从《数学思考》谈归纳推理能力的培养

余亚兵

归纳推理是由特殊的具体事例推导出一般原理、原则的推理方法，是探究未知事物的重要方法。

人教版六年级数学下册《数学思考》的第一个问题是这样的：

表格第一行是对点数和连线方式的表示，第二行是每增加一个点，增加的线段条数，第三行是线段总条数。为了辅助学生思考，教科书在表格下方给出如下内容：

3个点连成线段的条数：1+2=3（条）

4个点连成线段的条数：1+2+3=6（条）

5个点连成线段的条数：1+2+3+4=10（条）

6个点连成线段的条数：

8个点连成线段的条数：

根据规律，你知道12个点、20个点能连多少条线段吗？请写出算式。想一想，n个点能连多少条线段？

教科书呈现的推理方式是归纳推理的方式，即从点数分为3、4、5时线段条数的计算规律，引导学生归纳出点数为6、8或更多的点数时，线段条数的计算方法，让学生初步体会归纳推理的思想。

如果教师照本宣科，学生按照课本的引导是可以解决这个问题的，但笔者认为这样做少了数学探究的味道。笔者思考：如果没有书中的引导，学生会如何思考这个问题。于是，笔者对教科书呈现方式进行了改编，尝试先设置两个简单的相关例题，让学生自主探究解决问题的方法，从而获得对推理过程的体验，再来解决上述例题。

例1：按照规律写出下列数的第5个数和第6个数，你是依据什么写的？你能写出第n个数吗？

2，5，8，11，14……

例2：下面第5、第6个图形各有多少个点？第10个图形呢？你能写出第n个图形点数的算式吗？

例1比较简单，学生分析前面几项的规律：依次增加3，容易得到一般规律，唤醒学生用归纳法解决问题的意识。例2中的每一个（从第2个开始）图形，都包含了它前面的图形，依据相邻两个图形的关系，可以依次写出各图形的点数。例1、例2的练习让学生形成解题思路：从简单的情况入手，注意分析相邻两项或几项的关系，从而形成一般规律。

随后，笔者将教科书上的例题作为例3，以文字的形式呈现给学生。

例3：如表格所示（见上表），6个点可以连多少条线段？8个点呢？你知道12个点、20个点能连多少条线段吗？请写出算式。想一想，n个点能连多少条线段？

学生解决例3时，受例1、例2的正迁移，分析相邻两项的关系，从而形成教科书上的解法。6个点连成线段的条数：1+2+3+4+5=15（条），7个点连成线段的条数：1+2+3+4+5+6=21（条）;以此类推，8个点时为28条，12个点时为66条，20个点时为190条;n个点时用算式表示为：1+2+3+……+n-1条。笔者引导学生用如下方法进一步归纳一般公式。

例2中第n-1个图形的点数为1+2+3+……+n-1，将例2中的每个图形倒置，与原来的图形构成一个平行四边形（如下图）。第n-1个图形（n>1）有（n-1）行，每行有n个点，共有n（n-1）个点。所以1+2+3+[……]+n-1=[n（n-1）2]。通过对公式的探讨，进一步巩固归纳推理的思想方法。

还有学生运用已学过的数线段条数的方法，从而得到如下解法。6个点分别记作1，2，3，4，5，6，点1与点2连线段记作（1，2），以点1为端点的线段有（1，2），（1，3），（1，4），（1，5），（1，6）共5条;以点2为端点不含点1的线段有（2，3），（2，4），（2，5），（2，6）共4条……以点5为端点不含点1点2点3点4的线段有（5，6）有1条;因此共有线段的条数为：1+2+3+4+5=15（条），从而总结出：解题时应有条理地把问题分为几类进行计数。通过分类计数的解法，学生也能归纳出一般結果，避免因为问题复杂使思维受阻。

（作者单位：黄冈市黄梅县孔龙镇殷湾小学）

助理编辑  刘佳