基于岩石长期强度的深埋巷道围岩弹塑性分析

2021-01-29经来旺郝朋伟陈飞宇

安徽理工大学学报（自然科学版） 2020年5期

经来旺，赵翔，经纬，郝朋伟，陈飞宇

(1.安徽理工大学力学与光电物理学院，安徽淮南 232001；2.安徽理工大学土木建筑学院，安徽淮南 232001)

巷道围岩弹塑性分析对巷道围岩稳定性评估和定量支护设计至关重要，长期以来，国内外学者多采用Mohr-Coulomb准则和Hoek-Brown准则进行弹塑、脆性分析[1-5]。近年来，考虑到中间主应力对塑性区围岩破坏产生的重要影响[6]，张小波、陈梁、骆开静等[7-9]485采用Drucker-Prager准则求得了围岩弹塑性封闭解析解；曾开华、王凤云等[10-12]结合统一强度理论求得了围岩弹塑性应力和位移解析解；朱建明、吴则祥、吕彩忠等[13-15]验证了SMP准则的正确性并得到围岩塑性区应力和最优支护力的SMP新解。然而，这些研究成果鲜有考虑岩体的蠕变特性，绝大多数以特定围压下岩石试件的瞬时极限抗压强度作为力学模型中的峰值应力，严重忽略了岩土类材料的时效变形特性。事实上，巷道围岩变形稳定后围岩中存在的最大应力为岩石的长期强度，它是衡量岩石是否会发生稳定蠕变的分界值。在建立力学模型时，若忽视这一指标，则会导致理论计算结果与工程实际相差甚大。

为了研究蠕变及蠕变作用下的原岩应力和支护阻力对塑性区围岩变形的影响，本文基于以岩石长期强度作为峰值应力的3阶段应变软化模型和SMP准则，求得了围岩变形分区弹塑性新解，并结合工程实例展开塑性区围岩变形分析。

1 理论分析

1.1 基本假设

①巷道为深埋圆形无限长平巷；②围岩为连续、均质且各向同性的岩体；③巷道围岩处于静水压力状态。

1.2 巷道力学模型

根据文献[16]，在巷道围岩径向上存在着一条“围岩蠕变终止轨迹线”，它是巷道围岩径向上发生蠕变的质点在达到稳定后的应力-应变关系曲线(图1中ab段)，依据这一性质，稳定后的巷道最多可以分为四个变形区域。oa段与ab段的斜率相差不大，即围岩的本构关系相差不大，因此可将二者近似合二为一形成理想弹性阶段ob，于是围岩中最多可存在3个变形区域：理想弹性区、塑性软化区和破裂区，相应的应力-应变关系如图1中的ob、bc和cd三条线段。其中，理想弹性区的弹性模量就是线段ob的斜率，可按照式(1)计算。

E=σ/ε

(1)

因此，随着围岩蠕变的发展，稳定后的深埋软岩巷道围岩的受力与变形可用图1所示的力学模型表示。

图1 深埋软岩巷道力学模型

图1中：R0为巷道半径，Rw和Rs分别为破裂区和塑性软化区半径，r为围岩质点到巷道中心的距离；P0为原岩应力，Pi为支护阻力；σr,σθ和εr,εθ分别为围岩径向、切向应力和应变，σ和ε为岩石的长期强度和应变，σe为稳定蠕变下阈值，σw为残余强度。下文分别用下标e、s、w来表示理想弹性区、塑性软化区和破裂区参数。

1.3 岩体特性模型

首先，深埋巷道围岩在开挖后发生明显的体积膨胀现象，故存在峰后岩体扩容特性。

在塑性软化区，扩容法则[17]464为

(2)

式中：ηs为塑性软化区扩容系数，并有ηs=(1+sinφ)/(1-sinφ)，φ为内摩擦角。

在围岩破裂区，扩容法则[17]464为

(3)

式中：ηw为破裂区扩容系数，依据文献[18]，ηw一般取值为1.3～1.5。

其次，深埋巷道围岩存在峰后强度弱化特性。根据文献[19]，塑性软化区围岩的内摩擦角φ基本不变，而粘聚力C的变化规律如图2所示。

由图2可知，巷道围岩塑性软化区内任意一点处的岩石粘聚力Cs满足如下关系[9]333

Cs=C0-MC(εθs-εθ|r=Rs)

(4)

取r=Rs、r=Rw代入下文式(23)，将所得εθ|r=Rw和εθ|r=Rs代入MC化简可得

MC=

(5)

将式(5)代入式(4)，可得围岩塑性软化区任一点处岩体粘聚力Cs为

Cs=d1-d2(Rs/r)ηs+1

(6)

图2 粘聚力软化模型

1.4 SMP准则

1974年，H.Matsuoka和T.Nakai[20]基于空间滑动面理论提出SMP准则，考虑了3个主应力或应力张量不变量的影响，认为当剪应力与正应力的比值达到某一数值时材料破坏，该准则应力不变量的表达式为

(7)

式中：I1=σ1+σ2+σ3、I2=σ1σ2+σ2σ3+σ1σ3、I3=σ1σ2σ3分别为第一、第二、第三应力不变量；K为材料常数；φ为内摩擦角；σ1、σ2、σ3分别为最大主应力、中间主应力、最小主应力。

1976年，M.Satake[21]根据关联流动法则和SMP准则推导出了平面应变条件下的应力条件

(8)

然而，式(7)的SMP准则只适用于无粘性材料，为了打破这一局限性，1990年，H.Matsuoka[22]等引入了粘结应力，提出适用于粘性材料的SMP准则，其表达式为

(9)

变换式(9)，可得平面应变条件下的粘性材料的SMP准则为

(10)

从而得到

σ1=Aσ3+(A-1)Ccotφ

(11)

2 巷道围岩弹塑性分析

2.1 基本方程

微分方程：

dσr/dr+(σr-σθ)/r=0

(12)

几何方程：

εr=du/dr；εθ=u/r

(13)

2.2 理想弹性区应力及变形

1)理想弹性区应力

根据图1的力学模型，结合厚壁圆筒的拉梅解，可得理想弹性区的应力为

(14)

式中：σr|r=Rs为弹性区内边界处的径向应力。

在弹塑性交界处(r=Rs)，由式(14)可得：σr+σθ=2P0。同时，围岩应力满足SMP准则，联立式(11)、(14)得

σr|r=Rs=(2P0+M1C0)/(1+A)

(15)

式中：M1=(1-A)cotφ。

2)理想弹性区应变及变形解析

理想弹性区围岩位移与现有解答过程相同[17]465，易得理想弹性区位移为

(16)

联立几何方程式(13)得其应变为

(17)

2.3 塑性软化区应力及变形

1)塑性软化区应力

塑性软化区围岩应力同时满足平衡条件和SMP准则方程，将式(6)和式(11)代入式(12)整理可得

(18)

求解式(18)并结合边界条件σre|r=Rs=σrs|r=Rs，可得塑性软化区的应力为

(19)

式中：M2=(1+A)cotφ。

2)塑性软化区应变及变形解析

考虑到理想弹性区内边界带来的边界应变，塑性软化区总应变可以表示为

(20)

由式(20)结合几何方程式(13)、扩容法则式(2)和r=Rs处的弹性应变，可得塑性软化区的位移协调方程为

(21)

求解式(21)并结合边界条件ue|r=Rs=us|r=Rs，可得塑性软化区径向位移为

(22)

其中：N1=(ηs-1)/(ηs+1);N1=2/(ηs+1)。

联立几何方程式(13)得其应变为

(23)

2.4 破裂区应力及变形

1)破裂区应力

破裂区围岩应力同时满足平衡条件和SMP准则方程，将式(11)代入式(12)可得

(24)

式中：Cw为破裂区岩体粘聚力。

求解式(24)，并结合边界条件σrw|r=R0=Pi，可得破裂区的应力为

(25)

2)破裂区应变及变形解析

假定破裂区总应变仅由塑性应变组成[8]486，结合扩容法则式(3)和几何方程式(13)，可得破裂区的位移协调方程为

(26)

求解式(26)，并结合位移连续条件us|r=Rw=uw|r=Rw，可得破裂区径向位移为

(27)

联立几何方程式(13)得其应变为

(28)

当r=R0时，得巷道围岩内壁位移为

(29)

2.5 塑性软化区与破裂区半径的确定

根据文献[1]985，在塑性软化区与破裂区的交界处满足εrs|r=Rw=εrw|r=Rw，将式(23)和式(28)代入，可得

(30)

塑性软化区与破裂区交界处满足边界条件σrs|r=Rw=σrw|r=Rw，故将r=Rw分别代入式(19)和式(25)，得破裂区半径为

Rw=

(31)

Rw代入式(30)即得塑性软化区半径RS。

3 算例分析

圆形巷道半径R0=3m，原岩应力P0=25MPa，支护阻力Pi=1MPa，泊松比μ=0.28，内摩擦角φ=30°，扩容系数ηw=1.4，残余粘聚力Cw=0.5MPa。考虑围岩蠕变特性时初始粘聚力由岩石长期强度确定，为C0=1MPa，弹性模量E=3.5GPa，否则，由岩石瞬时极限抗压强度确定，为C0=2MPa，Ek=5GPa。

3.1 初始粘聚力的影响

由图3可知，当Pi为1MPa、P0为25MPa时，Rw、Rs和uR0均随着C0的增大而不同程度的减小，具体表现为C0每增加1MPa，Rw、Rs和uR0分别减小0.25m、0.28m和0.005m左右。总的来说，当C0从1MPa增加至7MPa时，Rw由5.38m减少至3.40m，Rs由5.95m减少至3.76m，两者均降低36.8%，而uR0由0.084m减少至0.039m，降低53.6%。结合上文，在考虑围岩存在蠕变特性时，Rw、Rs和uR0分别为5.38m、5.95m和0.084m，否则，相应结果分别为5.13m、5.68m和0.056m，显然，在考虑蠕变影响时的塑性区范围以及巷道内壁位移更大。

(a)C0与Rw、Rs的关系

3.2 原岩应力的影响

由图4可知，在C0和Pi均为1MPa时，随着P0的增大，Rw、Rs与uR0均不同程度增大，并且Rw和Rs的增幅变小而uR0的增幅变大，具体表现为P0每增加5MPa，Rw、Rs和uR0分别增大0.55m、 0.6m和0.023m左右。当P0从10MPa增加至35MPa时，Rw由3.71m增加至6.15m，Rs由4.11m增加至6.81m，两者均增加65.8%，而uR0由0.015m增加至0.158m，增加近10倍。因此，在围岩岩性一致的情况下，不同的原岩应力条件下产生的围岩变形差别较大。

(a)P0与Rw、Rs的关系

3.3 支护阻力的影响

由图5可知，当C0为1MPa，P0为25MPa时，随着Pi的增大，Rw、Rs与uR0均不同程度减小，并且三者降幅全都变小。当Pi从0MPa增加至3MPa时，Rw由7.72m降低至4.04m，Rs由8.05m降低至4.47m，两者均降低44.5%，而uR0由0.172m降低至0.052m，降低70%。当Pi取1MPa时，Rw和Rs分别为5.38m和5.95m，两者均降低26%，而uR0为0.084m，降低51.2%，由此可见，选取一定范围内的支护阻力可以更加高效地控制塑性区围岩的变形。