2020年全国Ⅱ卷理综第21题解法研究

杨 勇

(贵州省安顺市关岭民族高级中学 561300)

2020年全国Ⅱ卷理综第21题为物理选择题的压轴题，是一道反复碰撞有关动量、冲量问题的相关应用，解决本题的关键是要分清及理解推出物块过程遵循的物理规律，找到8次以后速度与质量的关系，即可找到解决方法.相对2019年全国Ⅱ卷理综第21题来说，两个题都是多过程问题，在考察学生的能力上来说，难度稳定，解决此问题都需要学生具备独立的思考能力发散思维能力，因此本题具有选拔人的功能.

一、题目呈现

(2020年全国Ⅱ卷理综第21题)水平冰面上有一固定的竖直挡板，一滑冰运动员面对挡板静止在冰面上，他把一质量为4.0 kg的静止物块以大小为5.0 m/s的速度沿与挡板垂直的方向推向挡板，运动员获得退行速度；物块与挡板弹性碰撞，速度反向，追上运动员时，运动员又把物块推向挡板，使其再一次以大小为5.0 m/s的速度与挡板弹性碰撞.总共经过8次这样推物块后，运动员退行速度的大小大于5.0 m/s，反弹的物块不能再追上运动员.不计冰面的摩擦力，该运动员的质量可能为( ).

A. 48 kg B. 53 kg

C. 58 kg D. 63 kg

本题的参考答案为：B、C

二、解法研究

本题对于大多数学生来说，由于要从题述中建立相应的物理模型，可能会存在一定的难度，同时也比较抽象.解决本题的关键是抓住题述中的冰面不计摩擦力，物块与挡板的碰撞为弹性碰撞，所以物块反弹时速度大小不变，也就是说物块与运动员的相互作用以及物块与挡板的相互作用只改变速度的方向，不改变速度的大小；其次要明确第8次推物块后，速度大于5m/s，怎么从这个条件中寻找质量与题述含义的关系；这些是学生突破本题的关键，由于大多数学生对问题的分析不透，导致找不到条件，或者找到条件但是不全面.找到速度与质量之间的数学等式关系，即为本题找准正确答案的关键，笔者将从以下几种方法对本题做相应的求解.

1.动量方法

据题意，由于冰面不计摩擦力，向前推物块，则运动员要向后退，所以在推的过程中，运动员与物块组成系统的动量守恒.设推出物块后物块的速度大小为v0=5m/s，物块的质量为m0=4kg；每推物块一次运动员的速度变为vn(其中n=1,2,3…8)，运动员的质量为m.规定运动员运动的方向为正方向，则：

第一次推物块有：mv1-m0v0=0

第二次推物块时，物块的动量变化大小为Δp=2m0v0，方向向右；则运动员的动量变化大小也为Δp′=2m0v0，方向向左.由于每一次推出物块时物块获得的速度大小不变，由于物块与挡板间为弹性碰撞，则除了第一次推物块外，以后的每一次推物块，运动员都向左增加Δp′=2m0v0.因此第8次推出物体后，运动员动量的变化大小为：

Δp总=mv1+7Δp′

而物块反弹后能追上运动员发生相互作用，则第7次推出后，运动员后退的速度v7<5m/s，由上述分析，运动员第7次推出物块后动量为mv7=13m0v0，由于v7<5m/s，则m>52kg.

综上所述，满足题述要求的运动员的质量可能为52kg

2.列项相消

同理，假设甲的质量为m，每推物块一次运动员的速度变为vn(其中n=1,2,3…8)，乙的质量为m0，推出的速度大小为v0.运动员推物块的瞬间组成系统的动量守恒，同样规定运动员运动的方向为正方向，则：

第一次推物块有：

mv1-m0v0=0

①

第二次推物块有：

mv1+m0v0=mv2-m0v0

②

第三次推物块有：

mv2+m0v0=mv3-m0v0

③

……

第八次推物块有：

mv7+m0v0=mv8-m0v0

⑧

由②+③+…+⑧得，

mv1+7m0v0=mv8-7m0v0，

所以mv8=mv1+14m0v0，

分析方法与上式方法一样，同样得到B、C正确.

3.等差数列求解

从方法2可以看出来mv7+m0v0=mv8-m0v0，则mv8-mv7=2m0v0，因此p8-p7=2m0v0，从此式子可以发现，运动员的动量的增量为一个等差数列，公差d=2m0v0.

当第8次推出物块后，运动员的动量大小为p8=p1+(8-1)d，其中p1=m0v0，所以p8=15m0v0，由于p8=mv8，则有mv8=15m0v0，由于v8>5m/s，所以m<60kg.

当第7次推出物块后，运动员的动量大小为p7=p1+(7-1)d，所以p7=13m0v0，因此mv7=13m0v0，v7<5m/s，则m>52kg.

综述，本题的答案为B、C.

4.应用图象直观求解

根据题目的含义，满足题述要求，除了第一次推出物块外，以后的每一次推出物块时，运动员的动量增量大小为Δp=2m0v0，为了减少复杂的数学运算，可以把对应题目的含义的物理量通过做题的形式来表达，更能形象地理解问题和求解答案.根据题述，建立运动员动量增量大小与推物块次数的关系如图1所示：

根据图象与坐标的物理意义，图线与坐标围城的面积即为第n此次推出物块运动员的动量的增量大小，则第8次推出物块后，运动员的动量为mv8=m0v0+(8-1)2m0v0，则mv8=15m0v0；第7次推出物块后，运动员的动量为mv7=m0v0+(7-1)2m0v0，mv7=13m0v0，根据题目的要求，运动员的质量取值范围为：52kg

这是一道选择题压轴题，对于多数学生来说具有一定的困难，但是根据题目的地位和形式，思想和方法并不单一，我们知道高考题是具有选拔人才的作用，所以对一道高考题，我们要站在更高的角度思考问题.从本题的设计意图和解题方法来看，在以后的课堂教学，复习备考中，对于物理问题的求解，我们应该从构建物理模型、应用适当的数学方法以及应用图象等形式多维度进入教学，从而更有效地提升学生科学思维能力和解决问题的能力，同时有助于培养学生思维的缜密性和创造性.