巧解光滑斜面上物体运动时间的问题

◇ 甘肃 王小红

高中阶段物体从光滑斜面下滑时间长短的问题,解决这类问题的关键是确定物体下滑的位移(如果轨迹为曲线或折线则需确定其路程)和运动的加速度,难点则是找出题目中的公共长度(等高、等底、等长或等直径)．解决这类问题可以从速率—时间图象、动力学、典型模型等不同角度入手,总结几类不同的解法．

例如图1所示,AB、AC、AD分别为竖直平面内三根固定的光滑细杆．其倾角分别为60°、45°、30°,并且斜面的高度相等．每根杆上都套有一光滑圆环,现让三个圆环同时从最高点A由静止释放,分别沿AB、AC、AD运动,运动到最低点的时间分别为ta、tb、tc,则( )．

图1

解法1 解析法

【思路点拨】本题的特点是高度相同但底边长不同,物体运动的加速度与斜面的倾角有关,因为等高,我们可以用相同量,即斜面的高度和斜面的倾角来表示斜面的长度(即小圆环下滑的位移大小),因此我们要设斜面的倾角θ、斜面的高度h和斜面的长度l．然后根据初速度为零的匀加速直线运动位移公式x＝推导出用斜面倾角θ和斜面底边表示的下滑时间关系,运用控制变量法将斜面的倾角θ代入方程就可以得出时间的长短．

解析

设斜面的倾角为θ,斜面的高为h,由运动学公式有．根据牛顿第二定律有mgsinθ＝ma,解得a＝gsinθ．斜面的长即圆环下滑的位移,则有

图2

联立解得

因为sin60°＞sin45°＞sin30°,可知ta＜tb＜tc,所以本题选项B正确．

解法2 速率—时间图象法

【思路点拨】因为斜面的倾角越大加速度越大且斜面的高相同,根据机械能守恒定律可得出物体滑到斜面底端的速率大小相同．由于本题是定性判断时间的长短,可以用速率—时间图象来比较时间的长短,这样可以省去烦琐的计算过程．

解析

根据AB、AC、AD的斜面倾角大小关系可知,小圆环沿AB、AC、AD下滑的加速度依次减小,速率—时间图象越来越缓；因为AB、AC、AD的高度相同,由机械能守恒定律可知小圆环下滑的最终速率相同．因此作出小圆环沿着AB、AC、AD下滑的速率—时间图象如图3所示,由图象可知ta＜tb＜tc,故选项B正确．

图3

解法3 基本模型法

【思路点拨】物体沿光滑斜面从静止开始由顶端滑到底端的时间问题共有4种基本模型．

第三种：等时弦模型(沿着同一竖直面内圆的最高点或最低点的弦从顶滑到底)；

第四种：等高等长不等底模型(运动轨迹含折线或曲线),可以应用模型的结论进行比较．

根据题目所给条件迅速找准基本模型或构建基本模型,准确运用对应模型的结论进行比较．

解析

以上三种解法是处理物体沿光滑斜面下滑比较时间长短的几种常用方法,需熟练掌握．