巧用平面向量不等式求函数的最值
2021-01-29山东
高中数理化 2020年24期
◇ 山东 刘 丽
平面向量在数学解题中有着广泛的运用,它融数、形于一体,兼具几何形式与代数形式的“双重身份”,是中学数学知识的一个交会点和联系多项内容的媒介.利用平面向量求解最值问题是近年来最值求解研究的一个新突破.
在平面向量中有下面这几个不等式.
1)a·b≤|a|·|b|,当且仅当a与b同向时,等号成立.
2)||a|-|b||≤|a+b|≤|a|+|b|,当且仅当a与b同向时,右边等号成立;当a与b反向时,左边等号成立.
3)||a|-|b||≤|a-b|≤|a|+|b|,当且仅当a与b反向时,右边等号成立;a与b同向时,左边等号成立.
用这几个不等式可以快速求解某些函数的最值,下面举例说明.
例1求的最大值.
解析
例2求的最大值.
解析
例3求的最小值.
解析
设a=(x,2),b=(3-x,3),则
当且仅当3x=2(3-x),即时,等号成立,故函数f(x)的最小值为的最大值.
例4求
解析
设a=(x,1),b=(x+1,2),则
当且仅当2x=x+1,即x=1时,a与b共线同向,此时等号成立,故函数f(x)的最大值为.
例5求的最大值.
解析
例6已知实数x1,x2,y1,y2满足,且,求的最大值.
解析
设A(x1,y1),B(x2,y2),所以A,B两点在圆x2+y2=1上,因为,所以,所 以又因为表示A,B两点到x+y-1=0的距离之和,设为d1+d2,取AB中点P,则P到x+y-1=0的距离d=.因为△AOB为正三角形,则P到x+y-1=0的最大距离,所以d1+d2最大值为
图1
通过以上例题不难看出,使用平面向量求解函数最值的关键在于构造向量,在平面向量知识的辅助下,能够降低运算量,提高解题速度和准确率,为解决函数最值问题开辟了一条新的途径.