从一题多探的视角培养解题能力

◇ 山东 韩炳泉

椭圆是解析几何中重要的曲线类型,其中蕴含着丰富多彩的性质和结论．在解答完一道题目后,如果尝试从多种不同的视角对问题进行探究,有助于学生解题能力的培养,往往有意想不到的收获．

例已知椭圆经过点C(0,1),离心率为为坐标原点．

(1)求椭圆E的方程；

(2)设A,B分别为椭圆E的左、右顶点,D为椭圆E上一点(不在坐标轴上_),直_线CD交x轴于点P,点Q在直线AD上,且,求证C,B,Q三点共线．

第(1)问属于基础题,易求得椭圆E的方程为,下面从多种视角对第(2)问进行探究．

1 思路探究

动中有定、动定结合是椭圆问题的重要特征,其中动态元素的呈现形式主要有两种：一种是点的形式,一种是线的形式．因此,解题时要根据题目条件选择设动点的坐标,还是选择设动线的斜率．

本题各量的变化均是由动点D在椭圆上变动引起的,故可引入D的坐标,将有关点的坐标利用点D的坐标进行表示．

解析

设D(x0,y0),则,直线CD：y＝,令y＝0,得点P的坐标为

设Q(m,n),因为点Q在直线AD上,所以,由向量的平行关系得所以,所以

因为C(0,1),B(2,0),所以

进而问题得证．

2 变式探究

解答完一道题后,通过将题目条件或结论进行变换,能有效检验学生对所学内容的掌握及应用情况．本题可将条件与所证结论进行互换．

变式已知椭圆经过点C(0,1),离心率为为坐标原点．

(1)求椭圆E的方程；

(2)设A,B分别为椭圆E的左、右顶点,D为椭圆E上一点(不在坐标轴上),直线CB与AD相交于点Q,CD与x轴交于点P,证明

3 结论探究

圆锥曲线具有较丰富的几何性质,其中蕴含着重要的结论．题目中为定值,而a2＝4,故可通过探究验证以下结论是否成立．

结论已知椭圆b),O为坐标原点．

设A,B分别为椭圆E的左、右顶点,D为椭圆E上一点(不在坐标轴上),直线CB与AD相交于点Q,CD与x轴交于点P,则

明确了这一结果,同学们在处理有关问题时,即可迅速明确解题的方向．

在得出一道题目的答案后,探究并没有终止,对问题的探究也并不局限于本文所述的几种,我们也可以通过改变问题背景,即将已知条件中的椭圆变换为其他的曲线(如双曲线、抛物线等),从而实现同类知识的融会贯通．由于篇幅所限,不再赘述,有兴趣的读者可自行探究．