一次函数背景下的存在性问题

王帅兵

(湖南省郑州市孜文教育信息咨询有限公司 450000)

一、两定一动型，注意好“一上一下”

两定一动型，是指在给定两个点的情况下，另一点在一条线上运动所产生的面积问题，解决这类问题，要做好题目分析，有一边与坐标轴平行时直接求解；没有边与坐标轴平行时，用好“铅锤法”(或“割补法”)，同时注意好“一上一下”.

例1如图1所示，一次函数y=2x+4的图像与坐标轴分别交于点A、B，在一次函数的图象上是否存在一点P，使得△AOP的面积为3？

图1

例2如图2所示，直线y=1/2x与直线y=-x+3相交于点A，点B是直线y=1/2x上的一个点，且横坐标为4.如果点P是直线y=-x+3上的一个动点，且满足△ABP的面积为9，那么点P的坐标为____.

图2 图3 图4

二、等腰三角形，用好“两圆一线”

在一次函数的背景下，等腰三角形的存在性问题可以借助图形的基本性质来解，利用同端点、等长度作圆和线段垂直平分线.

例3如图5所示，直线y=x+4与坐标轴交于点A和点B，在x轴上是否存在点P，使得△ABP为等腰三角形？若存在，求出所有满足条件的点P的坐标.

图5 图6

三、直角三角形，利用顶点来分类

对于直角三角形的存在性，可以利用顶点来分类，然后结合具体条件求解.

例4如图7所示，在平面直角坐标系xoy中， 三角板的直角顶点P的坐标为(2，2)， 一条直角边与x轴的正半轴交于点A，另一直角边与y轴交于点B， 三角板绕点P在坐标平面内转动的过程中，当△POA为直角三角形时，请求出所有满足条件的点B的坐标.

图7 图8 图9

思路分析分析题设条件可得，∠POA=45°，不可能为直角，△POA的另两个角可以是直角.如图8，当OA⊥AP时，可求出点B的坐标为(0，2)；如图9，当OP⊥PA时，点B和点O重合，点B坐标为(0，0).综上所述，点B的坐标为(0，2)或(0，0).

四、等腰直角三角形，借助弦图轻松解

等腰直角三角形的分类问题，可以在构造基本直角的情况下，借助弦图求解.

例5如图10所示，直线y=-2x+4与坐标轴交于点A和点B，在第一象限内是否存在点P，使得△ABP为等腰直角三角形？

图10 图11

思路分析由题设条件易得，A(2，0)、B(0，4)，OA=2，OB=4.利用Rt△AOB作弦图，如图11所示，其中P1、P2、P3是满足条件的点.利用弦图中的全等三角形的性质，以及线段长与坐标的相互转化，可得三点的坐标分别为：P1(4,6)、P2(6,2)、P3(3,3).

五、全等三角形，对应后综合求解

全等三角形的存在性问题，要注意好顶点的对应，然后借助多种基本方法解题.

例6如图12所示，在平面直角坐标系中作矩形OABC，点B坐标为(4，8)，将△ABC对折，使点A与点C重合，折痕交AB于点D，坐标系内是否存在点P(除点B外)，使△APC与△ABC全等？若存在，直接写出符合条件的点P的坐标；若不存在，请说明理由.

图12 图13 图14

六、等距离轨迹问题，借助坐标轴三角形构造相似

在一次函数背景下的等距离轨迹问题，可以借助一次函数图像与坐标轴的交点，构造相似图形，求出点的坐标，进而找到点所在直线的表达式.

图15 图16

综上，解决一次函数的存在性问题，一定要研究好背景图形，调用基本技巧和方法，构图确定位置，画图解答.