重视研究过程 探索数之规律

谭又英

数学是研究数量关系和空间形式的一门科学。本文以高中数学人教A版《必修五》第二章《数列》教学为例，探讨如何更好地探索数的规律。

一、用数学眼光看问题，抽象数之“一般性”

数学的眼光就是要把现实世界中与数学有关的东西抽象到数学内部，需要忽略事物一些表面的、特殊的、非本质的性质，通过细致地观察，寻求规律，将其共性剥离出来，形成概念、判断、推理等思维形式。

例如：已知数列[an]的前几项，写出下面数列的通项公式。

（1）[34]，[23]，[712]，[12]...

（2）0.3，0.33，0.333，0.3333...

出示题目后，教师说：“由数列的前几项写通项公式，关键是要找出每一项与其项数之间的对应关系，这就需要大家仔细观察，从数的结构、形式、变化趋势等方面将共同规律抽象出来。”一名学生说：“（1）中前两个数的分子和分母都减少‘1，但是第三、第四项不是这个规律。”另一名学生说：“整个分数值是越来越小的，如果将第四项写成[612]，那就是在第三项的基础上分子减少‘1，我认为可以将四个数通分之后再作比较。”

教师将学生提出的思路板书如下：

项数[n]：1      2       3      4

↓     ↓      ↓     ↓

项[an]： [912]    [812]     [712]    [612]

板书后，学生马上发现规律：每一项的分子与对应项数之和为10，通项公式为[an]=[10-n12]。

接着，教师出示第二道例题：某地区为防洪抗旱大面积植树造林， 如下图， 在区域[（x，y）x≥0，y≥0]内植树，第1棵树在点[A1]（0，1），第2棵树在点[B1]（1，1），第3棵树在点[C1]（1，0），第4棵树在点[C2]（2，0），按照图中箭头方向，每隔一个单位长度种一棵树，第2020棵树所在的点的坐标是         。

在完成等差数列的前[n]项和的学习之后，教师提出上面的问题让学生解决。一部分学生很快计算出正确结果，还有部分学生完全没有头绪。教师请已经完成的学生讲解自己的思路，一名学生说：“按照树的种植位置的规律，可以放在一个个“正方形”中来考虑，第一个正方形上有三棵树，第二个正方形上有5棵树，第三个正方形上有7棵树……以此类推，根据等差数列前[n]项和公式，找出和最靠近2020的[n]值，确定这棵树的位置，然后写坐标。”教师肯定了该学生的观点：“根据树的种植位置找规律，很容易结合等差数列进行求解，我们一起尝试计算。”

第1个正方形  第2个正方形  第3个正方形  第[n]个正方形

↓        ↓        ↓          ↓

3棵树        5棵树       7棵树        2[n]+1棵树

前[n]个正方形共种植树的棵数为3+5+7+……+（[2n]+1）=[n（3+2n+1）2]=[n（n+2）]，而44×46=2024，可知前44个正方形共种植树木2024棵。由种植方向得出第2024棵树在[y]轴上，其点的坐标为（0，44），往回数四个点，即第2020棵树的坐标为（4，44）。

教师继续引导学生思考：“根据前面的探究我們发现，树在种植排列时很有规律，我们要写出某棵树所在点的坐标，往往会借助坐标轴上的点变动得到。大家观察落在坐标轴上‘树的棵数与其所在点的坐标关系，能否发现什么？”学生很快发现这样的规律：第4、16、36棵树在[x]轴上，它们的坐标分别为（2，0），（4，0），（6，0）;第1、9、25棵树在[y]轴上，坐标分别为（0，1），（0，3），（0，5）。由[452=2025]类推可知，第2025棵树在[y]轴上，其坐标为（0，45），往回数五个点，即第2020棵树的坐标为（4，44）。

二、用数学思维想问题，推理数之“严谨性”

“逻辑推理”是得到数学结论、构建数学体系的重要方法，是数学严谨性的基本保证。教学中，教师引导学生从概念、公理、定理出发，通过严谨的推导，方可获得正确的结论。

例如：已知数列[an]的前[n]项和为[Sn]，若[a1]=1，[an+1]=[13Sn]，求[an]。这是数列中的高频考点，考查[Sn]与[an]的关系，[an=S1，n=1Sn-Sn-1]，[n≥2]。学生对这一类题目的解法很熟悉，可以顺利解答。

当[n=1]时，[a2=13a1=13]

当[n≥2]时，由[an+1=13Snan=13Sn-1]作差可得[an+1]-[an]=[13an]，即[an+1]=[43an]。

而看到[an+1]=[43an]时，学生就顾不上多想了，立即判定[an]是以[43]为公比的等比数列，然后求出其通项公式。这样不严谨的结论会得出错误答案，解题中学生忽略了非常重要的一点，[Sn]与[an]的关系在运用时原本就是分类处理，所以[an+1]=[43an]的关系只能适用于[n≥2]时，还需要补充考虑[n=1]时，[a2]与[a1]的关系。由[a2=13a1=13]可知，数列[an]的第二项与第一项并不满足比值为[43]，由等比数列的定义，就不能下结论说[an]是以[43]为公比的等比数列。接上述过程，正确规范的后部分解答应该是这样的：

当[n≥2]时，[an+1]=[43an];且[a2=13a1=13]不满足上式;故[n≥2]时，[an=13·43n-2];

综上[an=1，n=113·43n-2，n≥2。]

三、用数学语言答问题，建模数之“广泛性”

数学的语言就是模型，在构建模型的过程中，往往需要从错综复杂的现实背景中抽象出本质的关系，并用数学符号和数学语言表达。

对于第一道例题中（2）的数字，学生很容易发现它们的规律——依次在小数点后多添加一个“3”。但是，如何通过一个式子正确表达第[n]项[an]与项数[n]之间的对应关系，写出数列的通项公式呢？教师可以适时引导学生对问题进行转化，逐层递进，让他们亲身经历探究过程，体验解决问题的成就感。

转化一（小数化整）：3，33，333，3333...

转化二（简化倍数）：1，11，111，1111...

转化三（体现位数变化）：1，10，100，1000...

转化四（相关数的表示）：9，99，999，9999...

在整个探究过程中，无论是整数还是小数，依次添加一个数字的变化本质是“数位的变化”，只要掌握了“转化三”中数列通项公式的写法，再进行倍数及和差等运算，这一类题目就迎刃而解。由1=[100]、10=[101]、100=[102]、1000=[103]可知“转化三”中数列的通项公式为[an]=[10n-1]。于是可得：

转化四：[an]=[10n-1]

转化二：[an]=[19（][10n-1]）

转化一：[an]=[39（][10n-1]）

所以，数列0.3，0.33，0.333，0.3333……的通項公式为[an]=[39（][1-][10-n]）。

（作者单位：洪湖市文泉中学）

责任编辑  张敏