值与之差最大值的基本策略是确定哪两个是定点、哪一个是动点,对称轴是哪一条),体现模型思想.在模型提炼过程中,学生感受到“化折为直”的思想.

引例2如图5, 在平面直角坐标系中, ①已知A(0,3)、B(0,−2),则AB=____.②已知C(−2,0)、D(3,0),则CD=____.③已知E(2,4)、F(2,1)、G(2,−3), 则EF=____,EG=____,CE=____.

变式①: 已知M(m,2)、N(n,2),则MN=____.

变式②: 已知K(2,m)、Q(2,n),则KQ=____.

变式③: 推广: 已知A(xA,yA)、B(xB,yB), 则AB=____.

教学分析引例2 复习在平面直角坐标系下的线段长度求法.通过归纳变式①②其线段长度的规律“平行于坐标轴的线段长度等于其端点横(纵)坐标之差.变式③归纳平面直角度坐标系下的任意两点间的距离求法(构造Rt∆结合勾股定理求线段长度).几乎所有二次函数的疑难问题都与线段的长度有关,所以引例2 的解决与否是后面的深入学习关键.同时,类比引例2 的①②③,得到变式①②③的结论,由特殊到一般的过渡,体现了数学知识间的内在联系,渗透由特殊到一般的数学思想方法.

引例3如图6,P为∠AOB内一点,在OA、OB上分别取点M、N,使得∆PMN周长最小.

教学分析引例3 属于“一定两动”模型: 分别作点P关于OA(折点M所在直线)、OB(折点N所在直线)的对称点,化折线段PM+MN+NP为P′M+MN+NP′′,当P′、M、N、P′′共线时,∆PMN周长最小.解决“一定两动”模型的难点,为后面学习打下基础.

1.2 问题探究,体验二次函数下的线段长度与和差问题探求

例(原创)如图7,已知抛物线y=+bx+c经过点D与x轴交于点A(4,0)、B(1,0),与y轴的另一交点为C、D为抛物线的顶点.

问题1根据图7,你能得到哪些结论? 请与同伴交流.

问题2求抛物线的解析式.

生3: 利用代入法, 将点A(4,0)、B(1,0)代入解析式求解.

生4: 利用交点法, 由y=a(x −4)(x −1), 再结合a=得到解析式.

生5: 结合图像,可得对称轴为x=,所以b=,再将点A或点B坐标代入得到c=−2.

师: 非常棒.同学们分别利用3 种求解析式的方法,体现了同学们思维的广阔性.

师: 请尝试完成: 点C的坐标是____,抛物线的顶点D坐标是____,抛物线的对称轴是____,AC=____.

问题3求直线lAC的解析式.

问题4如图8,设点E为x轴上一动点,当AE=CE时,求点E的坐标.

师:E的坐标有什么特征?

生6:E在x轴上,所以E的纵坐标为0.

师: 如何求出E的横坐标?

生7: 可设E(a,0),用含a式子表示出AE2与CE2,再根据等量关系可求解

教学分析问题1-3 引导学生对二次函数图象的形状、性质等知识进行提取、反思、加工.使学生进一步加深对二次函数解析式、对称轴等理解.问题4 引导学生从E的坐标有什么特征着手,培养学生的方程思想.

问题5如图9, 在对称轴l上是否存在点K, 使KB+KC的值最小.如存在,求出点K的坐标?

师: 如何确定点K的位置?

生8: 根据引例的经验,当K在直线lAC与对称轴l交点处时即为所求.

师: 如何求出点K的坐标?

生9: 由此前直线lAC的解析式,结合对称轴代入,可得

师: 接下来请同学们完成:

变式①: 在对称轴l上是否存在点N,使∆NBC的周长最小.

变式②: 在y轴上是否存在点G,使得GD+GB的值最小.

问题6(2019年安顺中考改编)

在对称轴l上是否存在点M, 使|MB −MC|的值最大.

教学分析问题5 与变式①②将“将军饮马”在二次函数中的深化与应用.问题6 是引例在二次函数中的深化与应用.题目的选择由浅入深,具有层次性,这是为了面向全体学生.进行“题组”训练,是为了体现渐进性原则,加强复习的有效性.

1.3 深化拓展,领悟数学思想方法和提升思维品质

问题7(2019年自贡中考改编) 如图10,P为直线lAC上方抛物线上一动点,且与点A、C不重合, 过点P作y轴的平行线交直线lAC于点H,当PH的值最大时,求P的坐标.

师: 请思考: 当P在什么位置时,PH的值最大.

生10: 我感觉P在顶点处时PH的值最大.

师: 为什么? 这个结论对吗? 我们不妨借助几何画板,(打开几何画板)如图,拖动点P,度量出PH=yP −yH,我们不难发现P在顶点处时PH的值并不是最大的.那么我们该如何求出PH的最大值.

生11: (简略)由PH=yP −yH,设P的横坐标为a,用关于a的二次函数式表示出PH,再利用二次函数的性质求出PH最大值及点P坐标.

师: 同学们能否根据图10,结合平时做题经验,自编一道与问题7 背景有关的变式题并完成变式,再与你的同伴互换批改.

生12: (思考后展示)如图10,P为直线lAC上方抛物线上一动点,求S∆P AC的最大值,并求此时点P的坐标.

师: 很好.请展示你的解答.

生12: (简略)将S∆P AC分成S∆P HA与S∆P HC,以PH作为两三角形的底解决.将S∆P AC用PH表示,构建关于a的二次函数并求该二次函数的最值.

教学分析问题7 重点引导学生将线段最值转化为二次函数最值问题,体现了由形到数的数形结合思想.问题7 变式是问题7 的深化,将面积→PH式子→PH长度的二次函数→求二次函数最大值.进一步渗透转化化归数学思想.

问题8(2019年襄阳中考改编)如图11,P为直线lAC上方抛物线上一动点,求点P到直线lAC的最大距离.

师: (引导)要解决本问题,首先要?

生13: 作出P到直线lAC的距离.过点P作PF⊥AC交AC于点F.

师: 能否像问题7 那样求出PF最大值?

生14: 不能,因为PH ̸=yP −yF.

师: (引导)如何求求出PF最大值?

学生陷入沉思——

师: (引导) 借助几何画板, 拖动点P, 度量∠HPF与∠OAC,发现两角相等.

生15: (顿悟并抢答) 由∠HPF= ∠OAC,得到∆HPF∽∆CAO, 结合, 当PH最大时, 得到PF最大.

问题9(2019年淮安中考改编)如图12,K′为抛物线上一点,其坐标为(2,1),Q为线段AK′上一动点,过点Q作x轴的垂线,垂足为Q′,当QK′=QQ′时,求QQ′的长度.

师: (引导)请大家回忆在我们初中阶段,求线段长度主要有什么方法?

生16: 主要有勾股定理、距离公式、三角函数、相似比.

师: 非常棒! 请同学们思考本问题的解决用什么方法最佳? 并与你的同伴交流.

生17: (思考后展示,简略)如图12-1,过点K′作x轴的垂线,垂足为G,由相似∆AQQ′∽∆AK′G对应边的成比例,即,进而得到QQ′的长度.

教学分析问题8 需解决两个问题: ①作出点到直线的距离PF; ②如何求出PF最大值.突破点难找,这时借助几何画板,拖动点P,度量∠HPF与∠OAC发现角相等,引导学生有困难用相似去解决.培养学生的数学直观想象素养.问题9 是问题8 的深化.结合勾股定理求出AK′,构造相似三角形,得到对应边的成比例进而求长度.培养学生的数学建模思想.

问题10(2019年湘西州中考改编) 如图13, 已知R(2,0),S(2,1), 四边形RSTU为矩形,V为TU的中点.I、J分别为x轴、y轴上的动点.求四边形SV IJ周长的最小值.

师: (引导) 由CSV IJ=SV+V I+IJ+SJ, 因为SV为定值, 所以只需求V I+IJ+SJ的最小值.如何求V I+IJ+SJ的最小值?

生18: (思考后展示)根据引例3 的“化折为直”的模型,分别作出S、V关于x轴、y轴的对称点S′、V ′,如图13-1,可求得四边形SV IJ周长的最小值为S′V ′,再由S′、V ′的坐标求线段S′V ′的值.

教学分析引导学生如何运用引例3 作出对称构造线段.使知识发生迁移,成为新的知识的生长点与固着点.本题以知识迁移为前提,引导学生数形结合,将数的问题转化为形的问题,不仅能让问题简化,而且能培养几何直观的意识.

问题11如图14,在抛物线的对称轴上是否存在点L,使得∆LAC是以AC为底的的等腰三角形.如存在,求出点L的坐标,如不存在,请说明理由.

师: 请大家独立思考,然后将自己的想法进行小组讨论.

生19: (简略)由AL=CL,可知L在线段AC的中垂线上,作线段AC的中垂线交对称轴于L,则L为所求的点,设由AL=CL,建立关于a的方程求解.

变式: 如图14,在抛物线的对称轴上是否存在点N,使得∆LAC是以AC为斜边的直角三角形.如存在,求出点N的坐标,如不存在,请说明理由.

师: (引导)如何作出满足条件的点N,作出点N的突破口在那里? 这样的点N有几个? 如何求点N的坐标?

生20: 突破口在∠ANC=90°,由直径所对的圆周角为90°,以AC为直径作圆(如图14-1),圆与对称轴的两个交点即为符合条件的点N.

教学分析问题11 及其变式主要渗透数形结合、转化、分类讨论、方程的思想方法让学生体验二次函数下的特殊三角形这一中考难点问题可利用线段长度及勾股定理等知识去解决,重点是学会分类讨论.体验知识的发生与应用过程,发展学生的思维.与此同时,当学生的思路受阻时,教师适当地利用几何画板进行点拨,把抽象的知识直观地展现,引领他们从感性认识上升到理性思考.激发学生的学习兴趣、探求欲望,落实学生主体地位.

2 教学思考

一题一课式的微专题复习课是专题复习一种有效形式.纵观本节复习课,利用具有知识生成逻辑的“问题串”加深拓宽学生对二次函数下的线段长度与和差最值综合问题的理解及应用,让学生在数学活动中通过经历、体验、内化,力求突出中考疑难问题复习教学中的系统性、纵深性、生成性.促进学生函数建模、数形结合、化归转化、分类讨论等数学思想方法及数学素养的形成,取得了较好的效果.

2.1 让学生历经知识建构与生长,有效实现知识梳理

本节课,笔者以一个简单的二次函数图象作为由生长源,由这个元问题出发,基于基础与经验,在解决问题过程中不断产生新问题,通过系列“问题串”加深拓宽学生对二次函数下的线段长度与和差最值综合问题的理解及应用,不断生长新的数学知识、方法、思维、经验.与此同时,教师改变复习课“讲题+做题”的格局,给予学生自主生长的时间空间与表达机会,让学生经历知识自主建构、方法感悟提炼、经验不断积累、思维不断提升的过程[2].

2.2 实施渐进式探究,发展学生深度学习的高阶思维

本节课通过引例铺垫,在积累求线段长度及线段和差最值的解题经验基础上,由一个简单的二次函数图象,开放设问,实施渐进式探究,共设10 个探究问题及5 个变式,逐步添加条件衍生问题,引导学生经历图形由简到繁,问题由浅入深的攀登过程.在这个过程中,教师要深层次地寻觅思维活动轨迹,高标准地架设知识生长结构,才能教给学生具有生长力的数学,数学教学才能迸发出生命力量[3].数学深度学习需要在教师的引领下,学生围绕具有挑战性、真实性的数学学习主题,全身心积极参与、获得发展.在这探究的过程中,问题6-10 及其变式融合了五地中考试题及其改编,它们形成了一个系统的知识体系与结构,是触及学生数学知识底部和本质的学习,探査数学知识间相互关联,基于理解之上更多关照分析、评价与创造层面的高阶思维的学习,进而发展学生的数学素养.

2.3 拓展数学探究与知识再生长载体与方式,助推知识与素养内化

以“知识盘点+知识运用”的方式呈现,立足于“知识+技能”的复习课在当下仍不少见,此类课往往较少关注思想、方法和知识的本源.本节课,笔者利用几何画板的支撑下的深度学习使过程更加生动、直观、形象,使处于从具体形象思维到抽象思维过渡时的学生能更好地观察动态问题中变与不变的量.对知识的生成及数学的本源进行了呈现,让学生领悟到问题的本质,提升了数学核心素养.如问题7 中的求PH的值最大问题时,通过几何画板中度量PH的长度及改变P的位置,破解学生的认识误区.问题8 借助几何画板,拖动点P,度量∠HPF与∠OAC,发现两角相等从而得到相似.问题11 利用几何画板使能有效地实现分类讨论,准确而全面地找出相关符合条件的点,化抽象为具体,呈现知识的生成与本源,渗透了转化与化归、数形结合等数学思想方法,拓展了学生数学学习路径,加深了学生的数学理解,提升学生的数学素养.

3 结语

教育的出发点与落脚点就是让学生经历一种成长、见证一种成长[4].专题复习要精心选题,开放设问,串联知识,关联与变式探究,内化办法,深化拓展,提炼思维,力求突出中考疑难问题复习教学中的系统性、纵深性、生成性.促进学生函数建模、数形结合、化归转化、分类讨论等数学思想方法及数学素养的形成.与此同时,要从深度学习的角度切入,将信息技术(如几何画板等)与内容进行深度整合,还原知识的本源与生长,从而提升学生的数学核心素养.